Esercizi sulle trasformate di Fourier
Corso di Fisica Matematica 2, a.a. 2013-2014 Dipartimento di Matematica, Universit` a di Milano
28 Novembre 2013
Questi esercizi richiederanno il calcolo di integrali a volte non semplici; in tutti i casi – semplici e no – il calcolo degli integrali non verr`a discusso nelle soluzioni, e gli studenti sono invitati a far uso di una tavola degli integrali (o strumento equivalente, ad esempio un programma di manipolazione algebrica quali Maple, Matlab, Mathematica, Macsyma..., che svolga gli integrali).
D’altra parte, in alcuni casi il calcolo `e semplificato dal considerare delle pro- priet`a generali delle trasformate di Fourier; queste sono discusse nelle note disponibili in rete, oltre che naturalmente nei testi di riferimento.
Ricordiamo che la convenzione usata nelle dispense e nel corso (ed anche nelle soluzioni di questi esercizi) `e la seguente: data una funzione f (x) ∈ F , la sua trasformata di Fourier `e la funzione
f (k) =b 1
√2π Z +∞
−∞
f (x) e−ikx dx ;
la antitrasformata di Fourier della funzione bf (k) `e data da
f (x) =e 1
√2π Z +∞
−∞
f (k) eb ikxdk .
1 Propriet` a di trasformate di Fourier
Esercizio 1. Dimostrare che per f (x) una funzione pari si ha
f (k) =b r2
π Z +∞
0
f (x) cos(kx) dx .
Esercizio 2. Dimostrare che per f (x) una funzione dispari si ha
f (k) = − ib r2
π Z +∞
0
f (x) sin(kx) dx .
Esercizio 3. Dimostrare che se f (x) `e una funzione reale, e si decompone come f (x) = f+(x) + f−(x), dove f±(−x) = ±f (x), allora
Re( bf (k)) = bf+(k) ; Im( bf (k)) = bf−(k)
2 Calcolo di trasformate di Fourier
Nella soluzione di alcuni esercizi di questa sezione pu`o essere utile tenere a mente i risultati degli esercizi precedenti.
Esercizio 4. Si calcoli la trasformata di Fourier bf (k) della funzione f (x) = e−|x| .
Esercizio 5. Si calcoli la trasformata di Fourier bf (k) della funzione f (x) = sgn(x) e−|x| .
Esercizio 6. Si calcoli la trasformata di Fourier bf (k) della funzione f (x) = x e−|x| .
Esercizio 7. Si calcoli la trasformata di Fourier bf (k) della funzione (in cui α `e un parametro reale variabile)
f (x) = 1 per |x| < α 0 per |x| ≥ α .
Esercizio 8. Si calcoli la trasformata di Fourier bf (k) della funzione f (x) = 1
√ 2π
Z +α
−α
e−|x−y| dy .
Esercizio 9. Si calcoli la trasformata di Fourier bf (k) della funzione f (x) = (1 + x) e−|x| .
Esercizio 10. Si calcoli la trasformata di Fourier bf (k) della funzione f (x) = 1
1 + x2 .
3 Calcolo di antitrasformate di Fourier
Gli esercizi di questa sezione si possono risolvere sia direttamente sia utilizzando delle propriet`a delle trasformate ed antitrasformate di Fourier ed i risultati degli esercizi precedenti.
Esercizio 11. Si calcoli la antitrasformata di Fourier ef (x) della funzione
f (k) =b 1 1 + k2 .
Esercizio 12. Si calcoli la antitrasformata di Fourier ef (x) della funzione
f (k) =b k 1 + k2 .
Esercizio 13. Si calcoli la antitrasformata di Fourier ef (x) della funzione
f (k) =b k (1 + k2)2 .
Esercizio 14. Si calcoli la antitrasformata di Fourier ef (x) della funzione
f (k) =b sin(k)
k .
Esercizio 15. Si calcoli la antitrasformata di Fourier ef (x) della funzione
f (k) =b sin(k) k(1 + k2) .
Esercizio 16. Si calcoli la antitrasformata di Fourier ef (x) della funzione f (k) = eb −|k| .
Esercizio 17. Si calcoli la antitrasformata di Fourier ef (x) della funzione f (k) = x eb −|x| .
4 Soluzioni
4.1 Propriet` a di trasformate di Fourier
Esercizio 1. Per definizione,
f (k)b = 1
√ 2π
Z +∞
−∞
f (x) e−ikx dx = 1
√ 2π
Z +∞
−∞
f (x) [cos(kx) − i sin(kx)] dx
= 1
√ 2π
Z +∞
−∞
f (x) cos(kx) dx − i Z +∞
−∞
f (x) sin(kx) dx
:= 1
√2π [I1(k) − i I2(k)] .
Per f pari, `e evidente che I2(k) = 0; d’altra parte, sempre per la parit`a di f (x) (e di cos(x)) si ha anche
I1(x) = Z +∞
−∞
f (x) cos(kx) dx = 2 Z +∞
0
f (x) cos(kx) dx ,
il che completa la dimostrazione.
Esercizio 2. Procedendo come nell’esercizio 1, per f dispari segue I1(k) = 0.
D’altra parte, la funzione f (x) sin(kx), prodotto di due funzioni dispari, `e pari;
dunque
I2(x) = Z +∞
−∞
f (x) sin(kx) dx = 2 Z +∞
0
f (x) sin(kx) dx ,
il che completa la dimostrazione.
Esercizio 3. Scrivendo f = f++ f−, e ricordando che la trasformata di Fourier
`e lineare, abbiamo subito
f (k) = bb f+(k) + bf−(k) . D’altra parte, i due esercizi precedenti ci mostrano come
fb+(k) = r2
π J+(k) , fb−(k) = − i r2
π J−(k) , dove gli integrali J± sono definiti da
J+(k) = Z +∞
0
f+(x) cos(kx) dx ; J−(k) = Z +∞
0
f−(x) sin(kx) dx . Avendo supposto f reale – il che naturalmente implica che anche
f+(x) := f (x) + f (−x)
2 ed f−(x) := f (x) − f (−x) 2
lo siano – i due integrali sono reali; dunque
f (k) =b r2
π [J1(k) − i J2(k)]
e le parti reale ed immaginaria di bf (k) sono immediatamente identificate, e corrispondono proprio alle trasformate bf+ e bf− di f+ed f− rispettivamente.
4.2 Calcolo di trasformate di Fourier
Esercizio 4. Bisogna calcolare l’integrale
f (k) =b 1
√ 2π
Z +∞
−∞
e−|x| e−ikx dx
al variare di k ∈ R. La parit`a della funzione f (x) assicura che possiamo scrivere
f (k) =b 1
√2π Z +∞
−∞
e−|x| cos(kx) dx = 2 1
√2π Z +∞
0
e−x cos(kx) dx . Risulta che
Z +∞
0
e−x cos(kx) dx = 1 1 + k2 , e dunque
f (k) =b r2
π 1 1 + k2 .
Esercizio 5. La funzione in oggetto `e ora dispari; dunque abbiamo
f (k) = − ib 1
√2π Z +∞
−∞
e−|x| sin(kx) dx = −i r2
π Z +∞
0
e−x sin(kx) dx . Risulta che
Z +∞
0
e−x sin(kx) dx = k 1 + k2 , e dunque
f (k) = −ib r2
π k 1 + k2 .
Esercizio 6. La funzione f (x) e`dispari; abbiamo quindi, usando le stesse formule usate nell’esercizio precedente,
f (k) = −ib r2
π Z +∞
0
x e−x sin(kx) dx .
Risulta che
Z +∞
0
x e−x sin(kx) dx = 2 k (1 + k2)2 , e quindi
f (k) = − ib r2
π 2 k (1 + k2)2 .
Esercizio 7. In questo caso,
f (k) =b 1
√2π Z +∞
−∞
f (x) e−ikxdx = 1
√2π Z +α
−α
e−ikxdx = r2
π Z α
0
cos(kx) dx . Con una integrazione elementare abbiamo
Z y 0
cos(kx) dx = sin(kα)
k ;
notiamo che per k = 0 l’integrale si riduce ad α, che `e anche il limite del valore ottenuto per k generico quando k → 0.
Quindi, in conclusione,
f (k) =b r 2
π k2 sin(kα) = r2
π
sin(kα)
k .
Esercizio 8. La funzione
f (x) = 1
√2π Z +α
−α
e−|x−y| dy pu`o essere riscritta come
f (x) = 1
√2π Z +∞
−∞
g(x − y) h(y) dy (∗)
in cui abbiamo definito
g(x) = e−|x| , h(x) = 1 per |x| ≤ α 0 per |x| > α ;
notiamo che queste funzioni sono state considerate, rispettivamente, negli eser- cizi 1 e 4.
La formula (*) esprime il fatto che f (x) si esprime come il prodotto di convolu- zione delle funzioni g(x−y) ed h(y); ci`o implica (si vedano gli appunti disponibili in rete o i testi di riferimento) che
f (k) =b bg(k) · bh(k) .
Come calcolato in precedenza,
bg(k) = r2
π 1
1 + k2 ; bh(k) = r2
π
sin(kα)
k .
Ne segue immediatamente
f (k) =b 2 π
sin(kα) k (1 + k2) .
Esercizio 9. La funzione f (x) proposta si scrive come f (x) = f1(x) + f3(x) ,
con f1ed f3le funzioni incontrate negli esercizi 1 e 3 rispettivamente. Ne segue che
f (k) = bb f1(k) + bf3(k) e, dai risultati di detti esercizi,
fb1(k) = r2
π 1
1 + k2 ; fb3(k) = − i r2
π 2 k (1 + k2)2 . Pertanto,
f (k) =b r2
π
(1 + k2) − 2ik (1 + k2)2 .
Esercizio 10. Procedendo per calcolo diretto, bisogna calcolare l’integrale
f (k) =b 1
√2π Z +∞
−∞
1
1 + x2 e−ikx dx ; trattandosi di una funzione pari, abbiamo
f (k) = 2b 1
√2π Z +∞
0
1
1 + x2 cos(kx) dx . Risulta che
Z +∞
0
1
1 + x2 cos(kx) dx = π 2 e−|k|, e dunque
f (k) =b r π 2 e−|k| .
E’ anche possibile procedere senza effettuare calcoli, grazie all’esercizio 4. Infat- ti, la funzione f (x) `e proprio (a meno di un termine costante) quella ottenuta
transformando la funzione e−|x|; quest’ultima `e una funzione di modulo inte- grabile, quindi antitrasformando la sua trasformata si riotterrebbe la funzione di partenza; quindi
A[p
2/π(1/(1 + x2))] = p
2/π A[(1/(1 + x2))] = e−|x| ; dunque abbiamo
A[f ] = A[(1/(1 + x2))] = p
π/2 e−|x|. D’altra parte, sappiamo che per funzioni pari si ha
T [f ] = A[f ] : ne segue immediatamente che
T [f ] = bf (k) = p
π/2 e−|x| .
4.3 Calcolo di antitrasformate di Fourier
Esercizio 11. Si deve calcolare l’integrale
f (x) =e 1
√2π Z +∞
−∞
1
1 + k2 eikx dk ;
notiamo che, usando la formula di Eulero per l’esponenziale e la parit`a delle funzioni,
I(x) = Z +∞
−∞
1
1 + k2 eikx dk = 2 Z +∞
0
1
1 + k2 cos(kx) dk ; risulta inoltre
Z +∞
0
1
1 + k2 cos(kx) dk = π e−|x|. Abbiamo quindi
f (x) =e √
2π e−|x| .
Allo stesso risultato si sarebbe potuti giungere usando il risultato dell’esercizio 4 della sezione precedente ed il fatto che f (x) `e L2 (in effetti, L1) e continua.
Esercizio 12. Abbiamo ora
f (x) =e 1
√2π Z +∞
−∞
k
1 + k2 eikx dk ;
notiamo che, usando la formula di Eulero per l’esponenziale e la parit`a delle funzioni,
I(x) = Z +∞
−∞
k
1 + k2 eikxdk = 2 i Z +∞
0
k
1 + k2 sin(kx) dk ; risulta inoltre
Z +∞
0
k
1 + k2 sin(kx) dk = π sgn(x) e−|x| . Abbiamo quindi
f (x) =e √
2π sgn(x) e−|x| ;
nuovamente questo risultato corrisponde a quanto si sarebbe potuto dedurre direttamente dal risultato dell’esercizio corrispondente della precedente sezione.
Esercizio 13. In questo caso abbiamo
f (x) =e 1
√ 2π
Z +∞
−∞
k
(1 + k2)2 eikxdk ; risulta che
Z +∞
−∞
k
(1 + k2)2 eikxdk = 1
2 π x e−|x| , e quindi
f (x) =e
√π 2√
2 x e−|x| .
Esercizio 14. Anche in questo caso si tratta dell’inverso del corrispondente esercizio della sezione precedente. Abbiamo
f (x) =e 1
√2π Z +∞
−∞
sin(k)
k eikx dk ; risulta che
Z +∞
−∞
sin(k)
k eikxdk = π
2 [sgn(1 − x) + sgn(1 + x)] . Abbiamo quindi
f (x) =e
√π 2√
2 χ1(x) , dove abbiamo definito
χa(x) = 1 per |x| ≤ a 0 per |x| > a
Esercizio 15. Anche in questo caso riotterremo la funzione considerata nel- l’esercizio corrispondente della sezione precedente, ma in una forma diversa.
Procedendo direttamente all’integrazione, risulta essere
f (x)e = 1
√2π Z +∞
−∞
sin(k)
k(1 + k2) eikx dk
= 1
√2π Z +∞
−∞
sin(k)
k(1 + k2) cos(kx) dk
=
√π 2√
2 h
sgn(1 − x) 1 − cosh(1 − x) + sinh(1 − x) + sgn(1 + x) 1 − cosh(1 + x) + sinh(1 + x)i In conclusione, trattando separatamente i casi |x| ≥ 1 e |x| ≤ 1, abbiamo
f (x) =e 2[1 − e−1cosh(x)] per |x| ≤ 1
2e−1 sinh(|x|) per |x| > 1 (∗∗)
Esercizio 16. Si tratta della stessa funzione di cui abbiamo calcolato la trasfor- mata nell’esercizio 4 della precedente sezione. Ricordiamo che per una funzione pari, T [f ] = A[f ]; ne segue dunque immediatamente, confrontando il risultato di quell’esercizio, che
f =e r2
π 1 1 + x2 .
Esercizio 17. Anche in questo caso abbiamo gi`a incontrato la stessa funzione, nell’esercizio 6 della precedente sezione. Ricordiamo che per una funzione dispa- ri, T [f ] = −A[f ]; ne segue dunque immediatamente, confrontando il risultato di quell’esercizio, che
f = ie r2
π 2 k (1 + k2)2 .
