Esercizi sulle serie di Fourier
30 aprile 2009
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Esercizi sulle serie di Fourier
Esercizio 1 Dimostrare che se f `e una funzione definita su R che `e continua in zero e ammette periodi positivi piccoli a piacere, allora f `e costante. Dare un esempio di una funzione non continua che ammette periodi positivi piccoli a piacere.
Esercizio 2 Dimostrare che se f `e una funzione definita su R e S e T sono periodi per f allora anche S + T `e un periodo per f .
Esercizio 3 Dimostrare che se f `e una funzione periodica non costante e continua, allora l’estremo inferiore dei suoi periodi positivi `e un periodo T ed ogni altro periodo `e un multiplo intero di T .
Esercizio 4 Dimostrare che se f `e una funzione periodica di periodo T , inte- grabile nell’intervallo [0, T ], allora f `e integrabile in ogni intervallo [a, T + a]
e risulta
Z T +a a
f (x)dx = Z T
0
f (x)dx.
Esercizio 5 Dimostrare che se f `e periodica di periodo T > 0 ed integrabile in [0, T ], allora, per ogni y ∈ R,
Z T 0
f (x + y)dx = Z T
0
f (x)dx.
Esercizio 6 Sia f una funzione periodica di periodo T > 0 integrabile in ogni intervallo. Sotto quali condizioni la funzione
F (x) = Z x
0
f (t)dt,
risulta anche essa periodica dello stesso periodo?
Esercizio 7 Data la funzione
g(x) =
0 −π < x < −π/2 1 −π/2 ≤ x ≤ π/2 0 π/2 < x < π
,
sia f il suo prolungamento 2π-periodico. Disegnare f , scrivere la serie di Fourier ad essa associata, e calcolarne la somma per x = 1 e x = π/2.
3 Esercizio 8 Sia [a, b] ⊂ [−π, π], e sia f il prolungamento periodico della funzione caratteristica di [a, b] (che vale uno per a ≤ x ≤ b e vale zero fuori di [a, b]. Calcolare i coefficienti di Fourier di f .
Esercizio 9 Si consideri la funzione f (x) = e−x definita sull’intervallo [−π, π[
e prolungata per periodicit`a in R. Detti an, bn i relativi coefficienti della serie di Fourier, si calcoli
n→∞lim bn+1
bn .
Esercizio 10 (Non facile) Supponiamo che f e g siano funzioni continue e periodiche di periodo 2π, per ogni x ∈ R, sia
f ? g(x) = 1 2π
Z π
−π
f (x − t)g(t)dt.
Dimostrare che la funzione f ? g `e continua e periodica dello stesso periodo e che
f ? g(n) = ˆ[ f (n)ˆg(n), dove ˆf (n) = 2π1 Rπ
−πf (t)e−intdt denota l’n-mo coefficiente di Fourier di f in campo complesso.
Esercizio 11 Se f `e continua e periodica e g(x) = einx, calcolare f ? g(x).
Fare lo stesso calcolo per g(x) = sin nx e g(x) = cos x.
Esercizio 12 Sia Dn(x) = Pn
k=−neinx = 1 + 2Pn
k=1cos kx, e sia f una funzione integrabile. Dimostrare che la somma di ordine n della serie di Fourier di f `e
Dn? f (x) =
n
X
k=−n
f (n)eˆ inx.
Esercizio 13 (non facile) Usare la disuguaglianza di Bessel e la disugua- glianza
X
n
|anbn| ≤ (X
n
|an|2)1/2(X
n
|bn|2)1/2,
per dimostrare che se f e g sono funzioni continue, la serie di Fourier di f ? g converge assolutamente.
Esercizio 14 (difficile) Osservare che la conclusione del precedente esercizio rimane valida quando f e g corrispondono in [−π, π] a funzioni caratteristi- che di intervalli. Prendendo f = χ[a,b] e g = χ[−δ,δ] (o un suo multiplo), disegnare il grafico di f ? g. Dedurne che le funzioni con grafico triangolare o trapezoidale hanno serie di Fourier assolutamente convergente.
