Laboratorio di Giochi Matematici a.a. - 2000/2001

SISSIS – Indirizzo Fisico-Matematico-Informatico – A.A. 2000/2001 Approccio LM_D metodologico modellistico /

M7

Laboratorio di Giochi Matematici a.a. - 2000/2001

In relazione all’obiettivo ed all’articolazione dei Laboratori Didattici, viste le indicazioni ministeriali inerenti le finalità formative, gli obiettivi di apprendimento e le metodologie relative all’insegnamento della matematica nei Licei, viste le competenze professionali richieste per l’accesso all’insegnamento nella Scuola Secondaria di 2° grado e tenendo conto delle peculiarità e del carattere di trasversalità del Laboratorio di Giochi Matematici rispetto ai Laboratori di Analisi Numerica - Geometria I - Calcolo delle probabilità e Statistica - Analisi - Logica – Algoritmica, passo a presentare l’articolazione del laboratorio di giochi matematici, la cui definizione è subordinata ai contatti che ritengo opportuno stabilire con i Docenti dei suddetti Laboratori.

Premessa

Ho riflettuto a lungo su cosa si debba intendere per gioco matematico. Ho ricordato le mie personali esperienze (non solamente giovanili) e mi sono soffermato sul successo delle Gare di Matematica che da alcuni anni impegnano gli studenti delle nostre scuole e che seguo personalmente come insegnante. Riviste sull’argomento e gare sono assai diffuse negli Stati Uniti, in Canada, in Argentina, in Giappone, in Francia, in Gran Bretagna, in Australia, e in molti altri Paesi. Già nel 1957 Martin Gardner avvia la sua rubrica mensile – dedicata ai giochi matematici - sulla rivista "Scientific American". Sono venuto a conoscenza del primo libro interamente dedicato ai giochi matematici "Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres" (C.G.F.

Bachet sieur de Méziriac, 1612) e dell’interesse che N. Chuquet rivolse ai problemi ricreativi all’interno del suo “Triparty en la science des nombres" (1484). Numerosi altri riferimenti storici conducono ancora più indietro nel tempo fino all’antico Egitto. Successivamente ho esaminato alcuni esemplari del vasto repertorio di libri oggi disponibili sulla materia, soprattutto per soffermarmi sul punto di vista dei rispettivi autori; ne cito uno per tutti (Gabriele Lolli , "Il riso di Talete"): "Questo tipo di matematica è seria e piena di legittimità, tanto è vero che su di essa si può basare una proposta didattica, e una delle più sensate, che ha tanti sostenitori nei più diversi tempi e contesti… I giochi non sembrano diversi dai tradizionali esercizi, se non forse perché sono di tipo più logico e linguistico e meno numerico, in generale, e questo argomento gioca tutto a loro favore. La differenza rispetto agli esercizi è che divertono, e non è cosa da poco… in primo luogo

rappresentano una sfida, e secondariamente la soluzione di solito presenta un elemento di sorpresa. La sorpresa consiste o nel fatto che una risposta proprio ci sia, o nel fatto che la risposta è contraria a ciò che ci si attende. Questi aspetti avvicinano i giochi ad un altro fenomeno importante… che è quello dei paradossi ".

Questo giudizio introduce, a mio avviso, nella dimensione didattica dei giochi matematici. Il gioco matematico è assimilabile ad una Situazione Didattica caratterizzata da un clima favorevole alla creatività, all’intuizione, alla ricerca di una soluzione in assenza di un algoritmo definito o di uno schema di comportamenti come avviene in Teoria dei Giochi. Rispetto alla Teoria dei Giochi, infatti, i giochi matematici possiedono una loro “esistenza” anche esternamente alla matematica formalizzata, in quanto presentano caratteri non oggettivi quali le rappresentazioni mentali (dei concetti matematici) posseduti dal “giocatore”. Un gioco matematico può, allora, smascherare quelle concezioni difformi del discente (tanto per tornare tra i banchi) che impediscono la comunicazione delle matematiche; contribuisce a suscitare interesse nei riguardi del Pensiero Matematico (finalità peraltro presente nei programmi ministeriali) proprio perché rende visibili i

“tentativi”, gli errori, le vie secondarie che precedono e che conducono alla formalizzazione dei concetti e delle relazioni tra essi. Che la somministrazione di giochi matematici sia didatticamente utile è suggerito dalla stessa immagine degli alunni inchiodati ai banchi delle Gare di Matematica da una fortissima motivazione. Da cosa ha origine questa esigenza di raccogliere una sfida in un terreno ritenuto difficile e arido come la Matematica? Come si attiva? Hilbert affermava che « …la convinzione di risolvere ogni problema matematico è un potente incentivo per chi lavora … Noi sentiamo dentro di noi l’eterna voce: C’è un problema. Cerca la sua soluzione. … ».

Articolazione del Laboratorio di Giochi Matematici

L’attività del docente legata alla trasposizione didattica del sapere da insegnare, richiede la preliminare raccolta di informazioni sul soggetto-apprendente in ordine alle concezioni che questi ha sviluppato o tende a sviluppare in rapporto alla propria esperienza percettiva ed a fattori di tipo psicologico. Questa indagine, che mi pare opportuna in quanto permette al docente di formulare ipotesi sulla base delle quali operare le proprie scelte didattiche, pone il problema della ricerca di un adeguato strumento di investigazione quale potrebbe essere il ricorso ai giochi matematici. Il Laboratorio di Giochi Matematici costituirebbe, in tal senso, un’esperienza su cui riflettere.

Propongo, quindi, la seguente articolazione:

§ Una prima parte, informativa, che chiarisca il ruolo dell’analisi epistemologica e storico- epistemologica del segmento di sapere da insegnare e che fornisca delucidazioni sulla Teoria delle Situazioni Didattiche (analisi a-priori in particolare).

§ Una seconda parte che chiarisca la nozione di gioco matematico e ne mostri la praticabilità didattica attraverso esemplificazioni, riferimenti storici, ecc.

§ Una terza parte, più cospicua, che preveda la suddivisione dei corsisti in gruppi di lavoro ciascuno dei quali, in riferimento ad una situazione scolastica reale e all’esperienza maturata nei restanti Laboratori Didattici, ipotizzi la progettazione di un modulo funzionale alla raccolta delle informazioni di cui sopra e tale da coinvolgere concetti e procedimenti che si ritiene possano costituire ostacolo all’apprendimento della matematica.

Palermo, 09 ottobre 2000 Gerardo Emanuele Perez

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Laboratorio di Problem-Solving e Giochi Matematici

A.A. - 2001/2002

Secondo anno

Devo al Prof. A.Brigaglia lo stimolo e l’incoraggiamento necessari ad affrontare quello che ritengo sia stato un felice e proficuo accostamento tra due diverse [?] espressioni dell’attività matematica;

mi riferisco all’accorpamento dei laboratori di Problem-Solving e Giochi Matematici, il primo dei quali già tenuto dallo stesso Prof. Brigaglia lo scorso anno. Grazie a questa opportunità mi è stato possibile intravedere un legame più profondo tra GIOCO (matematico) ed apprendimento della matematica. Assumendo l’incarico di animatore per l’a.a. 2000/2001, pensavo al GIOCO come ad una strategia di soccorso (o anche di supporto) utilmente proponibile all’interno della pratica didattica. Pensavo al GIOCO anche come strumento di monitoraggio delle concezioni difformi del discente (rispetto al sapere da insegnare). La concezione che avevo di GIOCO era, in buona sostanza, ristretta al suo uso nella didattica.

Riflettendo sugli interrogativi, sulle discussioni e sulle osservazioni degli specializzandi (confrontando anche i due anni accademici, prima e dopo la fusione dei citati laboratori), ho notato che il confronto tra ‘PROBLEMA’ e ‘GIOCO’ tende ad essere riportato su due livelli differenti:

quello della comunicazione e quello del pensiero. Sul piano della comunicazione (negoziazione del significato da attribuire ad un segno, forza espressiva dei linguaggi di qualsiasi genere, formalizzati e non) appare ragionevole indivuduare nella forma (meglio: nella presentazione) elementi utilizzabili per stabilire se si è davanti ad un problema o ad un gioco (ho lasciato che gli specializzandi conservassero il più a lungo possibile ciascuno la propria idea di ‘problema’ e di

‘gioco’, ciò al fine di “mettere in conto” eventuali pregiudizi ai danni del secondo). Se nella comunicazione è difficile accordarsi su alcuni elementi discriminatori, sul piano del pensiero la differenza tra problema e gioco si fa ancora più sottile. Dice Gaetano Kanizsa «…si è sempre assunta l'esistenza del problema come un dato, come un fatto esistente per se e non richiedente ulteriore comprensione... Ma questa assunzione del problema come dato dal quale partire è arbitraria: il problema non è un dato, un fatto naturale, ma è... un prodotto psicologico. Si converrà senza difficoltà che esiste un problema solo là e quando vi è una mente che vive una certa situazione come problema. Diciamo di più, e più esattamente: vi è problema solo quando la mente

crea o determina il problema: vi è problema solo nella dimensione psicologica, non in quella naturale, o oggettiva». Per dare un’idea di come tali riflessioni possano avere avuto inizio all’interno di un laboratorio didattico, tengo a sottolineare che – in quanto laboratorio - il clima non poteva che essere “favorevole” allo stabilirsi di uno spirito di ricerca; riporto anche brevemente alcuni frammenti dell’attività dei primi due giorni (sui nove incontri complessivi).

Il primo giorno abbiamo individuato un possibile legame tra ciò che si intende comunemente con

«PROBLEMA» e ciò che si intende comunemente con «GIOCO»: ovvero l’assenza di un algoritmo noto.

Secondo giorno. Uno specializzando fa notare che se di un problema è noto un algoritmo, allora non è un problema…e se davvero è un problema allora dobbiamo rinunciare a risolverlo! In conseguenza di questo intervento il docente del laboratorio si trova costretto a restringere l’universo delle possibili accezioni del termine ‘problema’ fino a limitarne l’estensione ai soli casi di interesse didattico, cioè a dire ai casi in cui l’algoritmo risolutivo, semplicemente, non è noto al soggetto apprendente. Con queste premesse la riflessione continua. L’algoritmo può essere noto al soggetto A e non esserlo al soggetto B; allora il problema è tale solo per B e non per A. Quest’ultimo può addirittura percepire come gioco ciò che per B è un problema. In determinate situazioni, insomma, l’«oggetto di lavoro» (problema o gioco) diviene «oggetto di pensiero» nella mente dell’alunno, caricandosi di significati psicologici, subendo trasformazioni a livello linguistico-rappresentativo, perdendo alcuni elementi ed acquisendone di nuovi laddove l’alunno tenti di confrontarlo (e addirittura di “adattarlo”, forzandolo) con esperienze pregresse, con conoscenze e procedimenti a lui noti. La distinzione tra ‘problema’ e ‘gioco’ pare sia da ricercare nella reazione dell’alunno, non già nella forma dello stimolo.

Se fare matematica significa risolvere problemi, l’esigua distinzione tra problema e gioco avrebbe conseguenze interessanti. Lo scorso anno affermavo che un gioco matematico contribuisce a suscitare interesse nei riguardi del Pensiero Matematico proprio perché rende visibili i “tentativi”, gli errori, le vie secondarie che precedono e che conducono alla formalizzazione dei concetti e delle relazioni tra essi. Oggi potrei, più semplicemente, affermare che il gioco matematico è espressione del Pensiero Matematico. Non mi pare poco.

Concludo, per il momento, riportando a) alcuni temi cui ho fatto riferimento nel condurre le conversazioni con i piccoli gruppi di specializzandi; b) alcune indicazioni date agli specializzandi per la realizzazione di una loro tesina finale; c) altre indicazioni sull’eventuale ambientazione del problema o del gioco (esemplare didattico) all’interno di una programmazione modulare; d) le ragioni che mi hanno spinto ad approfondire la Teoria delle Situazioni Didattiche, sulla quale

intendo soffermarmi specialmente in seguito a proficue conversazioni avute con la Prof.ssa T.

Marino e con lo stesso Prof. F. Spagnolo; e) l’indice di uno dei due libri di G. Polya che il Prof.

Brigaglia ha messo a mia disposizione, credo sia interessante esaminare i contenuti di tale volume in chiave di situazione a-didattica all’interno della quale credo possano essere trattati unitariamente

‘problema’ e ‘gioco’; f) un estratto dal libro «Insegnare le matematiche nella scuola secondaria» in cui il Prof. F. Spagnolo illustra la nozione di situazione a-didattica; g) alcune consegne discusse con gli specializzandi. G.E.Perez

Temi di riferimento

• Soggettività nella distinzione tra problema e gioco.

• Riflessione sulla possibilità di un approccio unitario ai concetti di problema e di gioco attraverso la nozione di situazione a-didattica.

• Formattazione dei campi mentali e comportamentali della sfera dell’apprendimento: la devoluzione.

• Architettura del sapere da insegnare e superamento delle “barriere architettoniche”: la trasposizione didattica.

• Riflessioni sulla fase di progettazione di una unità didattica: il “pensiero nascosto”

dell’insegnante.

• Problemi matematici e ricerca di strategie risolutive: Respice finem.

• Problemi di dimostrazione e problemi di determinazione.

• Metodi sintetici per la risoluzione dei problemi geometrici: metodo delle trasformazioni geometriche; metodo dei luoghi geometrici; metodo del problema contrario; la geometria del compasso e il teorema di Mascheroni (1797).

• Proposizioni aperte in R.

• Il mito del «delta» e i problemi di 2° grado.

• L’algebra di Boole e la metafora del cervello-computer.

• L’intuizione e la logica nelle matematiche (H. Poincaré).

• Curve celebri e problemi collegati.

• Programmi P.N.I.: obiettivi di apprendimento inerenti la capacità di risolvere problemi.

• Note sulla storia dei giochi matematici.

• Funzione dei giochi matematici in didattica della matematica: Il gioco matematico come esemplare didattico all’interno di una UD.

• Rappresentazioni mentali ed ostacoli epistemologici … in clima di gioco.

• Nuove tecnologie e giochi matematici.

• Il successo delle Olimpiadi della Matematica nella Scuola Secondaria.

• Letture relative ad alcune speculazioni sul concetto di gioco in senso più ampio (G. Bateson;

J. Huizinga).

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Laboratorio di Giochi Matematici

Piano di lavoro

1

Presentazione del laboratorio. Funzione dei giochi matematici in didattica della matematica: conversazione collettiva.

2

1ª parte: Brevi note sulla storia dei giochi matematici.

Teoria delle situazioni didattiche (generalità).

2ª parte: Lavori di gruppo.

3

Rappresentazioni mentali ed ostacoli epistemologici rilevabili attraverso la somministrazione di giochi matematici. Funzione positiva dell’errore.

4

1ª parte: Il gioco matematico come particolare situazione a-didattica.

2ª parte: Lavori di gruppo.

5

I giochi matematici nella programmazione didattica modulare con riguardo agli aspetti legati alla comunicazione delle matematiche.

6

1ª parte: Alcune esperienze reali nella scuola secondaria.

Prime sorprese sulla natura dei giochi matematici.

2ª parte: Lavori di gruppo.

7

Nuove tecnologie e giochi matematici.

8

1ª parte: Giochi “celebri”.

2ª parte: Lavori di gruppo.

9

Obiettivi educativi perseguibili attraverso i giochi matematici, suggeriti da alcune posizioni filosofiche sul concetto di gioco.

10

1ª parte: Lavori di gruppo.

2ª parte: Cos’è, davvero, un gioco matematico?

(tema di chiusura del laboratorio)

(*) I lavori di gruppo hanno per oggetto la scelta (o progettazione) e la discussione di giochi matematici in relazione al contesto didattico ipotizzato

“celebri” quali: la torre di Hanoi, problema dei 4 colori, problema dei tagli del piano, ecc.)

.

Il docente G. E. Perez

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Indicazioni per la tesina

Premessa ^Libera

A Breve descrizione del Modulo e bozza della particolare UD B Produzione di idee e scelta dell’ESEMPLARE

C Analisi dell’ESEMPLARE scelto Conclusioni

Libera

Consegne Il Docente Il Problema

Un paio di problemi da

sottoporre in un compito classe.

Un paio di problemi da sottoporre alla classe come esercitazione.

Alcuni giochi da sottoporre alla classe come autoverifica.

Alcuni brevi problemi da sottoporre come quesiti in un compito in classe.

Alcuni brevi problemi da sottoporre come quesiti alla lavagna.

Alcuni brevissimi problemi da sottoporre come quesiti “dal posto”.

Altro.

In questa sezione il docente annota le proprie rappresentazioni mentali, le proprie conoscenze e/o carenze

mai colmate; le fonti utilizzate, idee ancora non ben definite;

ecc. [Si veda anche il file

«Perché la Teoria delle Situazioni Didattiche»

• Piccoli e grandi problemi:

qual è la differenza? Solo la lunghezza?

• Problemi scelti e problemi escogitati: fino a che punto attingere dal libro di testo?

• Problemi per Biennio o per Triennio: cosa cambia nel testo del problema?

Cos’altro cambia?

• “Risolvere la seguente equazione

… “ questo è un esercizio;

invece quest’altro: “Su un piano siano dati un triangolo rettangolo ABC, retto in A, ed una retta passante per …”.

Sembrerebbe proprio che più il testo di una consegna è retorico più si è disposti ad ELEVARLO a rango di problema…che ne pensate?

E da cosa si capisce che il testo di una consegna è un gioco se non viene espressamente dichiarato dal docente? … specialmente i giochi che, per così dire, restano linguisticamente in ambito matematico e non suggeriscono immagini di calzini neri, bianchi e rossi o di orologi folli.

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(1) Il LAVORO può comprendere le seguenti riflessioni:

• Piccoli e grandi problemi: qual è la differenza? Solo la lunghezza?

• Problemi scelti e problemi escogitati: fino a che punto attingere dal libro di testo?

• Problemi per Biennio o per Triennio: cosa cambia nel testo del problema? Cos’altro cambia?

• “Risolvere la seguente equazione … “ questo è un esercizio; invece quest’altro: “Su un piano siano dati un triangolo rettangolo ABC, retto in A, ed una retta passante per …”. Sembrerebbe proprio che più il testo di una consegna è retorico più si è disposti ad ELEVARLO a rango di problema…che ne pensate?

E da cosa si capisce che il testo di una consegna è un gioco se non viene espressamente dichiarato dal docente? … specialmente i giochi che, per così dire, restano linguisticamente in ambito matematico e non suggeriscono immagini di calzini neri, bianchi e rossi o di orologi folli.

(2) Possibili modalità di somministrazione degli ESEMPLARI didattici:

• Un paio di problemi da sottoporre in un compito classe.

• Un paio di problemi da sottoporre alla classe come esercitazione.

• Alcuni giochi da sottoporre alla classe come autoverifica.

• Alcuni brevi problemi da sottoporre come quesiti in un compito in classe.

• Alcuni brevi problemi da sottoporre come quesiti alla lavagna.

• Alcuni brevissimi problemi da sottoporre come quesiti “dal posto”.

• Altro.

(3) Possibili OBIETTIVI che immaginiamo di perseguire attraverso opportuni ESEMPLARI.

OBIETTIVI per il docente: raccolta informazioni sugli alunni (…e su se stesso! Infatti egli deve conoscere ed eventualmente rinverdire i concetti che si accinge ad ispezionare. Analizzando le risposte degli alunni può trovarsi innanzi ad una situazione nuova, mai incontrata né come studente né come insegnante;

personalmente mi è capitato spesso e non di rado ho dovuto correggere mie vecchie e solide credenze matematiche…):

• Ispezione delle rappresentazioni mentali su concetti di natura geometrica (non nel senso del loro corretto uso all’interno della struttura assiomatica considerata, ma di un modello

rispetto al quale la teoria geometrica scelta risulti coerente; la considerazione del modello permette di recuperare i significati che lentamente il soggetto costruisce con l’esperienza dei propri pellegrinaggi percettivi).

• Ispezione delle rappresentazioni mentali sulla forma e sul significato delle soluzioni di una equazione o una disequazione, in rapporto alle proprietà delle strutture Algebrica, d’Ordine e Topologica dell’insieme dei numeri reali.

• Ispezione delle rappresentazioni mentali sui concetti di punto di accumulazione di un insieme, di estremi di un insieme, di limite, di funzione continua, di derivata, di differenziale, di integrale definito.

• Potete soffermarvi sulla differenza tra matematica e pensiero matematico messa in luce dalla somministrazione di giochi e problemi. Spesso, infatti, l’esercizio (un problema, un gioco o un qualsiasi contesto applicativo) viene considerato solamente come uno strumento funzionale alla verifica ed al consolidamento di conoscenze e procedimenti dettati dalla struttura propria del sapere oggetto di insegnamento, del sapere “rifinito”; raramente ci si preoccupa o si ha il tempo, invece, di far vivere agli alunni l’esperienza della ricerca e della speculazione matematica.

OBIETTIVI dal punto di vista dell’apprendimento della Matematica (discente):

• Introduzione di un concetto nuovo, un concetto “nodale” per la disciplina (esempio:

concetto di funzione, concetto di trasformazione geometrica, concetto di limite, ecc.).

• Generalizzazione di un concetto già acquisito.

• Particolarizzazione di un concetto nodale già acquisito.

• Presa di coscienza dei legami esistenti tra concetti incontrati in ambiti diversi.

• Consapevole applicazione di concetti e proprietà già incontrate.

• Sviluppo della capacità di sottoporre a variazioni i contenuti appresi.

• Autoverifica.

• Recupero di lacune pregresse.

• Crescita dell’interesse e della motivazione nei confronti della disciplina.

• Altro.

(4) ESEMPLARI didattici che possono essere realizzati:

• Giochi.

• Problemi di determinazione.

• Problemi di dimostrazione.

• Altro (mi attendo da voi una più articolata classificazione di giochi e problemi).

•

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Indicazioni per una bozza del Modulo e della particolare UD scelta per la posa in opera del

gioco matematico

Breve richiamo sui Moduli

§ Il modulo può essere pensato come un itinerario di apprendimento relativo ad un nucleo tematico organizzatore. Intenderò qui per “ itinerario” una particolare sequenza di Unità Didattiche.

§

Mentre l’Unità Didattica esplora uno specifico argomento, il modulo si riferisce « ad una sezione altamente significativa della disciplina o dell’ambito

interdisciplinare considerato, tale da determinare una modifica profonda di chi apprende» [

Università di Roma 3, Dipartimento di Scienze dell’educazione].

§ I moduli rispondono all’esigenza di: riorganizzare la disciplina (matematica) intesa come sistema aperto; formare un sapere coerente relativo ad un’area tematica; consolidare quelle competenze che risultano fondamentali e ricorrenti nelle applicazioni. Ogni modulo costituisce un sistema strutturato (in unità didattiche) e fornisce spunti per richiamare altri moduli.

Il MODULO permette l’acquisizione di competenze stabili (obiettivi formativi)

L’ UNITA’ DIDATTICA permette l’acquisizione di competenze attese

(obiettivi didattici)

Progettazione del Modulo

Le ipotesi di lavoro: [Ambiente: realtà della classe]

a) Tipo di scuola secondaria (liceo scientifico, classico, ecc.).

b) Indicazione della eventuale sperimentazione (P.N.I., ecc.).

c) Anno di corso – periodo dell’anno scolastico.

d) Qualche dato relativo alla classe (esempio: numero di alunni).

e) I prerequisiti (livello di formazione precedentemente raggiunto limitatamente ai segmenti di sapere richiamati dal modulo).

f) Eventuali esigenze formative riscontrate (carenze, ostacoli, ecc.)

L’analisi dei contenuti : [Ambiente: la disciplina]

Individuare il Nucleo Organizzatore del modulo dettagliando un po’ meglio la Mappa Concettuale “di massima” dell’area tematica che farà da sfondo all’ESEMPLARE sul quale vi soffermerete

.

Costruzione del modulo : [Ambiente: terreno di incontro tra le esigenze

formative degli alunni e la struttura della disciplina]

Definire le competenze che il modulo contribuisce ad attivare, confrontando i punti e) f) della sezione «Le ipotesi di lavoro» con l’apparato semantico e sintattico della mappa concettuale oggetto di esperienza modulare.

Declinare le competenze in termini di obiettivi strumentali sulla base dei quali individuare una sequenza di Unità Didattiche nel rispetto del criterio di gradualità dell’apprendimento, qui inteso in termini di propedeuticità delle competenze e di congruità con la mappa concettuale.

Indicare il tipo di modulo ( debole : su una disciplina, forte : su più discipline).

Il modulo può essere obbligatorio in quanto fondamentale, oppure semplicemente

propedeutico rispetto ad altri , di consolidamento o di recupero.

Scelta e progettazione di una UD: [Ambiente: situazione didattica sapere – docente – alunni]

In questa fase si gioca tutto. Le esigenze possono essere state correttamente e professionalmente rilevate dal docente; il nucleo organizzatore del modulo può effettivamente essere ritenuto quello più rispondente a tali esigenze …

… ma in tutto questo hanno avuto un ruolo “attivo” solamente il sapere e

l’insegnante; ora entra in scena anche l’alunno insieme alla sua capacità di reazione agli stimoli, al suo modo personale di percepire concetti e problemi, si tratta, insomma, di gestire una situazione didattica.

Ciò vuol dire trasformare il sapere, smantellandolo, se necessario, per ricomporlo in modo da poter essere trasferito al discente [trasposizione didattica].

Smantellare il sapere significa almeno due cose:

§ Svincolare (temporaneamente) i concetti dal linguaggio formalizzato che presiede alla loro sistematizzazione.

§ Ridurre concetti e conoscenze a sequenze di oggetti significanti per l’allievo.

Ricomporre il sapere può significare:

§ Fare uso del linguaggio naturale e di altri linguaggi specializzati interni e/o esterni alla disciplina.

§ Organizzare gli oggetti significanti per l’allievo, all’interno di una situazione- problema che motivi l’apprendimento, avendo cura di mantenere la “visibilità”

delle strutture fondamentali del sapere da insegnare, (esempio: strutture

algebriche, d’ordine e topologiche) è grazie al riconoscimento di queste, infatti, che a partire dal particolare esemplare didattico (problema, esercizio, gioco, esempio, quesito, …) l’alunno muoverà passi sempre più sicuri sulla via della generalizzazione e della formalizzazione, via lungo la quale viene ricondotto e guidato in chiusura dell’Unità Didattica.

§ Ecco, in linea di massima, i passi da seguire nella progettazione dell’Unità Didattica (i seguenti punti possono essere variamente accorpati) :

1) Mettere in luce le peculiarità dell’UD rispetto alle altre UD in sequenza.

2) Definire gli obiettivi didattici (cognitivi ed operativi) eventualmente riformulandoli in caso di inadeguatezza dei prerequisiti.

3) Costruire la tavola di corrispondenza tra obiettivi cognitivi/operativi (mete dell’UD) e competenze (mete del modulo).

4) Fissare i concetti da trattare e le relazioni tra essi (riferirsi alla mappa concettuale

ed agli obiettivi cognitivi/operativi).

5) Esplicitare i prerequisiti “smantellando” i suddetti concetti e le loro relazioni. I prerequisiti dovranno essere rappresentati da un insieme (o da un grafo) di oggetti significanti per l’allievo.

6) Elencare sinteticamente le situazioni didattiche, evidenziando il loro carattere di gradualità ed i tempi previsti.

Schema della generica Situazione Didattica [L’insieme delle quali forma l’intera UD]

(*) L’esemplare didattico è il particolare problema o gioco escogitato dal docente.

Obiettivi cognitivi Obiettivi operativi Linguaggi utilizzati Strutture sottostanti

Prerequisiti Rappresentazioni mentali Comportamenti ipotizzati Ostacoli

Metodi Mezzi – Strumenti

Tempi

MODELLO Ü

Forma dell’esemplare e sua manipolazione

funzionalmente ad uno scopo.

Esemplare

didattico

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Perché la Teoria delle Situazioni Didattiche

Sottotitolo: Il lavoro svolto dal docente in fase di stesura di una UD non è visibile … ma non meno importante!

Ogni UD ha una struttura che tutti conosciamo; al suo interno troviamo obiettivi, prerequisiti, contenuti, metodologie, tempi, mezzi, strumenti, riferimenti interdisciplinari, prove di verifica, collegamenti con il modulo di appartenenza … costruire l’UD significa prendere delle decisioni inerenti tutti questi aspetti. A prendere tali decisioni è l’insegnante (qualche volta più insegnanti laddove il modulo è trasversale). L’insegnante non scrive l’UD “di getto” ma impiega un certo tempo per decidere : tutto ciò che pensa e che fa in tale periodo precede la stesura dell’UD. Ebbene, di questa fase, così importante nella vita professionale del docente, NON resta alcuna traccia e, quel che è peggio, non sempre trova spazio sufficiente quale oggetto di studio della Ricerca in Didattica e nella formazione per gli aspiranti docenti.

Il concetto di centralità dell’alunno nell’azione educativa (scuola alunnocentrica) da un lato promuove l’individualizzazione dell’insegnamento attraverso la considerazione delle peculiarità cognitive di ciascun alunno (ognuno con nome e cognome, come è giusto che sia), dall’altro assegna al docente il ruolo di (neutrale) mediatore tra l’allievo e il sapere da insegnare, una mediazione che deve avvenire tenendo conto delle risorse e delle rappresentazioni mentali possedute dall’allievo e nel rispetto della struttura propria della disciplina oggetto di insegnamento.

Ma anche il docente possiede una propria rappresentazione delle cose, ha sviluppato – in modo più o meno corretto o

profondo – una propria percezione dei concetti oggetto di insegnamento; inoltre attribuisce, ai vari capitoli del sapere, una importanza spesso diversa da quella attribuita da altri colleghi; percepisce e gestisce le relazioni con gli alunni in modo diverso, preferisce far poco uso o un uso sproporzionato di software informatici, preferisce camminare tra i banchi o restarsene in cattedra, è pignolo nella correzione degli elaborati o superficiale, ama progettare sempre nuove attività didattiche oppure propina di anno in anno le stesse consegne. Insomma il docente ha una propria carta d’identità e non è affatto scontato che i segni particolari siano “NN”. Ogni anno accettiamo di valutare le proposte relative alle nuove adozioni di libri di testo; questi, pur riferendosi ad uno stesso percorso di studi, ci appaiono diversi sul piano didattico ed in effetti generalmente lo sono, ma una piccola quota di diversità è nel docente! Egli sceglie, e in questa scelta gioca la propria professionalità, il proprio bagaglio di esperienze, i propri gusti culturali. Quella quota di diversità sarà anche piccola ma decisiva per preferire solo una tra le proposte di decine di Case Editrici … la stessa quota di diversità che in classe cade sulla comunicazione docente-discenti come un pizzico di sale che dà sapore alle porzioni di sapere da insegnare, … la stessa quota di diversità che permette di cuocere i concetti forti davanti agli occhi incuriositi degli allievi. Trascurando tutto questo l’UD rischia di venir servita come un piatto freddo… mentre quel mondo nascosto del docente cessa semplicemente di esistere, dissolvendosi come un sogno che scivola via alle prime luci dell’alba.

Fuor di metafora, sono convinto che la pianificazione modulare delle discipline e la progettazione di buone UD contribuiscano a migliorare la qualità dell’insegnamento, ma un po’ di realismo non guasta. Non sempre il docente ha il tempo di progettare tutto nei dettagli; un docente ha più classi e più UD giornaliere da elaborare, ciascuna delle quali obbliga ad un lavoro preparatorio che richiede tempo, serenità di valutazione, ricerca su altri libri oltre quello di testo,

considerazione per gli alunni in difficoltà, capacità di interpretazione e di lettura dei misconcetti non di uno bensì di venti, trenta alunni diversi! Una realtà poco frequentata dalla letteratura in didattica; un vincolo per quella professionalità della quale l’UD è una espressione. Per non parlare delle responsabilità assunte da un numero sempre maggiore di “docenti disponibili” (figure di sistema) al di fuori dello stretto ambito curriculare (stesura di progetti, partecipazione ad attività parascolastiche, collaborazione con il Dirigente Scolastico, I.D.E.I, sportelli C.I.C., dispersione scolastica, incarico di funzione-obiettivo, ecc.). Allora: è davvero neutrale la mediazione tra docente e allievo?

La ragione che mi ha spinto ad interessarmi alla Teoria delle Situazioni Didattiche (e al paradigma della Ricerca in Didattica) sta proprio nel fatto che in essa il docente assume il ruolo di ricercatore, nel senso di una esplorazione consapevole delle proprie conoscenze (analisi epistemologica) e di una ricognizione delle difficoltà che storicamente hanno accompagnato la formazione dei concetti scientifici (analisi storico-epistemologica); queste riflessioni ridanno spessore al docente, lo abituano a notare negli alunni comportamenti che la Storia assegna alle ingenue pionieristiche avventure dei matematici del passato, lo gratificano, lo arricchiscono e lo rendono capace di gestire al meglio quelle giornate nelle quali non ha avuto il tempo materiale di mettere a punto una UD. Tutto ciò fa parte di quel mondo nascosto, di quella notte che precede l’alba, di quel sogno che, sotterraneo, improvvisamente riaffiora mentre tracciamo un cerchio alla lavagna, e che raggiunge le menti dei nostri allievi ancor prima della nostra parola. Mi chiedo come sia possibile affrontare l’insegnamento senza soffermarsi almeno una volta su questi fatti…

G.E.Perez

SISSIS - Laboratorio di Giochi Matematici - A.A. 2001/2002

George Polya

La scoperta matematica

Capire, imparare e insegnare a risolvere i problemi

volume secondo

Feltrinelli Editore Milano – Prima edizione italiana: maggio 1970

Titolo dell’opera originale: Mathematical Discovery II © 1967 John Wiley & Sons, Inc.

Prefazione: George Polya – Zurigo, ottobre 1964

Prefazione alla ristampa corretta: George Polya – Stanford University – Giugno 1967

Indice

VII Prefazione alla ristampa corretta

VIII Prefazione

IX Suggerimenti al lettore Parte seconda (seguito) 249 Capitolo settimo

Rappresentazione geometrica del progredire della risoluzione 249 7.1 Metafore

250 7.2 Quale è il problema?

251 7.3 Questa è un’idea!

253 7.4 Sviluppare l’idea 255 7.5 Eseguire

257 7.6 Un film al rallentatore 259 7.7 Anteprima

259 7.8 Progetti e programmi 260 7.9 Problemi entro problemi 260 7.10 Il giungere dell’idea 261 7.11 Il lavorio della mente 261 7.12 La disciplina della mente

262 Esempi e commenti al capitolo settimo, 7.1-7.5 [7.1, Un altro approccio. – 7.3, La ricerca di una dimostrazione. – 7.4, Diagrammi elementari.- 7.5, Altri problemi.]

272 Capitolo ottavo Progetti e programmi 272 8.1 Uno schema di progetto 274 8.2 Uno schema più generale 275 8.3 Un programma

276 8.4 Una scelta fra parecchi progetti 279 8.5 Progetti e programmi

279 8.6 Schemi e progetti

280

Esempi e commenti al capitolo ottavo, 8.1-8.8 [8.1, A ritroso o in avanti?

Regressivo o progressivo? Analisi o sintesi? -8.2, Un uomo saggio incomincia dalla fine. -8.4, Una scelta fra tre progetti. -8.5, Una scelta tra due progetti. -8.6, Un bel progetto, davvero! -8.8, Non impegnatevi.]

288 Capitolo nono

Problemi entro problemi

288 9.1 Problemi ausiliari: mezzi per un fine 289 9.2 Problemi equivalenti: riduzione bilaterale 291 9.3 Catene di problemi equivalenti

291 9.4 Problemi ausiliari più, o meno, ambiziosi: riduzione unilaterale 293 9.5 Problemi ausiliari più remoti

294 9.6 Aiuto materiale, aiuto metodologico, influenza stimolante, guida, pratica

296

Esempi e commenti al capitolo nono, 9.1-9.15 [9.1, Fonti attendibili di problemi ausiliari?-9.2, Respice finem.-9.3, Togliere o aggiungere una clausola.-9.4, Ampliare o restringere la condizione.-9.5, Esaminare un teorema più forte o più debole. –9.11, La ricerca di un controesempio.-9.12, Specializzazione e generalizzazione.-9.13, L’analogia.-9.14, E se non riusciamo?-9.15, Altri problemi]

308 Capitolo decimo

Il sopraggiungere dell’idea 308 10.1 Come si intravede la luce 308 10.2 Esempio

313 10.3 La natura dell’idea utile 315 10.4 Le idee dipendono dal caso

315 Esempi e commenti al capitolo decimo, 10.1-10.2 [10.1, La spontaneità delle idee.

Una citazione e un commento.-10.2, Due esperimenti.]

317 Capitolo undicesimo Il lavorio della mente 317 11.1 Come pensiamo 318 11.2 Avere un problema 318 11.3 Importanza

318 11.4 Prossimità 319 11.5 Prevedere

320 11.6 Campo di ricerca 321 11.7 Decisioni

321 11.8 Mobilitazione ed organizzazione 323 11.9 Riconoscere e ricordare

323 11.10 Completare e raggruppare 324 11.11 Isolare e combinare

325 11.12 Un diagramma

328 11.13 La parte suggerisce il tutto

329

Esempi e commenti al capitolo undicesimo, 11.1-11.11 [11.1, La vostra esperienza, il vostro giudizio.–11.2, Mobilitazione.–11.3, Prevedere.–11.4, Più parti suggeriscono meglio il tutto.–11.5, Riconoscimento.–11.6, Raggruppare in modo nuovo.–11.7, Lavorare dall’interno, lavorare dall’esterno. –11.8, Labirinto euristico del topo.–11.9, Progresso.–11.10, Anche tu.–11.11, Topi e uomini.]

334 Capitolo dodicesimo La disciplina della mente 334 12.1 Come dovremmo pensare 335 12.2 Mettere a fuoco la meta 336 12.3 Valutare le prospettive 337 12.4 Ricercato: un approccio

338 12.5 Ricercato: un aspetto più promettente 339 12.6 Ricercate: conoscenze pertinenti 340 12.7 Ricercato: rivalutare la situazione 341 12.8 L’arte di fare domande

342

Esempi e commenti al capitolo dodicesimo, 12.1-12.11 [12.1, Rienunciare il problema. -12.2, Esprimetelo in linguaggio matematico. -12.3, Una scorta ben immagazzinata e ben organizzata. -12.4, A partire da quali dati potete determinare questo tipo di incognita? -12.5, Da quali ipotesi potete derivare questa conclusione? -12.6, Analogia: il triangolo e il tetraedro. -12.10, Attenzione e azione. -12.11, Pensiero produttivo, pensiero creativo.]

347 Capitolo tredicesimo Regole di scoperta?

347 13.1 Regole e regole 348 13.2 Razionalità

349 13.3 Economia ma nessuna limitazione predeterminabile 350 13.4 Perseveranza, ma varietà

351 13.5 Regole di preferenza

352 13.6 Materiali inerenti al problema 353 13.7 Conoscenze disponibili

355 13.8 Problemi ausiliari 355 13.9 Riassunto

356 Esempi e commenti al capitolo tredicesimo, 13.1-13.3 [13.1, Il genio, l’esperto, il principiante.-13.2, Parlando di prugne e di progetti. -13.3, Stile di lavoro.]

358 Capitolo quattordicesimo

Imparare, insegnare, imparare a insegnare 358 14.1 L’insegnare non è una scienza

359 14.2 Lo scopo dell’insegnamento 360 14.3 L’insegnamento è un’arte

362 14.4 Tre principi per l’apprendimento 364 14.5 Tre principi dell’insegnamento 367 14.6 Esempi

373 14.7 Imparare a insegnare 376 14.8 L’attitudine dell’insegnante

382

Esempi e commenti al capitolo quattordicesimo, 14.1-14.27 (Prima parte, 14.1 – 14.4; seconda parte, 14.5 – 14.27). [14.5, Perché risolvere problemi? –14.6, Risoluzione di problemi e formazione di teorie. -14.7, Risoluzione di problemi e cultura generale. -14.8, Il linguaggio delle figure. -14.9, Razionali ed irrazionali. - 14.10, Ragionamento rigoroso. -14.11, Può una mappa essere perfetta? -14.12, Che cosa dovremmo insegnare?-14.13, Il principio genetico. -14.14, Mancanza di sincerità. -14.15, Confusione di livelli. -14.16, Isadora Duncan.-14.17, livelli di conoscenza. -14.18, Ripetizione e contrasto. -14.19, Aiuto interno, aiuto esterno. - 14.21, Quanto è difficile?-14.22, Difficoltà e valore educativo. -14.23, Alcuni tipi di problemi. -14.26, Un esame finale. -14.27, Sulle conferenze ai convegni matematici. Le regole di Zermelo. -14.28, Epilogo.]

409 Capitolo quindicesimo

Indovinare e metodo scientifico

409 15.1 Problemi di ricerca a livello della scolaresca 410 15.2 Esempio

411 15.3 Discussione 412 15.4 Un altro esempio

413 15.5 Rappresentazione grafica dell’andamento della discussione induttiva 416 15.6 Un esempio storico

424 15.7 Metodo scientifico: indovina e controlla

425 15.8 Alcuni aspetti desiderabili dei “problemi di ricerca”

425 15.9 Conclusione

426

Esempi e commenti al capitolo quindicesimo, 15.1 – 15.55. (Prima parte, 15.1 – 15.20; seconda parte, 15.21 – 15.40; terza parte, 15.41 – 15.55). [15.23, Principio di ragione non sufficiente. – 15.24, L’asino di Buridano. – 15.39, Il principio di ragione non sufficiente in fisica, ovvero la natura dovrebbe essere prevedibile. – 15.40, Scegliere i punti su una superficie sferica. – 15.41, Altri problemi. – 15.44, Decimali periodici. – 15.48, Numeri trapezoidali. – 15.55, Fatto e congettura.]

441 Soluzioni

459 Appendice

483 Bibliografia 487 Indice analitico

Insegnare le matematiche nella scuola secondaria

Filippo Spagnolo – La Nuova Italia – Prima Edizione novembre 1998

(100) 5.2.3 La situazione a-didattica

(…) Una situazione designa l’insieme delle circostanze nelle quali si trova una persona (un gruppo, una collettività, ecc.), le relazioni che l’uniscono al suo ambiente, e l’insieme dei dati che caratterizzano una’azione o una evoluzione (un’azione in un certo momento).

Una situazione è didattica quando un individuo (in generale l’insegnante) ha intenzione di insegnare ad un altro individuo (in generale l’allievo) un determinato sapere.

Si chiama situazione di apprendimento una situazione che permette ad un soggetto di passare da uno stato di conoscenza ad un altro stato di conoscenza.

Si chiama situazione a-didattica la parte della situazione didattica nella quale l’intenzione dell’insegnante non è esplicita nei confronti dell’allievo. L’allievo sa che il problema propostogli è stato scelto per fargli acquisire nuova conoscenza e, nello stesso tempo, deve sapere che questa conoscenza è giustificata dalla logica interna della situazione. E per costruire questo sapere non deve fare appello a delle ragioni didattiche. In una situazione a-didattica l’insegnante, attraverso un insieme di condizioni che permettono all’allievo di appropriarsi della situazione, permette una devoluzione della situazione. La devoluzione consiste non soltanto nel presentare all’allievo il

gioco al quale l’insegnante vuole che egli partecipi, ma anche nel fare in modo che l’allievo si senta responsabile, nel senso della conoscenza e non della colpevolezza, del risultato che egli deve cercare. La devoluzione fa appello alle motivazioni dell’allievo, il quale non soltanto deve accettare il gioco (sinonimo di situazione) proposto, ma deve ricercare le strategie migliori che gli permettono di vincere. In conclusione la devoluzione è l’atto attraverso il quale l’insegnante fa accettare all’allievo la responsabilità di una situazione di apprendimento (a-didattica) o di un problema e accetta lui stesso le conseguenze di questo transfert.

P a r a d o s s o d e l l a d e v o l u z i o n e

P a r a d o s s o d e l l a d e v o l u z i o n e. Se l’insegnante dice ciò che vuole non può ottenerlo. (…)

… l’alunno può immaginare una risposta, ma questa risposta iniziale (procedura di base) non è quella che si vuole insegnare …

… questa «procedura di base» deve rivelarsi immediatamente insufficiente o inefficiente perché l’alunno sia costretto a fare degli accomodamenti, delle modifiche del suo sistema di conoscenza. Esiste un ambiente per la validazione, un ambiente cioè che permetta la conferma della verità o falsità di una soluzione trovata. Tale ambiente deve poter permette delle retroazioni, l’ambiente a-didattico deve poter influenzare l’allievo nel senso che gli deve consentire di correggere la sua azione, di accettare o respingere un’ipotesi, di scegliere fra numerose soluzioni. (…)

La situazione (gioco) deve essere ripetibile (analisi a priori approfondita ed individuazione delle variabili didattiche).

Insegnare le matematiche nella scuola secondaria / Filippo Spagnolo – La Nuova Italia – Prima Edizione novembre 1998

(102) 5.2.4 Il modello «gioco» per le situazioni didattiche

Strumento necessario alla modellizzazione delle situazioni didattiche è la nozione di gioco che viene utilizzato come sinonimo di «situazione». Brousseau elenca i possibili significati del termine «gioco» per poter poi definire le possibili strategie e il modo di controllarle:

1. Attività fisica o mentale, puramente gratuita, generalmente fondata sulla convenzione o la finzione, che non ha nella coscienza di colui il quale vi si affida altro fine che essa stessa, altro scopo che il piacere che procura.

2. Il gioco è l’organizzazione di questa attività sotto un sistema di regole definenti un successo e un insuccesso, un guadagno e una perdita.

3. È anche ciò che serve a giocare, gli strumenti del gioco, ed eventualmente uno degli stati del gioco determinato da un assemblaggio particolare degli strumenti del gioco.

4. Il gioco è la «maniera in cui si gioca». In questo caso si tratterà di procedure, si preferiranno i termini di «tattica» o di «strategia».

5. È l’insieme delle posizioni tra le quali il giocatore può scegliere in un dato stato di gioco (nel senso 2).

(103)

Funzione di preferenza Posta in gioco

Informazione stati previsti

Azione, decisione Gioco nel senso 4

Regole, strategie, cono- Obblighi scenze del giocatore dell’ambiente

Gioco nel senso I Regole formali

In uno schema del tipo riportato sopra si possono evidenziare le diverse relazioni tra i significati del termine gioco. La formalizzazione del modello consente, non soltanto una migliore comprensione del problema, ma anche la possibilità di abbozzare una strategia previsionale di una classe di situazioni didattiche.

Nel distinguere diversi tipi di situazioni a-didattiche Brousseau propone:

• una classificazione delle interazioni del soggetto con il suo ambiente a-didattico;

• una classificazione dei tipi di organizzazione di questo ambiente;

• una classificazione dei tipi di funzionamento di una conoscenza;

• una classificazione dei modi d’evoluzione spontanea delle conoscenze (l’apprendimento).

Le interazioni considerate al primo punto sono classificate da Brousseau in tre grandi categorie:

1. Gli scambi di giudizio (ipotesi di validazione).

2. Gli scambi di informazioni codificate in un linguaggio (ipotesi di formulazione).

Ambiente

Gioco nel senso 3 e 5

Gioco nel senso 2 Giocatore

3. Gli scambi non codificati o senza linguaggio: le azioni e le decisioni che agiscono direttamente sull’altro protagonista (ipotesi d’azione).

L’analisi di queste interazioni è oggetto di continui studi sperimentali da parte di ricercatori che si rifanno alla scuola francese.

SISSIS - Laboratorio di Problem-solving e Giochi Matematici - A.A. 2001/2002

GRUPPO A CONSEGNA 1L22/10/01

Problema tratto da

Vesentini – Boringhieri

– (13)1906.1*

Sono dati, in un piano, un circolo e due punti.

Tirare una tangente al circolo in modo che la somma delle distanze della tangente dai due punti dati sia uguale a una lunghezza data.

a) Il testo riportato qui sopra è quello originale. Provate a riformularlo. b) Il problema è possibile? [lo è] In caso affermativo dite su cosa basate questa certezza ancor prima di ricercare una strategia risolutiva. c) Il problema ha più di una soluzione? Cosa ve lo fa intuire? d)Ponetevi altre domande.

Frammenti di discussione: a) Il problema è oggettivamente difficile. b) Interessante questa cancellatura sul segmento AB…avevamo considerato il punto medio di AB… c) Non è facile assegnare condizioni... d) A seconda di come sono disposti i punti A,B si possono avere da zero a otto soluzioni. e) Fate una figura che non ammetta soluzioni, poi un’altra che ammetta una sola soluzione, fino ad una che ne ammette otto… può darsi che, così facendo, vi appaia la strada per risolvere il problema nella sua interezza!

SISSIS - Laboratorio di Problem-solving e Giochi Matematici - A.A. 2001/2002

GRUPPO B

CONSEGNA 1L22/10/01

Problema tratto da

Vesentini – Boringhieri

– (22)1910.2

Determinare sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo un punto M tale che il rettangolo che ha come lati i segmenti delle due perpendicolari condotte da M ai cateti abbia un’area assegnata (…).

a) Il testo riportato qui sopra è quello originale. Provate a riformularlo. b) Il problema è possibile? [lo è] In caso affermativo dite su cosa basate questa certezza ancor prima di ricercare una strategia risolutiva. c) Il problema ha più di una soluzione? Cosa ve lo fa intuire? d) Ponetevi altre domande.

Frammenti di discussione: a) … conosciamo i lati del triangolo rettangolo? b) a,b ed s² sono dati!

c) Cos’ è s² ? d) s² esprime l’area assegnata (positiva). e) se M è punto medio dell’ipotenusa esso conduce ad ab/8... f) AGGIUNGERE ALTRI FRAMMENTI …

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GRUPPO C CONSEGNA 1L22/10/01

Problema tratto da

Vesentini – Boringhieri

– (32)1913.1

Inscrivere in un circolo di raggio R un triangolo isoscele di cui sia data la somma s della base e dell’altezza.

a) Il testo riportato qui sopra è quello originale. Provate a riformularlo. b) Il problema è possibile? [lo è] In caso affermativo dite su cosa basate questa certezza ancor prima di ricercare una strategia risolutiva. c) Il problema ha più di una soluzione? Cosa ve lo fa intuire? d) Ponetevi altre domande.

Frammenti di discussione: a) Il vostro è stato forse il problema più “noioso”. b) Ma la somma della base e dell’altezza supera il raggio della circonferenza ? c) “Il libro” distingue i casi 0<s 2R e quello in cui s supera 2R . d) Provate a ragionare sulla costruzione dei segmenti PD e CQ

otterrete, per similitudine, un BH “che va via”...e) La via che avevamo in mente è molto diversa da quella proposta dal libro.

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GRUPPO D CONSEGNA 1L22/10/01

Problema tratto da

Vesentini – Boringhieri

– (40)1915.2*

Dimostrare che se per un punto interno a una sfera si conducono tre piani, a due a due perpendicolari, la somma delle aree dei tre cerchi che essi determinano sulla sfera è costante.

a) Il testo riportato qui sopra è quello originale. Provate a riformularlo. b) Il problema è possibile?

[lo è] In caso affermativo dite su cosa basate questa certezza ancor prima di ricercare una strategia risolutiva. c) Il problema ha più di una soluzione? Cosa ve lo fa intuire? d) Ponetevi altre domande.

Frammenti di discussione: a) È difficile rappresentare mentalmente questa figura. b) Cominciamo a rappresentare un punto “facile” cioè il centro della sfera... c) P O è un caso particolare ma permette di iniziare un ragionamento. d) Questo caso particolare è quello per il quale è massima la somma dei 3 cerchi sezione, ogni altro piccolo spostamento di P riduce tale somma dunque NON è vera la tesi! e) Attenzione, abbiamo interpretato male il testo, la tesi afferma qualcosa solo rispetto ad uno stesso punto per il quale infinite sono le terne di piani a due a due perpendicolari. f) Al variare di P cambia la somma.

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GRUPPO E CONSEGNA 1L22/10/01

Problema tratto da

Vesentini – Boringhieri

– (133)1963.5

Un podista si trova su un punto della Terra (che supponiamo perfettamente sferica). Percorre un chilometro verso nord, poi uno verso est e infine uno verso sud. Si ritrova la punto di partenza.

Quali sono i punti di partenza che obbediscono a questa condizione?

a) Il problema è possibile? [lo è] In caso affermativo dite su cosa basate questa certezza ancor prima di ricercare una strategia risolutiva. b) Il problema ha più di una soluzione? Cosa ve lo fa intuire? c) Ponetevi altre domande.

Frammenti di discussione: a) Un punto soluzione è chiaramente il polo sud, dunque il problema è possibile! b) Il polo nord non può essere soluzione…a patto di modificare le regole. c) Risolvono il problema anche i punti 1 km a sud del parallelo lungo 1 km dell’emisfero nord, dunque vi è più di una soluzione. d) Non cambia nulla se anziché 1 km i tratti sono di diversa lunghezza. e)

AGGIUNGERE ALTRI FRAMMENTI.

SISSIS - Laboratorio di Problem-solving e Giochi Matematici - A.A. 2001/2002

GRUPPO F CONSEGNA 1L22/10/01

Problema tratto da

Vesentini – Boringhieri

– (146)1967.2*

Sono assegnate tre rette parallele.

Esiste un triangolo equilatero con i vertici rispettivamente sulle tre rette?

a) Il testo riportato qui sopra è quello originale. Provate a riformularlo. b) Il problema è possibile? [lo è] In caso affermativo dite su cosa basate questa certezza ancor prima di ricercare una strategia risolutiva. c) Il problema ha più di una soluzione? Cosa ve lo fa intuire? d) Ponetevi altre domande.

Frammenti di discussione: a) Se una delle rette è equidistante dalle altre due... b) In casi particolari il problema ammette soluzioni, ma in generale? c) Se PRIMA costruiamo un triangolo equilatero e POI tracciamo 3 rette per i vertici e parallele tra loro…abbiamo mostrato un altro caso particolare ma siamo ancora lontani da quello generale! d) Se però una delle 3 rette la ruotiamo e le altre 2 accompagnano la prima restando a questa parallele… e) Più che la distanza tra le rette è importante il rapporto delle distanze… f) Un software che permetta di VEDERE dinamicamente tale rotazione aiuterebbe a capire meglio…

SISSIS - Laboratorio di Problem-Solving e Giochi Matematici - A.A. 2001/2002 – GRUPPI di LAVORO

1 Di Verde Maria Rosa Matematica 1

2 Matranga Monica Matematica 2

A

3 Meli Maria Rosaria Matematica 3

4 Domingo Maria Matematica 1

5 Mangano Maria Cristina Matematica 2

6 Occhipinti Alberto Ingegneria Aeronautica 3

B

7 Riccobono Caterina Matematica 4

8 Sammaritano Irene Michela Matematica 5

9 Caltagirone Crocifissa Matematica 1

10 Chimenti Ezio Matematica 2

C

11 Cottone Flavia Matematica 3

12 Surdo Tiziana Matematica 4

13 Urso Marcella Matematica 5

14 Aufiero Ferdinando Fisica 1

15 Di Venti Tiziana Scienze Statistiche 2

16 Guida Rosanna Maria Scienze Statistiche 3

D

17 Iemmola Matteo Leoluca Ingegneria 4

18 Musso M. Letizia Scienze Statistiche 5

19 Schiavo Angela Matematica 6

20 Cardullo F. Paolo Scienze Statistiche 1

21 Castronovo Rosario Matematica 2

E

22 Lo Faso Giuseppe Scienze Statistiche 3

23 Maniscalco Giovanni Ingegneria 4

24 Perrone Angelo Matematica 5

25 Puccio Giancarlo Ingegneria 6

26 Santangelo Giovanni Matematica 7

27 Cangemi Mariangela Matematica 1

28 Di Maio Francesca Matematica 2

29 Morreale Giuseppina Matematica 3

F

30 Lazzano Cinzia Maria Matematica 4

31 Lattuca Margherita Matematica 5

32 Voi Tonya Loredana Matematica 6