UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TRE
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA B. Palumbo, A.A. 2009-10
Nota: salvo avviso contrario, i teoremi si intendono con dimostrazione.
ARGOMENTI PRELIMINARI
Sistema ipotetico-deduttivo. Assiomi e teoremi.
Cenni su una definizione costruttiva dell'insieme dei reali a partire dall'insieme dei naturali.
I NUMERI REALI
Definizione assiomatica del sistema dei numeri reali. Assiomi di campo, assiomi dell'ordine.
Definizione di maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo inferiore e superiore di un insieme di numeri reali.
Assioma di completezza (dato come assioma dell'estremo superiore oppure come assioma di Dedekind).
Definizione di insieme induttivo. Definizione dell'insieme dei numeri naturali come intersezione di tutti gli insiemi induttivi. Illimitatezza superiore di N. Numeri razionali.
Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli. Altri esempi di identità e disuguaglianze dimostrabili per induzione. Simbolo di sommatoria e produttoria.
Simbolo di fattoriale e doppio fattoriale, e loro proprietà. Calcolo combinatorio. Fattoriali, disposizioni, combinazioni, permutazioni.
Coeff. binomiali. Legge di Stiefel. Formula del binomio di Newton.
LIMITI E CONTINUITÀ
Funzioni e loro rappresentazione grafica. Grafici di alcune importanti funzioni elementari.
Simbolo di modulo e funzione |x|. Disuguaglianza triangolare (s.d.).
Funzione parte intera e suo grafico.
Concetto intuitivo di limite. Definizione di limite finito per x che tende ad a finito.
Teorema delle operazioni sui limiti (dimostrata solo la somma).
Teorema dell'unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto.
Applicazione del teorema del confronto al limite notevole di sen x / x.
Teorema del confronto "unilaterale".
Esempi di funzioni che non ammettono limite.
Calcolo pratico di limiti. Risoluzione di forme indeterminate 0/0, tramite semplificazione di fattori comuni oppure tramite l'uso di limiti notevoli.
Estensioni del concetto di limite ai casi in cui a oppure L è infinito.
Teoremi sui limiti infiniti. Calcolo pratico di limiti infiniti e di limiti all'infinito.
Asintoti verticali e orizzontali.
Ordine di infinito. Confronto di infiniti. Comportamento all'infinito delle funzioni logaritmo ed esponenziale.
Teoremi sulle funzioni continue: teorema dell'esistenza degli zeri (Bolzano-Cauchy). Teorema dei valori intermedi.
Teorema del segno costante ed applicazione alla risoluzione di disequazioni.
Teorema di Weierstrass (s.d.) CALCOLO DIFFERENZIALE
Derivata di una funzione in un punto. Regole di derivazione. Derivata in un x generico.
Cenno sui simboli di Leibniz.
Definizione di massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (annullamento della derivata).
Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange.
Teorema di monotonia delle funzioni derivabili. Ricerca di massimi e minimi relativi e di flessi a tangente orizzontale.
Applicazioni dei teoremi precedenti allo studio delle radici di equazioni non elementarmente risolubili.
Teorema della derivata nulla ed applicazione alla dimostrazione di identità.
Calcolo di asintoti obliqui. Studio di funzioni.
Casi di non derivabilità. Punti angolosi. Teorema "scorciatoia" per il calcolo delle derivate destra e sinistra. Cuspidi e flessi a tangente verticale.
Teorema di Cauchy. Regola di L'Hôpital (dimostrata solo nel caso 0/0) CALCOLO INTEGRALE
Definizione di integrale per una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Esempi di calcolo tramite la definizione.
Proprietà degli integrali: linearità (s.d.), monotonia (s.d.), additività rispetto all'intervallo di integrazione (s.d.).
Teorema della media. Teorema della media pesata.
Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Unicità della primitiva a meno di costanti. Simbolo di integrale indefinito.
Teor. Torricelli-Barrow (ovvero secondo teorema fondamentale del calcolo integrale) Regole di integrazione indefinita. Integrazione per sostituzione (s.d.), integrazione per parti.
Integrazione tramite decomposizione in fratti semplici.
Funzioni iperboliche e loro inverse. Formule di derivazione ed integrazione deducibili dalle funzioni iperboliche e dalle loro inverse.
Casi particolari di sostituzioni. Integrazione di funzioni irrazionali, anche tramite l'uso di sostituzioni goniometriche ed iperboliche.
FORMULA DI TAYLOR
Definizione del polinomio di Taylor generato da una funzione. Formula esplicita.
Formula integrale del resto nella formula di Taylor. Formula di Lagrange per il resto nella formula di Taylor.
Calcolo approssimato di valori di funzioni con maggiorazione dell'errore.
Ordine di infinitesimo di una funzione. Simboli di Landau. Significato del simbolo "o" (o piccolo). Algebra dei simboli di Landau. Somme e prodotti di espressioni contenenti "o". Formula di linearizzazione e sue generalizzazioni.
Applicazione alla risoluzione di forme indeterminate.
NUMERI IRRAZIONALI
Problemi di irrazionalità. Casi elementari di irrazionalità dimostrabili con il teorema fattorizzazione unica (radici e logaritmi di numeri interi). Irrazionalità di e.
SUCCESSIONI E SERIE Definizione di successioni.
Limiti di successioni, finiti e infiniti. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate.
Definizione di succ. monotona. Esistenza del limite finito per una successione non decrescente e superiormente limitata.
Esistenza del limite infinito per una successione non decrescente e superiormente illimitata.
Definizione di serie. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Esempi. Casi particolari di calcolo di somma di serie (serie geometrica, serie telescopiche). Divergenza della serie armonica.
Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice (s.d.), criterio di confronto con un integrale.
Serie armonica generalizzata. Criterio di confronto asintotico.
Serie a termini di segno qualsiasi. Convergenza assoluta.
Criteri per le serie a termini di segno qualsiasi: criterio della convergenza assoluta (s.d.), criterio di Leibniz per le serie a segni alterni (s.d.)
NUMERI COMPLESSI
Definizione formale del campo dei numeri complessi come insieme di coppie ordinate di numeri reali.
Rappresentazione dei numeri complessi nel piano di Gauss.
Isomorfismo tra R e il sottocampo dei numeri complessi con seconda componente nulla. Unità immaginaria.
Rappresentazione di un numero complesso nella forma a + bi. Numeri complessi coniugati. Regole di calcolo per i numeri complessi. Modulo e argomento di un numero complesso. Argomento principale. Coordinate polari nel piano.
Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso.
Formula di De Moivre per la potenza n.esima di un numero complesso. Formula delle radici n-esime di un numero complesso. Esempi di equazioni a coefficienti complessi.
TESTI CONSIGLIATI
R. Spigler, Lezioni di Analisi Matematica 1, ed. Ingegneria 2000, Roma, 2009.
Dispense reperibili in rete alla pagina http://www.dia.uniroma3.it/~dispense/palumbo:
"FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE!
"APPUNTI ED ESERCIZI SULL'INTEGRAZIONE DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE"
"FORMULA DI TAYLOR ED APPLICAZIONI"
