Pertanto, per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, avremo che la serie proposta converge per 3α2− 2 &gt

ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU MECCANICA

TEMA A

Esercizio 1

Ponendo w = 3z + 1 l’equazione proposta si pu`o riscrivere nella forma w³= −8, da cui si ricava

w =√³

−8 =√³

8e^iπ= 2e^i(π+2kπ)/3=





2e^iπ/3= 1 +√ 3i, 2e^iπ= −2, 2e^i5π/3= 1 −√

3i.

Pertanto, avremo z = (w − 1)/3, ovvero

z1=

√3

3 i , z2= −3

3 = −1 , z3= −

√3 3 i .

Esercizio 2

Osserviamo, innanzitutto, che la serie proposta `e a termini non negativi. Tenendo conto che, per εn→ 0, si ha

log(1 + εn) ∼ εn, sin εn∼ εn, (1 + εn)^γ− 1 ∼ γεn, otteniamo

an :=

£log¡

sin_n¹+ 1¢¤_3α²₋₁ sinh¡

1 +_n¹¢_1/3

− 1i ∼

¡sin_n¹¢_3α²₋₁

¡1 +_n¹¢_1/3

− 1 ∼

¡₁

n

¢_3α²₋₁

1 3n

= 3 1 n^3α2−2.

Pertanto, per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, avremo che la serie proposta converge per 3α²− 2 > 1, ovvero 3α²> 3, che fornisce α²> 1, cio`e α < −1 e α > 1.

Esercizio 3

Il problema di Cauchy proposto `e relativo ad un’equazione differenziale a variabili separabili che ha come unica soluzione singolare la funzione costante y(x) ≡ 0, che per`o non soddisfa la condizione iniziale. Poich´e il secondo membro soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit`a locale della soluzione per x ∈ (0, +∞) e y ∈ R, avremo che la soluzione del problema proposto si ottiene per separazione di variabili. Ponendo y 6= 0, otteniamo

− 1 2y² =

Z 1

y³dy = − Z

log x dx = −x log x + x + eC =⇒ y²(x) = 1

2x log x − 2x + C ovvero, tenendo conto della condizione iniziale y(1) = 1 > 0 , y(x) = 1

√2x log x − 2x + C.

Imponendo la condizione iniziale, ricaviamo 1 = y(1) = ^√_−2+C¹ , che fornisce C = 3. Quindi la soluzione richiesta `e

y(x) = 1

√2x log x − 2x + 3.

1

Esercizio 4 Osserviamo che

x→0lim|x|^x2 = lim

x→0e^{x2log |x|}= e⁰= 1 ,

dove abbiamo usato il limite notevole |x|^αlog |x| → 0, per x → 0 e α > 0. Quindi la funzione proposta `e estendibile con continuit`a in x = 0. Consideriamo, pertanto, la funzione prolungata ef :R→Rdefinita da

f (x) =e





|x|^x2 se x 6= 0;

1 se x = 0;

e studiamo la derivabilit`a di tale funzione nell’origine. Considerando il rapporto incrementale, otteniamo

h→0lim

f (0 + h) − ee f (0)

h = lim

h→0

|h|^h2− 1

h = lim

h→0

e^{h2log |h|}− 1

h = lim

h→0

h²log |h|

h = lim

h→0h log |h| = 0 , dove, nella penultima uguaglianza abbiamo utilizzato il limite notevole e^εn− 1 ∼ εn, per εn → 0. Pertanto, la funzione proposta risulta anche derivabile in x = 0.

Esercizio 5

a) La serie proposta converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f¡₁

n²

¢∼ _n¹6 e g

³ 1 n√ n

´

∼_n¹3, detto anil termine generale della serie proposta, si ha an∼_n¹3.

b) La serie proposta diverge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f

³ 1 n√ n

´

∼ _n9/2¹ e g¡ ₁

n²

¢ ∼ _n¹4, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼ _n1/2¹ .

c) La serie proposta diverge poich´e il termine generale non `e infinitesimo. Infatti, poich´e per ipotesi f¡

log¡ 1 +_n¹2

¢¢∼ log³¡ 1 + _n¹2

¢∼_n¹6 e g¡ sin¹_n¢

∼ sin^{2 1}_n ∼ _n¹2, detto a_n il termine generale della serie proposta, si ha an∼ n⁴.

d) La serie proposta converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f¡ sin_n¹¢

∼ sin^{3 1}_n ∼ _n¹3 e g¡ log¡

1 +_n¹3

¢¢∼ log²¡ 1 + _n¹3

¢∼ _n¹6, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼_n¹3.

Esercizio 1

Ponendo w = 4z − 1 l’equazione proposta si pu`o riscrivere nella forma w⁴= 16, da cui si ricava

w =√⁴ 16 =√⁴

16eⁱ⁰= 2e^i(0+2kπ)/4=







2eⁱ⁰= 2, 2e^iπ/2= 2i, 2e^iπ= −2, 2e^i3π/2= −2i.

Pertanto, avremo z = (w + 1)/4, ovvero z1= 3

4, z2= 1 4+1

2i , z3= −1

4, z4=1 4 −1

2i . Esercizio 2

Osserviamo, innanzitutto, che la serie proposta `e a termini non negativi. Tenendo conto che, per εn→ 0, si ha

sinh εn∼ εn, (1 + εn)^γ− 1 ∼ γεn, log(1 + εn) ∼ εn, otteniamo

an:= sinhh¡

1 + _n⁵¢₃

− 1i

£sinh¡ log¡

1 +_n⁵¢¢¤_α2−4 ∼

¡1 + ⁵_n¢₃

£ − 1 log¡

1 + _n⁵¢¤_α2−4 ∼

15

¡₅ n n

¢_α2−4 = 15 5^α2−4

1 n^5−α2 .

Pertanto, per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, avremo che la serie proposta converge per 5 − α²> 1, ovvero α²< 4, che fornisce −2 < α < 2.

Esercizio 3

Il problema di Cauchy proposto `e relativo ad un’equazione differenziale a variabili separabili che ha come unica soluzione singolare la funzione costante y(x) ≡ 0, che per`o non soddisfa la condizione iniziale. Poich´e il secondo membro soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit`a locale della soluzione per x ∈Re y ∈R, avremo che la soluzione del problema proposto si ottiene per separazione di variabili. Ponendo y 6= 0, otteniamo

− 1 3y³ =

Z 1

y⁴dy = − Z

arctan x dx = −x arctan x +

Z x

1 + x²dx + eC = −x arctan x +1

2log(1 + x²) + eC

=⇒ y³(x) = 1

3x arctan x −³₂log(1 + x²) + C ovvero y(x) = 1

3

q

3x arctan x −³₂log(1 + x²) + C .

Imponendo la condizione iniziale, ricaviamo 1 = y(0) = √3¹

C, che fornisce C = 1. Quindi la soluzione richiesta

`e

y(x) = 1

3

q

3x arctan x −³₂log(1 + x²) + 1 .

Esercizio 4 Osserviamo che

x→0lim 1

|x|^x = lim

x→0|x|^−x= lim

x→0e^{−x log |x|}= e⁰= 1 ,

dove abbiamo usato il limite notevole |x|^αlog |x| → 0, per x → 0 e α > 0. Quindi la funzione proposta `e estendibile con continuit`a in x = 0. Consideriamo, pertanto, la funzione prolungata ef :R→Rdefinita da

f (x) =e





|x|^−x se x 6= 0;

1 se x = 0;

e studiamo la derivabilit`a di tale funzione nell’origine. Considerando il rapporto incrementale, otteniamo

h→0lim

f (0 + h) − ee f (0)

h = lim

h→0

|h|^−h− 1

h = lim

h→0

e^{−h log |h|}− 1

h = lim

h→0−h log |h|

h = − lim

h→0log |h| = +∞ , dove, nella penultima uguaglianza abbiamo utilizzato il limite notevole e^εn− 1 ∼ εn, per εn → 0. Pertanto, la funzione proposta non `e derivabile in x = 0, ma presenta un punto di flesso a tangente verticale.

3

Esercizio 5

a) La serie proposta converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f¡ sin¹_n¢

∼ sin^{3 1}_n ∼ _n¹3 e g

³ log

³ 1 + ^√1_n

´´

∼ log²

³ 1 + ^√1_n

´

∼_n¹, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼_n¹2.

b) La serie proposta diverge poich´e il termine generale non `e infinitesimo. Infatti, poich´e per ipotesi f

³ 1 n√ n

´

∼ _n9/2¹ e g¡ ₁

n²

¢∼ _n¹4, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼ n^1/2. c) La serie proposta converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f¡ log¡

1 + _n¹2

¢¢∼ log³¡ 1 +_n¹2

¢ ∼ _n¹6 e g

³ 1 n√ n

´

∼ _n¹3, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼ _n¹3.

d) La serie proposta diverge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f

³ log

³ 1 + ^√1_n

´´

∼ log³

³ 1 + ^√1_n

´

∼ _n3/2¹ e g¡ sin_n¹¢

∼ sin^{2 1}_n ∼ _n¹2, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼ _n1/2¹ .

Esercizio 1

Ponendo w = 3z − 1 l’equazione proposta si pu`o riscrivere nella forma w⁴= −16, da cui si ricava

w =√⁴

−16 =√⁴

16e^iπ = 2e^i(π+2kπ)/4=







2e^iπ/4=√ 2 +√

2i, 2e^i3π/4= −√

2 +√ 2i, 2e^i5π/4= −√

2 −√ 2i, 2e^i7π/4=√

2 −√ 2i.

Pertanto, avremo z = (w + 1)/3, ovvero

z1=

√2 + 1

3 +

√2

3 i , z2=−√ 2 + 1

3 +

√2

3 i , z3= −√ 2 + 1

3 −

√2

3 i , z4=

√2 + 1

3 −

√2 3 i .

Esercizio 2

Osserviamo, innanzitutto, che la serie proposta `e a termini non negativi. Tenendo conto che, per εn→ 0, si ha

sin εn∼ εn, log(1 + εn) ∼ εn, sinh εn∼ εn, (1 + εn)^γ− 1 ∼ γεn, otteniamo

an:= sin£ log¡

1 +_n⁷¢¤

h sinh³¡

1 + ⁷_n¢_1/2

− 1

´i_1−2α2 ∼ log¡ 1 + ⁷_n¢ h¡1 + ⁷_n¢_1/2

− 1

i_1−2α2 ∼

7

¡ ₇ n 2n

¢_1−2α2 = 7 µ2

7

¶_1−2α² 1 n^2α2 .

Pertanto, per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, avremo che la serie proposta converge per 2α²> 1, ovvero α²> 1/2, che fornisce α < −1/√

2 e α > 1/√ 2.

Esercizio 3

Il problema di Cauchy proposto `e relativo ad un’equazione differenziale a variabili separabili che ha come unica soluzione singolare la funzione costante y(x) ≡ 0, che per`o non soddisfa la condizione iniziale. Poich´e il secondo membro soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit`a locale della soluzione per x ∈Re y ∈R, avremo che la soluzione del problema proposto si ottiene per separazione di variabili. Ponendo y 6= 0, otteniamo

− 1 2y² =

Z 1

y³dy = 2 Z

arctan x dx = 2x arctan x − 2

Z x

1 + x²dx + eC = 2x arctan x − log(1 + x²) + eC

=⇒ y²(x) = 1

2 log(1 + x²) − 4x arctan x + C

ovvero, tenendo conto della condizione iniziale y(0) = 2 > 0 , y(x) = 1

p2 log(1 + x²) − 4x arctan x + C.

Imponendo la condizione iniziale, ricaviamo 2 = y(0) = ^√1_C, che fornisce C = 1/4. Quindi la soluzione richiesta `e

y(x) = 1

p2 log(1 + x²) − 4x arctan x + 1/4.

5

Esercizio 4 Osserviamo che

x→−1lim 1

|x + 1|^(x+1) = lim

x→−1|x + 1|^−(x+1)= lim

x→−1e−(x+1) log |x+1|= e⁰= 1 ,

dove abbiamo usato il limite notevole |t|^αlog |t| → 0, per x → 0 e α > 0, con t = x + 1 → 0, per x → −1.

Quindi la funzione proposta `e estendibile con continuit`a in x = −1. Consideriamo, pertanto, la funzione prolungata ef :R→Rdefinita da

f (x) =e





|x + 1|^−(x+1) se x 6= −1;

1 se x = −1;

e studiamo la derivabilit`a di tale funzione in x = −1. Considerando il rapporto incrementale, otteniamo

h→0lim

f (−1 + h) − ee f (−1)

h = lim

h→0

|h|^−h− 1

h = lim

h→0

e^{−h log |h|}− 1

h = lim

h→0−h log |h|

h = − lim

h→0log |h| = +∞ , dove, nella penultima uguaglianza abbiamo utilizzato il limite notevole e^εn− 1 ∼ εn, per εn → 0. Pertanto, la funzione proposta non `e derivabile in x = −1, ma presenta un punto di flesso a tangente verticale.

Esercizio 5

a) La serie proposta diverge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f

³ log

³ 1 + ^√1_n

´´

∼ log³

³ 1 + ^√1_n

´

∼ _n3/2¹ e g¡ sin_n¹¢

∼ sin^{2 1}_n ∼ _n¹2, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼ _n1/2¹ .

b) La serie proposta converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f¡ log¡

1 + _n¹2

¢¢∼ log³¡ 1 +_n¹2

¢ ∼ _n¹6 e g

³ 1 n√ n

´

∼ _n¹3, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼ _n¹3.

c) La serie proposta converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f¡ sin¹_n¢

∼ sin^{3 1}_n ∼ _n¹3 e g

³ log

³ 1 + ^√1_n

´´

∼ log²

³ 1 + ^√1_n

´

∼_n¹, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼_n¹2.

d) La serie proposta diverge poich´e il termine generale non `e infinitesimo. Infatti, poich´e per ipotesi f³

1 n√ n

´

∼ _n9/2¹ e g¡ ₁

n²

¢∼ _n¹4, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼ n^1/2.

Esercizio 1

Ponendo w = 4z + 1 l’equazione proposta si pu`o riscrivere nella forma w³= 8, da cui si ricava w =√³

8 =√³

8eⁱ⁰= 2e^i(0+2kπ)/3=





2eⁱ⁰= 2,

2e^i2π/3= −1 +√ 3i, 2e^i4π/3= −1 −√

3i.

Pertanto, avremo z = (w − 1)/4, ovvero

z1= 1/4 , z2= −1 2 +

√3

4 i , z3= −1 2 −

√3 4 i . Esercizio 2

Osserviamo, innanzitutto, che la serie proposta `e a termini non negativi. Tenendo conto che, per εn→ 0, si ha

sin εn∼ εn, (1 + εn)^γ− 1 ∼ γεn, log(1 + εn) ∼ εn, sinh εn ∼ εn, otteniamo

an:=

h sin³¡

1 + _n²¢_4/5

− 1

´i_4−α²

log¡

sinh_n² + 1¢ ∼

³¡1 + _n²¢_4/5

− 1

´_4−α²

sinh²_n ∼

¡₈

5n

¢_4−α²

2 n

= µ8

5

¶_4−α² 1 2n^3−α2 . Pertanto, per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata, avremo che la serie proposta converge per 3 − α²> 1, ovvero α²< 2, che fornisce −√

2 < α <√ 2.

Esercizio 3

Il problema di Cauchy proposto `e relativo ad un’equazione differenziale a variabili separabili che ha come unica soluzione singolare la funzione costante y(x) ≡ 0, che per`o non soddisfa la condizione iniziale. Poich´e il secondo membro soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicit`a locale della soluzione per x ∈ (0, +∞) e y ∈ R, avremo che la soluzione del problema proposto si ottiene per separazione di variabili. Ponendo y 6= 0 e tenendo conto che x > 0, otteniamo

− 1 3y³ =

Z 1

y⁴dy = 2 Z

log x dx = 2x log x − 2x + eC =⇒ y³(x) = 1

6x − 6x log x + C

ovvero y(x) = 1

√3

6x − 6x log x + C . Imponendo la condizione iniziale, ricaviamo √3¹

6 = y(1) = √3 ¹

6+C, che fornisce 6 + C = 6, ovvero C = 0.

Quindi la soluzione richiesta `e

y(x) = 1

√3

6x − 6x log x. Esercizio 4

Osserviamo che

x→1lim|x − 1|^(x−1)2 = lim

x→1e^{(x−1)2log |x−1|}= e⁰= 1 ,

dove abbiamo usato il limite notevole |t|^αlog |t| → 0, per t → 0 e α > 0, con t = x−1 → 0, per x → 1. Quindi la funzione proposta `e estendibile con continuit`a in x = 1. Consideriamo, pertanto, la funzione prolungata f :e R→Rdefinita da

f (x) =e





|x − 1|^(x−1)2 se x 6= 1;

1 se x = 1;

e studiamo la derivabilit`a di tale funzione in x = 1. Considerando il rapporto incrementale, otteniamo

h→0lim

f (1 + h) − ee f (1)

h = lim

h→0

|h|^h2− 1

h = lim

h→0

e^{h2log |h|}− 1

h = lim

h→0

h²log |h|

h = lim

h→0h log |h| = 0 , dove, nella penultima uguaglianza abbiamo utilizzato il limite notevole e^εn− 1 ∼ εn, per εn → 0. Pertanto, la funzione proposta risulta anche derivabile in x = 1.

7

Esercizio 5

a) La serie proposta diverge poich´e il termine generale non `e infinitesimo. Infatti, poich´e per ipotesi f¡

log¡ 1 +_n¹2

¢¢∼ log³¡ 1 + _n¹2

¢∼_n¹6 e g¡ sin¹_n¢

∼ sin^{2 1}_n ∼ _n¹2, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼ n⁴.

b) La serie proposta converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f¡₁

n²

¢∼ _n¹6 e g

³ 1 n√ n

´

∼_n¹3, detto anil termine generale della serie proposta, si ha a_n∼_n¹3.

c) La serie proposta converge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f¡ sin_n¹¢

∼ sin^{3 1}_n ∼ _n¹3 e g¡ log¡

1 +_n¹3

¢¢∼ log²¡ 1 + _n¹3

¢∼ _n¹6, detto an il termine generale della serie proposta, si ha an∼_n¹3.

d) La serie proposta diverge per il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

Infatti, poich´e per ipotesi f

³ 1 n√ n

´

∼ _n9/2¹ e g¡ ₁

n²

¢ ∼ _n¹4, detto an il termine generale della serie proposta, si ha a_n∼ _n1/2¹ .