a) Criterio di Kummer

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Esercizi di riepilogo e complemento 14

Serie - parte I

a) Criterio di Kummer

Se, data una serie a termini positivi

∞ n=1

a n , esiste una successione {b n } n∈N di numeri positivi tali che risulti

b n a n

a n+1 − b n+1 > k definitivamente, per una opportuna costante positiva k, la serie

∞ n=1

a n ` e convergente.

Se, invece, la successione {b n } n∈N ` e tale che

∞ n=1

1 b n

sia divergente e che risulti

b n a n

a n+1 − b n+1
0 definitivamente, la serie

∞ n=1

a n , `e divergente.

Il criterio di Kummer non ` e di facile applicazione nei casi concreti. La sua importanza consiste soprattutto nel fatto che da esso si possono dedurre altri criteri. Ad esempio, ponendo b n = n si ottiene il

b) Criterio di Raabe

Se, per una serie a termini positivi

∞ n=1

a n , risulta n

 a n

a n+1 − 1 

 k > 1 (k definitivamente), la serie converge; se

n

 a n

a n+1

− 1 

1 (k definitivamente), la serie diverge.

In particolare, se esiste lim

n→∞ n

 a n

a n+1 − 1 

ed ` e maggiore di 1 (minore di 1), la serie converge (diverge).

Se tale limite ` e 1 il criterio ` e inefficace.

c) Criterio di Gauss

Se, per una serie a termini positivi

∞ n=1

a n , il rapporto a n

a n+1

si pu` o scrivere definitivamente nella forma a n

a n+1 = λ + µ n + θ n

n ² , dove λ e µ sono costanti e θ n si mantiene limitato, si ha che la serie ` e

convergente se λ > 1 e µ qualunque oppure se λ = 1, µ > 1, divergente se λ < 1 e µ qualunque oppure se λ = 1, µ
1.

d) Criterio di Dedekind Se

i) le somme A n sono limitate, ii) lim

n→∞ b n = 0, iii) la serie

∞ n=0

|∆b n | `e convergente,

1

allora la serie

∞ n=0

a n b n ` e convergente e si ha

∞ n=0

a n b n = −
^∞

n=0

A n ∆b n . (1)

e) Criterio di Abel Se

i) le somme A n sono limitate,

ii) la successione {b n } n∈N ` e monotona e lim

n→∞ b n = 0, allora la serie

∞ n=0

a n b n ` e convergente e vale la (1).

Esercizi

1. In base alla definizione di serie, dimostrare la convergenza delle serie a)

∞ n=1

1

n(n + 1) , b)

∞ n=1

1

n(n + 1)(n + 2) , c)

∞ n=1

2n + 1 n ² (n + 1) ² .

2. Determinare la somma S delle serie a)

∞ n=0

 1 4

 n

, b)

∞ n=1

 3 5

 n

, c)

∞ n=2

 1 6

 n

, d)

∞ n=3

 3 7

 n

a)

⁴₃

; b)

³₂

; c)

₃₀¹

; d)

₁₉₆²⁷

3. Determinare i valori reali di x per i quali sono convergenti le serie a)

∞ n=0

(3x) ⁿ , b)

∞ n=0

1

(2 − x) ⁿ , c)

∞ n=0

 x ² − x x ² − 4

 _n ,

d)

∞ n=0

1

[log(x + x ² )] ⁿ , e)

∞ n=0

 1

1 − log |x|

 _n

a) −

¹₃

< x <

¹₃

; b) x < 1 o x > 3; c) x > 4 o

¹⁻

√33

4

x

^1+√₄³³

;

d) x / ∈ 

−1−√

21+4e

,

^−1+√₂^1+4e



o x ∈ 

₋₁₋

√

1+4/e 2

, −1 

o x ∈  0,

⁻¹⁺

√

1+4/e 2



; e) x < −e

²

o − 1 < x < 0 o 0 < x < 1 o x > e

²

.

4. Sia s n la somma parziale della serie

∞ n=1

u n . (2)

Dimostrare che a) se lim

n→∞ |s n | = +∞, la serie

∞ n=1

u n+1

s n s n+1 , (3)

`

e convergente ed ha per somma 1 u 1

;

b) se la (2) ` e convergente ed ha per somma S, la (3) `e convergente ed ha per somma 1 u 1 − 1

S . In entrambi i casi si suppone che tutti gli s n siano non nulli e, nel caso b), che sia S = 0.

2

5. Valendosi della proposizione stabilita nell’esercizio precedente, dimostrare che le serie a)

∞ n=1

1

n(n + 1)(n + 2) , b)

∞ n=1

2n + 1 n ² (n + 1) ² ,

sono convergenti ed hanno rispettivamente per somma 1 4 e 1.

6. Dimostrare, mediante il criterio del confronto, la convergenza delle serie a)

∞ n=1

1

n(n + 1) , b)

∞ n=1

sin nα

2 ⁿ , c)

∞ n=1

√ 2n ^3/2 + 1 n ⁴ − 10n − 16

7. Dimostrare, mediante il criterio del confronto, la divergenza delle serie a)

∞ n=1

1

n + a (a > 0), b)

∞ n=2

n

n ² − 1 , c) ^

∞ n=1

 e −

 1 + 1

n

 _n 

8. Dimostrare la divergenza delle serie a)

∞ n=1

√

n

n, b)

∞ n=1

1

n + log n , c)

∞ n=1

n 2 + √

n ³ , d)

∞ n=1

log

 1 + 1

n

 .

9. Studiare le serie

a)

∞ n=2

log n

√ n ² + n , b)

∞ n=2

log n + 1 √ n ³ + 1 .

a) diverge; b) converge

10. Sia

∞ n=1

a n ` e convergente a termini positivi. Dimostrare che se esiste il lim

n→∞ na n , tale limite `e zero.

11. Dimostrare, mediante il criterio del rapporto, la convergenza delle serie a)

∞ n=1

n!

n ⁿ , b)

∞ n=1

n ^p

n! , c)

∞ n=1

n ⁿ (2n)! .

12. Valendosi del criterio del rapporto, studiare le serie (per x  0) a)

∞ n=1

nx ⁿ , b)

∞ n=1

x ⁿ

n , c)

∞ n=1

nx ⁿ

n + 1 , d)

∞ n=0

x ²

ⁿ

1 + x ²

ⁿ⁺¹

.

e)

∞ n=0

1 · 3 · 5 · . . . · (2n + 1)

2 · 4 · 6 · . . . · (2n + 2) x ⁿ , dove 0 ⁰ := 1; f )

∞ n=1

e ⁿ n!

n ⁿ .

a), b), c), e) convergono per 0
x < 1 e divergono per x  1; d) converge per x = 1 e diverge per x = 1; f ) diverge

13. Studiare le serie a)

∞ n=1

e ⁻ⁿ

⁴

^+nx , b)

∞ n=1

 1 + 1

2 + 1

3 + . . . + 1 n

 x ⁿ n . essendo x un numero reale.

a) converge per ogni x; b) converge per − 1
x < 1, diverge per x  1, `e indeterminata per x < −1.

3

14. Dimostrare, mediante il criterio della radice, la convergenza delle serie a)

∞ n=2

1

(log n) ⁿ , b)

∞ n=1

x ⁿ

n ⁿ , c)

∞ n=1

 sin

 n + (−1) ⁿ n + 2 8n

 π

 _n .

15. Studiare la convergenza assoluta della serie

∞ n=1

 a + n + 1 a + n x

 _n ,

essendo a e x numeri reali ed a non intero negativo. converge assolutamente se e solo se |x| < 1.

16. Dimostrare, mediante il criterio di Raabe, la convergenza della serie

∞ n=1

1

(x + n)(x + n + 2) , qualunque sia il numero reale x.

17. Valendosi del criterio di Raabe, studiare la serie

∞ n=1

x ⁿ

(x + α 1 )(x + α 2 ) . . . (x + α n ) , essendo x > 0, α n > 0 ∀n  1, nell’ipotesi che esista il lim

n→∞ nα n =: l.

converge se x < l, diverge se x > l, il criterio `e inefficace se x = l.

18. Studiare il comportamento della serie armonica generalizzata
^∞

n=1

1

n ^α servendosi del criterio di Gauss, nell’ipotesi che α ∈ N.

19. Studiare il comportamento della serie

∞ n=0

a(a + d) . . . (a + nd)

b(b + d) . . . (b + nd) , a, b, d, ∈ R ⁺

servendosi dei criteri di Raabe e di Gauss.

converge se

^b−a_d

> l, diverge se

^b−a_d

< l (per Raabe); diverge se

^b−a_d

= l (per Gauss).

20. Studiare le serie a)

∞ n=1

(−1) ⁿ⁻¹

n ^α (α > 0), b)

∞ n=1

(−1) ⁿ⁻¹ n (n + 1) ² ,

c) 1

√ x + 1 − 1 − 1

√ x + 1 + 1 + 1

√ x + 2 − 1 − 1

√ x + 2 + 1 +. . .+ 1

√ x + n − 1 − 1

√ x + n + 1 +. . . (x > 0)

d) 1 − 1 1 + x + 1

2 − 1 2 + x + 1

3 − 1

3 + x + . . . 1 n − 1

n + x + . . . (x  0)

a) converge semplicemente per ogni α > 0, assolutamente per α > 1; b) converge semplicemente; c) diverge ; d) converge semplicemente.

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