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0 per x → 0+ `e a 1 per ogni α ∈ R c 2 per qualche α &gt

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(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13 gennaio 2018 – A

(1) Delle radici terze di w = (i − 2) · (1 + 3i)

a nessuna appartiene al quarto quadrante c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al secondo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La funzione f (x) =

(sin(αx) cosh x−log(1+x)

x se x > 0

cosh(βx) se x ≤ 0 nel punto x0 = 0 a `e continua per ogni α, β ∈ R

c `e continua ma non `e derivabile per ogni α, β ∈ R

b `e derivabile per α = 2 e ogni β ∈ R d nessuna delle precedenti

(3) L’ordine di infinitesimo della funzione gα(x) = cos(xα) −√

e− sin x con α > 0 per x → 0+ `e a 1 per ogni α ∈ R

c 2 per qualche α > 1

b 12 per qualche α < 1 d nessuna delle precedenti (4) La funzione fα(x) =

q

log2(x − 1) + α con α ≥ 0 a non ammette punto di minimo per qualche α ≥ 0 c assume il valore y0 = 2 per ogni α > 1

b `e derivabile nel suo dominio per ogni α ≥ 0 d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z +∞

1

log2(3x − 2)

(3x − 2)2 dx vale a +∞

c 23

b −29

d nessuna delle precedenti

(6) La serie numerica

+∞

X

n=0

nαn(1 − cosn!1) converge

a per ogni α < 2 c per nessun α ∈ R

b solo per α > 1

d nessuna delle precedenti

(2)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e d . Abbiamo che

w = (i − 2) · (1 + 3i) = −5 − 5i = 5√

2(cos4 + i sin4 ) e le sue radici terze sono date da

zk = 3 q

5√

2 cos 4 +2kπ

3



+ i sin 4 +2kπ

3



=√3

5 cos 5π+8kπ12  + i sin 5π+8kπ12  , i = 0, 1, 2, cio`e sono

z0 = 3 q

5√

2 cos 12 + i sin 12

z1 = 3 q

5√

2 cos 13π12  + i sin 13π12

z2 = 3 q

5√

2 cos 21π12  + i sin 21π12

e pertanto che z0 cade nel primo quadrante del piano complesso perch´e 125 ∈ (0,12), z1 nel terzo dato che 1312 ∈ (1,32), z2 nel quarto poich´e 2112 ∈ (32, 2).

(2) La risposta esatta `e d . Abbiamo lim

x→0

f (x) = lim

x→0

cosh(βx) = 1 = f (0)

per ogni β ∈ R. Mentre, essendo per x → 0, log(1 + x) = x + o(x) e sin(αx) cosh x = (αx + o(x))(1 + o(x)) = αx + o(x), si ottiene

lim

x→0+

f (x) = lim

x→0+

sin(αx) cosh x − log(1 + x)

x = lim

x→0+

(α − 1)x + o(x)

x = α − 1

per ogni α ∈ R. Dunque f (x) risulter`a continua in x0 = 0 solo per α = 2, quindi a e c sono false.

(3)

Riguardo alla derivabilit`a osserviamo che f (x) `e derivabile in ogni x < 0 con f0(x) = β sinh(βx) e che lim

x→0

f0(x) = 0 per ogni β ∈ R. Quindi, per ogni β ∈ R, la funzione ammette derivata sinistra in x0 = 0 con f0 (0) = 0.

Riguardo alla derivata destra, per α = 2, osservato che per x → 0 risulta log(1 + x) = x −12x2+ o(x2) e sin(2x) cosh x = (2x + o(x2))(1 + o(x)) = 2x + o(x2) otteniamo

lim

x→0+

f (x) − f (0)

x = lim

x→0+

sin(2x) cosh x−log(1+x)

x − 1

x

= lim

x→0+

2x + 12x2− x + o(x2) − x

x2 = lim

x→0+ 1

2x2+ o(x2) x2 = 12

Quindi la funzione ammette derivata destra in x0 = 0 con f+0 (0) = 12. Ne segue che la funzione non risulta derivabile in x0 = 0 per ogni α, β ∈ R e dunque anche b `e falsa.

(3) La risposta corretta `e la b . gα(x) = cos(xα) −√

e− sin xRicordando che cos y = 1 −y22+y244+ o(y4) per y → 0 posto y = xα, dato che α > 0 per x → 0 otteniamo cos(xα) = 1 − x2 + x24 + o(x).

Abbiamo poi che

e− sin x = e12sin x = 1 − 12sin x + 18sin2x + o(sin2x)

= 1 − 12(x + o(x2)) + 18(x + o(x2))2+ o((x + o(x2))2)

= 1 − x2 +x82 + o(x2) Ne segue che

gα(x) = cos(xα) −

e− sin x = −x2 +x24 + o(x) + x2x82 + o(x2)

=





x

2 + o(x) se 2α > 1

x122 se 2α = 1

x2 + o(x) se 2α < 1

Quindi gα(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α > 12, 2 per α = 12 e 2α per ogni 0 < α < 12. Ne segue che per α = 14 la funzione ha ordine di infinitesimo 12 e pertanto b `e vera mentre a e c sono false.

Nota: se per α = 12 non avessimo considerato lo sviluppo di Taylor di ordine 2 di cos(xα) = cos(√ x) non sarebbe stato possibile concludere che l’ordine di infinitesimo della funzione `e 2 ma solo che `e maggiore di 1.

(4) La risposta corretta `e la d . Studiamo la funzione fα(x) = q

log2(x − 1) + α al variare di α ≥ 0.

Si ha che fα(x) `e definita e continua in tutto (1, +∞). Se α > 0, la funzione risulta ovunque positiva mentre per α = 0 si ha che risulta positiva per x 6= 2, nulla per x = 2. Abbiamo

x→+∞lim fα(x) = +∞ e lim

x→1+fα(x) = +∞

Pertanto ammette un asintoto verticale in x = 1 qualunque sia α ≥ 0. Se α = 0 la funzione non risulta derivabile in x = 2, dove presenta un punto angoloso, in quanto

lim

h→0±

f0(2 + h) − f0(2)

h = lim

h→0±

q

log2(1 + h)

h = lim

h→0±

|h|

h = ±1

(4)

e dunque b `e falsa. `E invece derivabile in ogni x ∈ (1, +∞), x 6= 2, con f00(x) = log(x − 1)

q

log2(x − 1)

· 1 x − 1

Se α > 0 la funzione risulta derivabile in ogni x ∈ (1, +∞) con fα0(x) = log(x − 1)

q

log2(x − 1) + α

· 1 x − 1

Per ogni α ≥ 0 otteniamo allora che fα0(x) < 0 per ogni 1 < x < 2 e fα0(x) > 0 per ogni x > 2. Ne segue che fα(x) `e strettamente decrescente in (1, 2], `e strettamente crescente in [2, +∞) e che x = 2

`e punto di minimo assoluto con fα(2) = √

α per ogni α ≥ 0, quindi a `e falsa. Dal teorema dei valori intermedi ne segue inoltre che l’equazione fα(x) = 2 ammette soluzione solo per √

α ≤ 2, ovvero per α ≤ 4, e precisamente, dalla monotonia stretta, una sola soluzione se α = 4 e due soluzioni se α < 4.

Dunque la funzione assume il valore y0 = 2 solo per α ≤ 4 e anche c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e c . Infatti, Operando la sostituzione 3x − 2 = y (e quindi dx = 13dy) e

(5)

integrando per parti due volte si ottiene Z

log2(3x−2)

(3x−2)2 dx = 13 Z

log2y

y2 dy = 13



logy2y + 2 Z

log y y2 dy



= 13



logy2y2 log yy + 2 Z

1 y2 dy



= 13



logy2y2 log yy2y + c

= −log2y+2 log y+2

3y + c

= −log2(3x−2)+2 log(3x−2)+2

3(3x−2) + c

Dalla definizione di integrale improprio e dalla formula fondamentale del calcolo integrale, possiamo concludere che

Z +∞

1

log2(3x−2)

(3x−2)2 dx = lim

b→+∞

Z b 1

log2(3x−2)

(3x−2)2 dx = lim

b→+∞

h−log2(3x−2)+2 log(3x−2)+2 3(3x−2)

ib 1

= lim

b→+∞

2

3log2(3b−2)+2 log(3b−2)+2 3(3b−2) = 23 essendo log xxp → 0 per x → +∞ per ogni p > 0.

(6) La risposta corretta `e a . Osserviamo innanzitutto che la serie `e a termini positivi e che per n → +∞ risulta nαn(1 − cosn!1) ∼ 2(n!)nαn2. Quindi, dal criterio del confronto asintotico il comportamente della serie data `e il medesimo della serie P+∞

n=1 nαn

(n!)2. Per studiare il comportamento di quest’ultima applichiamo il criterio del rapporto. Posto an= (n!)nαn2, per n → +∞ si ha

an+1

an = (n + 1)α(n+1)

((n + 1)!)2 · (n!)2

nαn = (n + 1)α−2 1 + 1nαn





+∞ se α > 2 e2 se α = 2 0 se α < 2 Dal criterio del rapporto, la serie P+∞

n=1 nαn

(n!)2, e dunque anche la serie data, risulta convergente se e solo se α < 2.

(6)

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13 gennaio 2018 – B

(1) Delle radici quarte di w = (2 − i) · (3 − i) a nessuna appartiene al secondo quadrante c una appartiene all’asse immaginario

b una appartiene al primo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La funzione f (x) =

(sinh x cos x−log(1+αx)

x se x > 0

3

βx − 1 se x ≤ 0 nel punto x0 = 0 a `e continua per ogni α, β ∈ R

c `e continua ma non `e derivabile per ogni α, β ∈ R

b `e derivabile per α = 2 e β = 6 d nessuna delle precedenti (3) L’ordine di infinitesimo della funzione fα(x) = √

esinh x− cosh(xα) con α > 0 per x → 0+ `e a 1 per ogni α ∈ R

c 2 per qualche α < 1

b maggiore di 2 per qualche α > 1 d nessuna delle precedenti

(4) La funzione gα(x) =parctan2(x − 1) + α con α ≥ 0 a non ammette punto di minimo per qualche α ≥ 0 c assume il valore y0 = 1 per ogni α > 1

b `e derivabile nel suo dominio per ogni α ≥ 0 d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z +∞

2

log2(2x − 3)

(2x − 3)2 dx vale a +∞

c −14

b 1

d nessuna delle precedenti

(6) La serie numerica

+∞

X

n=0

1

nαnsin3 1n! diverge a per ogni α < 2

c per nessun α ∈ R

b solo per α > 3

d nessuna delle precedenti

(7)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Abbiamo che

w = (2 − i) · (3 − i) = 5 − 5i = 5(cos(−π4) + i sin(−π4)) e le sue radici quarte sono date da

zk =√4 5

 cos

π 4+2kπ

4



+ i sin

π 4+2kπ

4



=√4

5 cos −π+8kπ16  + i sin −π+8kπ16  , i = 0, 1, 2, 3, cio`e sono

z0 =√4

5 cos −16π + i sin −16π

z1 =√4

5 cos 16 + i sin 16

z2 =√4

5 cos 15π16 + i sin 15π16 

z3 =√4

5 cos 23π16 + i sin 23π16 

e pertanto che z0 cade nel quarto quadrante del piano complesso perch´e −161 ∈ (−12, 0), z1 nel primo dato che 167 ∈ (0,12), z2 nel terzo poich´e 1516 ∈ (12, 1) e infine z3 nel quarto essendo 2316 ∈ (1,32).

(2) La risposta esatta `e d . Abbiamo lim

x→0

f (x) = lim

x→0

p3

βx − 1 = −1 = f (0)

per ogni β ∈ R. Mentre, essendo per x → 0, log(1 + αx) = αx + o(x) e sinh x cosh x = (x + o(x))(1 + o(x)) = x + o(x), si ottiene

lim

x→0+

f (x) = lim

x→0+

sinh x cos x − log(1 + αx)

x = lim

x→0+

(1 − α)x + o(x)

x = 1 − α

per ogni α ∈ R. Dunque f (x) risulter`a continua in x0 = 0 solo per α = 2, quindi a e c sono false.

(8)

Riguardo alla derivabilit`a osserviamo che f (x) `e derivabile in ogni x < 0 con f0(x) = β3(βx − 1)23 e che lim

x→0f0(x) = β3 per ogni β ∈ R. Quindi, per ogni β ∈ R, la funzione ammette derivata sinistra in x0 = 0 con f0 (0) = β3.

Riguardo alla derivata destra, per α = 2, osservato che per x → 0 risulta log(1+2x) = 2x−2x2+o(x2) e sinh x cos x = (x + o(x2))(1 + o(x)) = x + o(x2) otteniamo

lim

x→0+

f (x) − f (0)

x = lim

x→0+

sinh x cos x − log(1 + 2x)x + 1 x

= lim

x→0+

x + o(x2) − 2x + 2x2+ o(x2) + x

x2 = lim

x→0+

2x2+ o(x2) x2 = 2

Quindi la funzione ammette derivata destra in x0 = 0 con f+0(0) = 2. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x0 = 0 solo per α = 2 e β = 6 e dunque b `e vera.

(3) La risposta corretta `e la c . Ricordando che cosh y = 1 +y22 +y244 + o(y4) per y → 0 posto y = xα, dato che α > 0 per x → 0+ otteniamo cosh(xα) = 1 +x2 +x24 + o(x). Abbiamo poi che

esinh x= e12sinh x = 1 + 12sinh x +18 sinh2x + o(sinh2x)

= 1 + 12(x + o(x2)) + 18(x + o(x2))2+ o((x + o(x2))2)

= 1 + x2 +x82 + o(x2) Ne segue che

fα(x) =

esinh x− cosh(xα) = x2 +x82 + o(x2) − x2x24 + o(x)

=





x

2 + o(x) se 2α > 1

x2

12 se 2α = 1

x2 + o(x) se 2α < 1

Quindi fα(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α > 12, 2 per α = 12 e 2α per ogni 0 < α < 12. Ne segue che c `e vera mentre a e c sono false.

Nota: se per α = 12 non avessimo considerato lo sviluppo di Taylor di ordine 2 di cosh(xα) = cosh(√ x) non sarebbe stato possibile concludere che l’ordine di infinitesimo della funzione `e 2 ma solo che `e maggiore di 1.

(4) La risposta corretta `e la d . Studiamo la funzione gα(x) = parctan2(x − 1) + α al variare di α ≥ 0. Si ha che gα(x) `e definita e continua in tutto R. Se α > 0, la funzione risulta ovunque positiva mentre per α = 0 si ha che risulta positiva per x 6= 1, nulla per x = 1. Abbiamo

x→+∞lim gα(x) = q

π2

4 + α e lim

x→−∞fα(x) = q

π2 4 + α Pertanto ammette un asintoto orizzontale in y =

qπ2

4 + α per x → ±∞ qualunque sia α ≥ 0. Se α = 0 la funzione non risulta derivabile in x = 1, dove presenta un punto angoloso, in quanto

lim

h→0±

g0(1 + h) − g0(1)

h = lim

h→0±

arctan2h

h = lim

h→0±

|h|

h = ±1 e dunque b `e falsa. `E invece derivabile in ogni x ∈ R \ {1}, con

f00(x) = arctan(x − 1)

parctan2(x − 1) · 1 1 + (x − 1)2

(9)

Se α > 0 la funzione risulta derivabile in ogni x ∈ R con gα0(x) = arctan(x − 1)

parctan2(x − 1) + α · 1 1 + (x − 1)2

Per ogni α ≥ 0 otteniamo allora che gα0(x) < 0 per ogni x < 1 e gα0(x) > 0 per ogni x > 1. Ne segue che gα(x) `e strettamente decrescente in (−∞, 1], `e strettamente crescente in [1, +∞) e che x = 1 `e punto di minimo assoluto con gα(1) =√

α per ogni α ≥ 0, quindi a `e falsa. Dal teorema dei valori intermedi, osservato che

qπ2

4 + α > 1 per ogni α ≥ 0, otteniamo inoltre che l’equazione gα(x) = 1 ammette soluzione solo se √

α ≤ 1, ovvero per α ≤ 1, e precisamente, dalla monotonia stretta, una sola soluzione se α = 1 e due soluzioni se α < 1. Dunque la funzione assume il valore y0 = 1 solo per α ≤ 1 e anche c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e b . Infatti, Operando la sostituzione 2x − 3 = y (e quindi dx = 12dy) e integrando per parti due volte si ottiene

Z

log2(2x−3)

(2x−3)2 dx = 12 Z

log2y

y2 dy = 12



logy2y + 2 Z

log y y2 dy



= 12



logy2y2 log yy + 2 Z

1 y2 dy



= 12 

logy2y2 log yy2y + c

= −log2y+2 log y+2

2y + c

= −log2(2x−3)+2 log(2x−3)+2

2(2x−3) + c

Dalla definizione di integrale improprio e dalla formula fondamentale del calcolo integrale, possiamo concludere che

Z +∞

2

log2(2x−3)

(2x−3)2 dx = lim

b→+∞

Z b 2

log2(2x−3)

(2x−3)2 dx = lim

b→+∞

h−log2(2x−3)+2 log(2x−3)+2 2(2x−3)

ib 2

= lim

b→+∞1 − log2(2b−3)+2 log(2b−3)+2

2(2b−3) = 1

(10)

essendo log xxp → 0 per x → +∞ per ogni p > 0.

(6) La risposta corretta `e a . Osserviamo innanzitutto che la serie `e a termini positivi e che per n → +∞ risulta nαnsin3 1n!(n!)nαn3. Quindi, dal criterio del confronto asintotico il comportamente della serie data `e il medesimo della serie P+∞

n=1 (n!)3

nαn. Per studiare il comportamento di quest’ultima applichiamo il criterio del rapporto. Posto an= (n!)nαn3, per n → +∞ si ha

an+1

an = ((n + 1)!)3

(n + 1)α(n+1) · nαn

(n!)3 = (n + 1)3−α 1

1 + n1αn





+∞ se α < 3 e−3 se α = 3 0 se α > 3 Dal criterio del rapporto, la serie P+∞

n=1 nαn

(n!)3, e dunque anche la serie data, risulta divergente se e solo se α < 3.

(11)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13 gennaio 2018

(1) Delle radici quarte di w = (2 − i) · (3 − i) a nessuna appartiene al secondo quadrante c una appartiene all’asse immaginario

b una appartiene al primo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La funzione f (x) =

(sinh x−log(1+αx)

x se x > 0

3

βx − 1 se x ≤ 0 nel punto x0 = 0 a `e continua per ogni α, β ∈ R

c `e continua ma non `e derivabile per ogni α, β ∈ R

b `e derivabile per α = 2 e β = 6 d nessuna delle precedenti (3) L’ordine di infinitesimo della funzione fα(x) = √

esinh x− cosh(xα) con α > 0 per x → 0+ `e a 1 per ogni α > 0

c 2 per qualche α < 1

b maggiore di 2 per qualche α > 1 d nessuna delle precedenti

(4) La funzione gα(x) = q

log2(x − 1) + α per ogni α > 0 a non ammette asintoti

c assume il valore y0 = 1

b ammette punto di massimo relativo d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z +∞

2

log(2x − 3)

(2x − 3)2 dx vale a +∞

c −14

b 1

d nessuna delle precedenti

(6) La serie numerica

+∞

X

n=0

nαnsin3 1n! converge

a per ogni α > 2 c per nessun α ∈ R

b solo per α < 3

d nessuna delle precedenti

(12)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Abbiamo che

w = (2 − i) · (3 − i) = 5 − 5i = 5√

2(cos(−π4) + i sin(−π4)) e le sue radici quarte sono date da

zk = 4 q

5√ 2

cosπ 4+2kπ

4



+ i sinπ 4+2kπ

4



= 4 q

5√

2 cos −π+8kπ16  + i sin −π+8kπ16  , i = 0, 1, 2, 3, cio`e sono

z0 = 4 q

5√

2 cos −16π + i sin −16π

z1 = 4 q

5√

2 cos 16 + i sin 16

z2 = 4 q

5√

2 cos 15π16 + i sin 15π16

z3 = 4 q

5√

2 cos 23π16 + i sin 23π16

Pertanto z0 cade nel quarto quadrante del piano complesso perch´e −161 ∈ (−12, 0), z1 nel primo dato che 167 ∈ (0,12), z2 nel terzo poich´e 1516 ∈ (12, 1) e infine z3 nel quarto essendo 2316 ∈ (1,32).

(2) La risposta esatta `e d . Abbiamo lim

x→0f (x) = lim

x→0

p3

βx − 1 = −1 = f (0)

per ogni β ∈ R. Mentre, essendo per x → 0, log(1 + αx) = αx + o(x) e sinh x = x + o(x), si ottiene lim

x→0+f (x) = lim

x→0+

sinh x − log(1 + αx)

x = lim

x→0+

(1 − α)x + o(x)

x = 1 − α

per ogni α ∈ R. Dunque f (x) risulter`a continua in x0 = 0 solo per α = 2, quindi a e c sono false.

(13)

Riguardo alla derivabilit`a osserviamo che f (x) `e derivabile in ogni x < 0 con f0(x) = β3(βx − 1)23 e che lim

x→0f0(x) = β3 per ogni β ∈ R. Quindi, per ogni β ∈ R, la funzione ammette derivata sinistra in x0 = 0 con f0 (0) = β3.

Riguardo alla derivata destra, per α = 2, osservato che per x → 0 risulta log(1+2x) = 2x−2x2+o(x2) e sinh x = x + o(x2) otteniamo

lim

x→0+

f (x) − f (0)

x = lim

x→0+

sinh x − log(1 + 2x)x + 1 x

= lim

x→0+

x + o(x2) − 2x + 2x2+ o(x2) + x

x2 = lim

x→0+

2x2+ o(x2) x2 = 2

Quindi la funzione ammette derivata destra in x0 = 0 con f+0(0) = 2. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x0 = 0 solo per α = 2 e β = 6 e dunque b `e vera.

(3) La risposta corretta `e la c . Ricordando che cosh y = 1 +y22 +y244 + o(y4) per y → 0 posto y = xα, dato che α > 0 per x → 0+ otteniamo cosh(xα) = 1 + x2 + x24 + o(x). Per x → 0+ Abbiamo poi che

esinh x= e12sinh x = 1 + 12sinh x +18 sinh2x + o(sinh2x)

= 1 + 12(x + o(x2)) + 18(x + o(x2))2+ o((x + o(x2))2)

= 1 + x2 +x82 + o(x2) da cui

fα(x) =

esinh x− cosh(xα) = x2 +x82 + o(x2) − x2x24 + o(x)

=





x

2 + o(x) se 2α > 1

x2

12 se 2α = 1

x2 + o(x) se 2α < 1

Quindi fα(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α > 12, 2 per α = 12 e 2α per ogni 0 < α < 12. Ne segue che c `e vera mentre a e c sono false.

Nota: se per α = 12 non avessimo considerato lo sviluppo di Taylor di ordine 2 di cosh(xα) = cosh(√ x) non sarebbe stato possibile concludere che l’ordine di infinitesimo della funzione `e 2 ma solo che `e maggiore di 1.

(4) La risposta corretta `e la d . Studiamo la funzione gα(x) = q

log2(x − 1) + α al variare di α > 0.

Si ha che fα(x) `e definita, continua e positiva in tutto (1, +∞) per ogni α > 0. Abbiamo

x→+∞lim gα(x) = +∞ e lim

x→1+gα(x) = +∞

Pertanto ammette un asintoto verticale in x = 1 qualunque sia α ≥ 0, quindi a `e falsa. Per ogni α > 0 la funzione risulta derivabile in ogni x ∈ (1, +∞) con

gα0(x) = log(x − 1) q

log2(x − 1) + α

· 1 x − 1

(14)

Otteniamo allora che g0α(x) < 0 per ogni 1 < x < 2 e gα0(x) > 0 per ogni x > 2. Ne segue che gα(x) `e strettamente decrescente in (1, 2], `e strettamente crescente in [2, +∞) e che x = 2 `e punto di minimo assoluto con gα(2) =√

α per ogni α > 0. Non ammette quindi punti di massimo e dunque b `e falsa.

Dal teorema dei valori intermedi segue inoltre che l’equazione gα(x) = 1 ammette soluzione solo per

√α ≤ 1, ovvero per α ≤ 1, e precisamente, dalla monotonia stretta, una sola soluzione se α = 1 e due soluzioni se α < 1. Dunque la funzione assume il valore y0 = 1 solo per α ≤ 1 e anche c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e b . Infatti, Operando la sostituzione 2x − 3 = y (e quindi dx = 12dy) e integrando per parti due volte si ottiene

Z

log(2x−3)

(2x−3)2 dx = 12 Z

log y

y2 dy = 12



log yy + Z

1 y2 dy



= 12

log yy1y + c

= −log y+12y + c

= −log(2x−3)+1 2(2x−3) + c

Dalla definizione di integrale improprio e dalla formula fondamentale del calcolo integrale, possiamo concludere che

Z +∞

2

log(2x−3)

(2x−3)2 dx = lim

b→+∞

Z b 2

log(2x−3)

(2x−3)2 dx = lim

b→+∞

h−log(2x−3)+1 2(2x−3)

ib 2

= lim

b→+∞

1

2log(2b−3)+1 2(2b−3) = 12 essendo log xxp → 0 per x → +∞ per ogni p > 0.

(6) La risposta corretta `e a . Osserviamo innanzitutto che la serie `e a termini positivi e che per n → +∞ risulta nαnsin3 1n!(n!)nαn3. Quindi, dal criterio del confronto asintotico il comportamente della serie data `e il medesimo della serie P+∞

n=1 nαn

(n!)3. Per studiare il comportamento di quest’ultima applichiamo il criterio del rapporto. Posto an= (n!)nαn3, per n → +∞ si ha

an+1

an = (n + 1)α(n+1)

((n + 1)!)3 · (n!)3

nαn = (n + 1)α−3 1 + n1αn





+∞ se α > 3 e3 se α = 3 0 se α < 3 Dal criterio del rapporto, la serie P+∞

n=1 (n!)3

nαn, e quindi anche la serie data, risulta convergente se e solo se α < 3.

(15)

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 3 febbraio 2018

(1) Delle radici quadrate di w = i · (√

3 + 3i) · (i − 1)3 a nessuna appartiene al secondo quadrante

c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al quarto quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La successione an = n3 coshn1 −p1 + nα2 per n → +∞

a converge per ogni α ∈ R c diverge per ogni α ∈ R

b converge se e solo se α = 1 d nessuna delle precedenti (3) L’ordine di infinitesimo della funzione fα(x) = sin xcos x − log(1 + αx) per x → 0+ `e

a 1 per ogni α ∈ R c 2 per qualche α ∈ R

b 3 per qualche α > 0 d nessuna delle precedenti (4) L’equazione arctanx−2x+2 = αx ammette

a al pi`u una soluzione per ogni α ∈ R c due soluzioni per ogni α > 0

b nessuna soluzione per qualche α < 0 d nessuna delle precedenti

(5) L’area della regione del piano compresa tra il grafico della funzione f (x) = x cos x e l’asse delle ascisse nell’intervallo [−π, π] vale

a π c 0

b 2π

d nessuna delle precedenti

(6) La serie di potenze

+∞

X

n=1

xn 1 −n2n2

ha insieme di convergenza

a (−e2, e2) c R

b [−1e,1e)

d nessuna delle precedenti

(16)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Abbiamo infatti che i · (√

3 + 3i) = −3 +√

3i = 2√ 3(−

3

2 +12i) = 2√

3(cos6 + i sin6 ) mentre, essendo i − 1 =√

2(cos4 + i cos4 ) si ha (i − 1)3 =√

8(cos4 + i cos4 ) = 2√

2(cosπ4 + i cosπ4) Pertanto

w = i · (√

3 + 3i) · (i − 1)3 = 4√

6(cos(π4 +6 ) + i cos(π4 +6 )) = 4√

6(cos13π12 + i cos13π12) e le sue radici quadrate sono date da

zk= q

4√

6(cos13π 12 +2kπ

2



+ i sin13π 12+2kπ

2



) = 2√4

6 cos 13π24 + kπ + i sin 13π24 + kπ , i = 0; 1, cio`e sono

z0 = 2√4

6 cos 13π24  + i sin 13π24 = 2√4

6 cos 24π + π2 + i sin 24π + π2

z1 = 2√4

6 cos 13π24 + π + i sin 13π24 + π = 2√4

6 cos 24π +2  + i sin 24π +2 

Quindi z0 cade nel secondo quadrante del piano complesso mentre z1 nel quarto.

(2) La risposta esatta `e b . Dagli sviluppi notevoli, per n → +∞ abbiamo che coshn1 −q

1 + nα2 = 1 +2n12 + 24n14 + o(n14) −

1 + 2nα28nα24 + o(n14)

= 1−α2n2 + 1+3α24n42 + o(n14)

e quindi an= n3 cosh1n−p1 + nα2 = n3(1−α2n2 + 1+3α24n42 + o(n14)) = (1−α)n2 +1+3α24n2 + o(1n) da cui an

(1−α

2 n se α 6= 1

1

6n se α = 1 Pertanto si ha

n→+∞lim an=





+∞ se α < 1 0 se α = 1

−∞ se α > 1

Nota: considerando lo sviluppo di ordine 2 delle successioni coinvolte si otteneva che an = n3(1−α2n2 + o(n12)) =

(1−α)n

2 + o(n) da cui non si poteva concludere nulla sul comportamento della successione nel caso in cui α = 1.

(3) La risposta corretta `e la c . Per x → 0 abbiamo infatti che sin x

√cos x = sin x · (cos x)12 = sin x · (1 + (cos x − 1))12

= (x − x63 + o(x3)) · (1 − 12(cos x − 1) + 38(cos x − 1)2+ o(cos x − 1)2)

= (x − x63 + o(x3)) · (1 + 14x2+ o(x3)) = x − x63 + o(x3) + 14x3+ o(x3)

= x + 121 x3 + o(x3)

(17)

mentre log(1 + αx) = αx −12α2x2+13x3+ o(x3), da cui fα(x) = sin x

√cos x − log(1 + αx) = (1 − α)x +12α2x2+ (121α33)x3+ o(x3)

=

((1 − α)x + o(x) se α 6= 1

1

2x2+ o(x2) se α = 1

Quindi fα(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α 6= 1, 2 per α = 1.

Nota: per determinare l’ordine di infinitesimo di fα(x) era sufficiente determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 2, quello riportato, per completezza, `e lo sviluppo di ordine 3.

(4) La risposta corretta `e la d . Per determinare le soluzioni dell’equazione arctanx−2x+2 = αx, studiamo la funzione fα(x) = arctanx−2x+2 − αx e determiniamone gli zeri. La funzione risulta definita e continua in R \ {−2} con

x→±∞lim fα(x) = arctanx−2x+2 − αx =





∓∞ se α > 0

π

4 se α = 0

±∞ se α < 0

e lim

x→−2±f (x) = ∓π2 + 2α.

Osserviamo che se α < 0, dato che la funzione `e continua in (−2, +∞) e che lim

x→+∞fα(x) = +∞ mentre lim

x→−2+fα(x) = −π2+2α < 0, dal Teorema dei valori intermedi abbiamo che la funzione ammette almeno uno zero in (−2, +∞) per ogni α < 0, dunque b `e falsa.

In modo analogo, dato che la funzione `e continua in (−∞, −2) e che se 0 > α > −π4 si ha lim

x→−∞fα(x) =

−∞ mentre lim

x→−2fα(x) = π2 + 2α > 0, dal Teorema dei valori intermedi abbiamo che la funzione ammette almeno uno zero in (−∞, −2). Quindi, per quanto osservato sopra, per ogni −π4 < α < 0 la funzione ammette almeno due zeri e pertanto anche a `e falsa.

La funzione `e derivabile in ogni x ∈ R \ {−2} con f0(x) = 1

1 + (x−2x+2)2 · 4

(x + 2)2 − α = 2

x2+ 4 − α = 2 − αx2− 4α

x2+ 4 = −αx2+ 2(2α − 1) x2+ 4

(18)

Per α > 12 otteniamo allora che fα0(x) < 0 per ogni x 6= −2 e quindi che fα(x) risulta strettamente decrescente in (−∞, −2) e in (−2, +∞). Osservato che per tali valori di α, lim

x→−2

fα(x) = π2+ 2α > 0, dalla monotonia stretta otteniamo che fα(x) > 0 per ogni x ∈ (−∞, −2). Poich´e invece lim

x→+∞fα(x) =

−∞ mentre lim

x→−2+

fα(x) = −π2 + 2α > 0 per ogni α > π4, dal Teorema dei valori intermedi e dalla monotonia stretta abbiamo che per tali valori la funzione ammette uno ed un solo zero in (−2, +∞).

Quindi per α > π4 la funzione ammette uno ed un solo zero nel suo dominio e c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e b . Infatti, osserviamo innanzitutto che x cos x ≥ 0 per ogni x ∈ [0,π2] ∪ [−π, −π2] mentre x cos x ≤ 0 per ogni x ∈ [π2, π] ∪ [−π2, 0], l’area cercata sar`a quindi data da

A = Z π

−π

|x cos x| dx = Z π2

−π

x cos x dx − Z 0

π2

x cos x dx + Z π2

0

x cos x dx − Z π

π 2

x cos x dx

Integrando per parti otteniamo Z

x cos x dx = x sin x − Z

sin x dx = x sin x + cos x + c, c ∈ R

(19)

e dunque dalla formula fondamentale del calcolo possiamo concludere che A = [x sin x + cos x]

π 2

−π − [x sin x + cos x]0π

2 + [x sin x + cos x]

π 2

0 − [x sin x + cos x]ππ 2

= (π2 + 1) − (1 −π2) + (π2 − 1) − (−1 − π2) = 2π

Nota: Dato che |x cos x| `e funzione pari, i conti potevano semplificarsi osservato che

A = Z π

−π

|x cos x| dx = 2 Z π

0

|x cos x| dx = 2(

Z π2

0

x cos x dx − Z π

π 2

x cos x dx)

(6) La risposta corretta `e a . Per determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze

+∞

X

n=1

xn 1 −n2n2

calcoliamo innanzitutto il raggio di convergenza utilizzando il metodo della radice1. Abbiamo

n→+∞lim

n

r

1 −n2n2

= lim

n→+∞ 1 − n2n

= e−2 dato che per ogni α ∈ R abbiamo che 1 +αnn

= eα. Il raggio di convergenza della serie `e pertanto ρ = e2 e quindi che la serie converge per ogni |x| < e2 e non converge per |x| > e2.

Osserviamo inoltre che per x = e2 la serie diviene

+∞

X

n=1

e2n 1 −2nn2

e che

(∗) lim

n→+∞e2n 1 − 2nn2

= lim

n→+∞e2n+n2log(1−n2) = e12

siccome 2n + n2log(1 − n2) = 2n + n2(−n2n22 + o(n12)) = −2 + o(1) → −2 per n → +∞. Dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie possiamo concludere che la serie

+∞

X

n=1

e2n 1 −n2n2

non converge. Dal precedente limite otteniamo inoltre che non esiste il limite

n→+∞lim (−1)ne2n 1 − 2nn2

e pertanto, sempre della condizione necessaria alla convergenza di una serie, possiamo concludere che la serie di potenze data non converge anche per x = −e2.

Da quanto trovato possiamo concludere che la serie di potenze converge se e solo se |x| < e2 e quindi che l’insieme di convergenza `e l’intervallo (−e2, e2).

1Volendo applicare il metodo del rapporto, abbiamo

n→+∞lim

|(1 − n+12 )(n+1)

2

|

|(1 −n2)n2|

= lim

n→+∞

e(n+1)2log(1−n+12 )

en2log(1−n2) = lim

n→+∞e(n+1)2log(1−n+12 )−n2log(1−n2)= e−2 dato che per n → +∞ dallo sviluppo di Taylor del logaritmo si ha

(n + 1)2log(1 −n+12 ) − n2log(1 −n2) = (n + 1)2(−n+12 (n+1)2 2 + o((n+1)1 2)) − n2(−2nn22 + o(n12))

= −2(n + 1) − 2 + 2n + 2 + o(1) = −2 + o(1) → −2

Nota: per n → +∞ si ha (1 −n2)n

2

= (1 −n2)nn

6∼ e−2nma (1 − 2n)n

2

e12e−2n, vedi (∗)

(20)

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 24 febbraio 2018 – A

(1) Delle soluzioni in campo complesso dell’equazione z2+ (i − 1)z + i = 0 a nessuna appartiene al secondo quadrante

c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al quarto quadrante d nessuna delle precedenti

(per rispondere alla domanda `e sufficiente valutare il segno della parte reale e immaginaria delle soluzioni)

(2) La successione an = (2n)αn

n3 · n! per n → +∞

a converge per ogni α ≤ 1 c diverge per ogni α > 0

b converge se e solo se α = 1 d nessuna delle precedenti

(3) La funzione f (x) =

(ex cos x−cosh x+α sin2x

x se x > 0

(1 + 3x2)β se x ≤ 0 nel punto x0 = 0 a `e continua ma non derivabile per ogni α, β ∈ R

c `e derivabile solo per α = 6β

b `e continua solo per α = 0 d nessuna delle precedenti (4) Il volume massimo di un cono circolare retto inscritto in una sfera di raggio 3 `e

a maggiore di 10π c minore di 2π

b compreso tra 8π e 10π d nessuna delle precedenti

(si ricorda che il volume di un cono di raggio r e altezza h `e π3r2h)

(5) L’integrale improprio Z +∞

9

√ 1

x3(x − 4)dx vale a +∞

c 14log 5 − 13

b 1

3

d nessuna delle precedenti

(6) La serie

+∞

X

n=1

3n

 1

1 − 31n

− e3nα



converge

a per ogni α > 0 c solo per α = 1

b per nessun α ∈ R

d nessuna delle precedenti

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ANALISI MATEMATICA 2- FACSIMILE III

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Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati.. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri,

Per studiarne la monotonia e l’esistenza di eventuali punti di massimo, studiamo il segno della derivata prima.. Ne concludiamo che sia a che c

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Per studiarne la monotonia e l’esistenza di eventuali punti di massimo, studiamo il segno della derivata prima.. Ne concludiamo che sia a che c