0 c per ogni α &lt

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Seconda prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13/01/2012

1) La successione a_n = n^αnlog(1 +2ⁿ

n!) converge a per ogni α > 0

c per ogni α < 1

b per nessun α ∈ IR d nessuna delle precedenti

2) La funzione f (x) =

(_log(1+x2)+sin αx

x per x > 0

√3

1 + βx per x ≤ 0 nel punto x₀ = 0 a `e continua per ogni α, β ∈ IR

c `e derivabile per α = 1 e β = 3

b per ogni α, β ∈ IR non `e derivabile d nessuna delle precedenti

3)* L’equazione e^x−α = x, ammette una sola soluzione positiva a solo per α = 1

c per ogni α ≥ 1

b per ogni α ∈ IR

d nessuna delle precedenti

4) L’integrale Z 1

0

x²e^−xdx vale

a 2 + ³_e c 2

b 2 − ⁵_e

d nessuna delle precedenti

5)* L’integrale improprio Z +∞

1

log²x

(x − 1)^αsin¹_x dx a converge per ogni 2 < α < 3

c converge per ogni α > 2

b non converge per ogni α ∈ IR d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1) La risposta esatta `e la c . Infatti, dalla gerachia degli infiniti, usando il limite notevole del logaritmo si ha

a_n+1 an

= (n + 1)^αn+αlog(1 + _(n+1)!²ⁿ⁺¹ )

n^αnlog(1 +²_n!ⁿ) ∼ (n + 1

n )^αn(n + 1)^α

2ⁿ⁺¹ (n+1)!

2ⁿ n!

= 2(1 + 1

n)^αn(n + 1)^α−1 e dunque

n→+∞lim a_n+1

a_n =







+∞ se α > 1 2e se α = 1 0 se α < 1

Dal Criterio del rapporto segue allora che la serie converge a 0 se α < 1 e diverge a +∞

se α ≥ 1.

(2) La risposta esatta `e la c . Infatti, lim

x→0⁻f (x) = lim

x→0⁻

p3

1 + βx = 1 = f (0)

per ogni β ∈ IR. Mentre, essendo per x → 0, sin(αx) = αx + o(x²) e log(1 + x²) = x²+ o(x²), si ottiene

lim

x→0⁺f (x) = lim

x→0⁺

log(1 + x²) + sin(αx)

x = lim

x→0⁺

αx + o(x)

x = α

per ogni α ∈ IR. Dunque f (x) risulter`a continua in x₀ = 0 solo per α = 1.

Riguardo alla derivabilit`a, abbiamo che lim

x→0⁻

f (x) − 1

x = lim

x→0⁻

√3

1 + βx − 1

x = β

3

per ogni β ∈ IR. Quindi, per ogni β ∈ IR, la funzione ammette derivata sinistra in x₀ = 0 con f₋⁰(0) = ^β₃.

Riguardo alla derivata destra, dagli sviluppi sopra per α = 1, risulta lim

x→0⁺

f (x) − 1

x = lim

x→0⁺

log(1 + x²) + sin x − x

x² = lim

x→0⁺

x²+ o(x²) x² = 1

Quindi la funzione ammette derivata destra in x₀ = 0 con f₊⁰(0) = 1. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x₀ = 0 solo per α = 1 e β = 3.

(3) La risposta esatta `e a . Posto f_α(x) = e^x−α − x, studiamo la funzione f_α(x) e determiniamone il numero di zeri al variare di α ∈ IR. La funzione risulta definita e continua in IR, inoltre dalla gerarchia degli infiniti, si ha

x→±∞lim f_α(x) = +∞.

La funzione risulta derivabile in ogni x ∈ IR con f_α⁰(x) = e^x−α− 1

Dunque, avremo f_α⁰(x) > 0 se e solo se x > α e quindi che fα(x) risulta strettamente decrescente in (−∞, α], strettamente crescente in [α, +∞) e che x = α `e punto di minimo assoluto per f_α(x) con f_α(α) = 1 − α. Osservato che f_α(α) < 0 se α > 1, f_α(α) = 0 se α = 1 e fα(α) > 0 se α < 1,

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

α>1 α=1

α<1

dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia della funzione otteniamo che se α > 1 la funzione ammette due soli zeri x_α < α e ¯x_α > α, se α = 1 uno ed un solo zero x_α = α = 1, mentre non ammette zeri se α < 1.

Riguardo al segno degli zeri, osserviamo che se α = 1 la funzione ha un solo zero posi- tivo x_α = 1, mentre se α > 1 i due zeri della funzione sono entrambi positivi. Infatti,

¯

x_α > α > 1 > 0 mentre, essendo f_α(0) = e^−α > 0 e la funzione decrescente in (−∞, 0], risulta f_α(x) > 0 per ogni x ≤ 0 e dunque x_α > 0. Si poteva in alternativa osservare che essendo l’esponenziale funzione positiva, le soluzioni dell’equazione x = e^x−α risultano necessariamente positive.

In alternativa, poich`e si cercano soluzioni positive, l’equazione e<sup>x−α</sup> = x per x > 0 potr`a essere riscritta come x − α = log x e dunque si potevano cercare le soluzioni dell’equazione g(x) = x − log x = α al variare di α ∈ IR.

(4) La risposta esatta `e la b . Infatti, integrando per parti otteniamo Z

x²e^−x dx = −x²e^−x+ 2 Z

xe^−x dx

= −x²e^−x− 2xe^−x+ 2 Z

e^−x dx

= −x²e^−x− 2xe^−x− 2e^−x+ c

da cui

Z 1 0

x²e^−x dx =−e^−x(x²+ 2x + 2)1

0 = 2 − 5 e

(5) La risposta esatta `e la a . Infatti, osservato che la funzione f_α(x) = _(x−1)^log_α²_sin^x 1 x

dx risulta continua in (0, +∞), studiamo separatamente la convergenza degli integraliR2

1 fα(x) dx eR+∞

2 f_α(x) dx. Dagli sviluppi notevoli, per x → 1 risulta f_α(x) = log²(1 + x − 1)

(x − 1)^αsin¹_x ∼ (x − 1)²

(x − 1)^αsin 1 = 1

sin 1(x − 1)^α−2 e dal criterio del confronto asintotico, essendoR2

1 1

(x−1)^p dx convergente se e solo se p < 1, deduciamo che l’integrale R2

1 f_α(x) dx converge se e solo se α < 3.

Per x → +∞ risulta invece

f_α(x) = log²x

(x − 1)^αsin¹_x ∼ log²x x^α−1 e l’integraleR+∞

2

log²x

x^β dx converge se e solo se β > 1¹. Dal criterio del confronto asintotico deduciamo allora che l’integrale dato converge se e solo se α > 2.

Riundendo quanto ottenuto, concludiamo che l’integrale dato converge se e solo se 2 <

α < 3.

1Infatti, per x → +∞, dalla gerarchia degli infiniti risulta

log²x x^β

1 x^p

= log²x x^β−p →

(0 se β > p +∞ se β ≤ p

Dunque, se β > 1, scegliendo 1 < p < β, dal primo limite e dal criterio del confronto asintotico, otteniamo cheR+∞

2

log²x

x^β dx converge. Se β ≤ 1, scegliendo β ≤ p ≤ 1, dal secondo limite e dal criterio del confronto asintotico, otteniamo cheR+∞

2

log²x

x^β dx diverge.