Francesco Bonsante e Giuseppe Da Prato
31 Maggio 2007
1 Numeri reali 1
1.1 Insiemi di numeri razionali . . . . 1
1.1.1 Estremo superiore e estremo inferiore . . . . 1
1.2 Numeri reali (costruzione di Dedekind) . . . . 2
1.2.1 Immersione naturale di Q in R . . . . 2
1.2.2 Relazione d’ordine . . . . 3
1.2.3 Somma e prodotto . . . . 3
1.3 Estremo superiore e inferiore . . . . 4
1.4 Radici e logaritmi . . . . 5
2 Successioni di numeri reali 9 2.1 Definizione di limite . . . . 9
2.2 Successioni limitate e monotone . . . . 12
2.3 Operazioni con i limiti . . . . 13
2.4 Punti limite di una successione limitata. Limiti superiore e inferiore . . . . 13
2.5 Criterio di Cauchy . . . . 17
2.5.1 Il numero e . . . . 18
2.6 Successioni illimitate . . . . 20
2.6.1 Successioni monotone . . . . 21
2.6.2 Operazioni con i limiti . . . . 21
2.6.3 Punti limite di una successione qualunque. Limi- ti superiore e inferiore . . . . 23
3 Serie 25 3.1 Definizioni . . . . 25
3.2 Criteri di convergenza di una serie . . . . 27
3.2.1 Criterio del rapporto . . . . 27
i
3.2.2 Criterio della radice . . . . 28
3.2.3 Serie a termini positivi . . . . 29
3.2.4 Serie a segni alterni . . . . 30
3.3 Convergenza di medie . . . . 31
4 Funzioni reali di una variabile reale. Limiti e continuit` a 33 4.1 Limiti . . . . 34
4.1.1 Limiti infiniti . . . . 37
4.1.2 Limiti per x → ±∞ . . . . 38
4.2 Funzioni continue . . . . 39
5 Funzioni reali continue in un intervallo 43 5.1 Continuit` a uniforme . . . . 43
5.2 Massimi e minimi . . . . 47
5.3 Esistenza degli zeri . . . . 49
5.4 Funzioni monotone . . . . 50
5.5 Funzioni convesse . . . . 52
6 Derivate 55 6.1 Definizione di derivata . . . . 55
6.1.1 Derivata di alcune funzioni elementari . . . . 56
6.2 Regole di derivazione . . . . 57
6.2.1 Derivazione della funzione inversa . . . . 58
6.2.2 Derivazione di funzioni composte . . . . 61
6.3 Propriet` a locali di una funzione (prima parte) . . . . 62
6.3.1 Forme indeterminate . . . . 63
6.4 Propriet` a globali (Prima parte) . . . . 64
6.4.1 Funzioni convesse derivabili . . . . 66
6.5 Derivata seconda . . . . 69
6.6 Propriet` a locali di una funzione (seconda parte) . . . . 70
6.7 Propriet` a globali (Seconda parte) . . . . 72
6.8 Derivate di ordine n . . . . 73
7 Integrazione 75 7.1 Definizione dell’integrale . . . . 75
7.2 Propriet` a dell’integrale . . . . 78
7.2.1 Linearit` a . . . . 78
7.2.2 Additivit` a . . . . 80
7.2.3 Positivit` a . . . . 81
7.2.4 Teorema del valor medio . . . . 82
7.3 Integrale come funzione di un estremo di integrazione . . . . . 82
7.4 Formula di integrazione per parti . . . . 86
7.5 Cambiamento di variabili in un integrale . . . . 87
8 Successioni e serie di funzioni 89 8.1 Convergenza di una successione di funzioni . . . . 89
8.1.1 Successioni di Cauchy . . . . 92
8.2 Approssimazione di funzioni continue con polinomi . . . . 92
8.3 Passaggio al limite sotto il segno di integrale . . . . 94
8.4 Teorema di derivazione . . . . 95
8.5 Serie di funzioni . . . . 95
8.5.1 Integrazione e derivazione per serie . . . . 96
8.5.2 Serie di Taylor . . . . 97
9 Spazi metrici 99 9.1 Prime definizioni . . . . 99
9.2 Insiemi aperti e chiusi . . . 101
9.3 Limiti di successioni, spazi metrici completi . . . 102
9.4 Applicazioni fra spazi metrici . . . 104
9.5 Compattezza . . . 106
9.5.1 Intersezione di famiglie di compatti . . . 110
9.6 Caratterizzazione dei compatti di C[0, 1]) . . . 113
9.7 Argomento di categoria di Baire . . . 116
9.8 Principio delle contrazioni . . . 117
9.9 Connessione . . . 118
9.9.1 Distanza indotta su un sottoinsieme . . . 118
9.9.2 Spazi metrici connessi . . . 119
9.9.3 Sottoinsiemi connessi di R . . . 120
9.9.4 Componenti connesse di un insieme . . . 121
9.9.5 Connessione per archi . . . 123
9.9.6 Una semplice applicazione . . . 126
10 Calcolo differenziale in R n 127 10.1 Notazioni e richiami . . . 127
10.1.1 Richiami di algebra lineare . . . 127
10.1.2 La metrica euclidea . . . 128
10.1.3 Funzionali lineari . . . 130
10.1.4 Forme bilineari . . . 130
10.2 Definizione di derivata . . . 130
10.2.1 Derivate parziali e derivate direzionali . . . 132
10.3 Derivazione di funzioni composte . . . 136
10.4 Derivazione della funzione inversa . . . 138
10.5 Esempi . . . 139
10.5.1 Applicazioni di R in R n . . . 139
10.5.2 Applicazioni di R n in R . . . 140
10.5.3 Campi di vettori . . . 142
10.6 Derivate seconde . . . 143
10.7 Formula di Taylor . . . 146
10.7.1 Massimi e minimi locali e globali . . . 147
11 Teoremi di inversione locale 151 11.1 Principio delle contrazioni locale . . . 151
11.1.1 Contrazioni in R n . . . 151
11.1.2 Contrazioni locali . . . 152
11.2 Inversione locale . . . 154
11.3 Principio delle contrazioni dipendenti da un parametro . . . . 156
11.4 Teorema della funzione implicita . . . 157
11.5 Alcune applicazioni . . . 162
11.5.1 Sistemi dipendenti da parametri . . . 162
11.5.2 Una dimostrazione del Teorema fondamentale dell’algebra164 11.6 Sottoinsiemi lisci e spazio tangente . . . 166
11.6.1 Spazio tangente . . . 168
11.6.2 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange . . . 171
12 Equazioni differenziali 177 12.1 Introduzione . . . 177
12.1.1 Equazioni a variabili separabili . . . 178
12.1.2 Equazioni di ordine superiore . . . 181
12.2 Problema di Cauchy in R n . . . 182
12.2.1 Introduzione . . . 182
12.3 Caso in cui f ` e Lipschitziana . . . 184
12.3.1 La legge di semigruppo . . . 186
12.3.2 Caso non autonomo . . . 187
12.4 f localmente Lipschitziana . . . 187
12.5 Equazioni differenziali lineari . . . 194
12.5.1 Problema di Cauchy . . . 194
12.5.2 Sottospazio vettoriale delle soluzioni di u 0 (t) = Au(t) . 196
12.5.3 Problema di Cauchy con forza esterna . . . 199
12.6 Equazioni lineari non autonome . . . 199
12.6.1 Sottospazio vettoriale delle soluzioni di u 0 (t) = A(t)u(t) 201
12.6.2 Caso in cui le matrici A(t) commutano . . . 206
12.6.3 Problema di Cauchy con forza esterna . . . 207
12.7 Equazioni differenziali con dati continui . . . 208
12.7.1 Connessione e compattezza dell’insieme delle soluzioni . 210
Numeri reali
1.1 Insiemi di numeri razionali
Riteniamo noti i numeri interi naturali N = {1, 2, 3, ....}, i numeri interi relativi Z = {0, ±1, ±2, ..., }, i numeri razionali relativi Q con le loro propriet`a fondamentali.
Vogliamo definire i numeri reali usando la costruzione di Dedekind. Per questo cominciamo con dare alcuni concetti sugli insiemi di numeri razionali.
Sia Γ un sottoinsieme non vuoto di Q.
• Si dice che Γ `e limitato superiormente (risp. limitato inferiormente) se esiste λ ∈ Q tale che p ≤ λ per ogni p ∈ Γ (risp. p ≥ λ per ogni p ∈ Γ).
Se Γ ` e limitato superiormente e inferiormente si dice che ` e limitato.
• Ogni λ ∈ Q tale che p ≤ λ (risp. p ≥ λ) per ogni p ∈ Γ `e detto un maggiorante (risp. minorante) di Γ.
• Se esiste M ∈ Γ (risp. m ∈ Γ) tale che p ≤ M (risp. p ≥ m) per ogni p ∈ Γ, si dice che M (risp m) ` e il massimo (resp. il minimo di Γ).
Ad esempio se Γ = {p ∈ Q : p ≤ 1}, 1 ` e il massimo di M mentre l’insieme Γ = {p ∈ Q : p < 1} non ha massimo.
1.1.1 Estremo superiore e estremo inferiore
Un concetto pi` u debole di quello di massimo ` e il concetto di estremo superiore.
Sia Γ un sottoinsieme non vuoto di Q e sia G l’insieme dei suoi maggioranti.
1
G ` e ovviamente limitato inferiormente e non vuoto. Se G ha minimo (risp.
massimo) λ, si dice che λ ` e l’ estremo superiore (resp. estremo inferiore) di Γ. L’estremo superiore (risp. inferiore) di Γ (se esiste) si indica con sup Γ (risp. inf Γ ).
In altri termini l’estremo superiore di Γ ` e il minimo (se esiste) dei suoi maggioranti e l’ estremo inferiore di Γ ` e il massimo (se esiste) dei suoi mino- ranti.
Esercizio 1.1 Provare che l’insieme Γ
Γ = {p ∈ Q : p 2 < 2}.
non ha estremo superiore.
Il fatto che gli insiemi limitati superiormente di Q non hanno in generale estremo superiore conduce alla definizione di numero reale.
1.2 Numeri reali (costruzione di Dedekind)
Definizione 1.2 Unnumero reale α ` e un sottoinsieme non vuoto di Q tale che:
(i) α ` e limitato superiormente.
(ii) α non ha massimo.
(iii) p, q ∈ Q, p ∈ α, q ≤ p ⇒ q ∈ α.
Si dice anche che α ` e una sezione di Q. Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali.
1.2.1 Immersione naturale di Q in R
Ad ogni p ∈ Q facciamo corrispondere la sezione γ p definita da γ p = {q ∈ Q : q < p}.
E facile vedere che questa applicazione ` ` e iniettiva. Nel seguito, se non vi ` e possibilit` a di confusione, identificheremo γ p con p. Ad esempio scriveremo:
0 = {p ∈ Q : p < 0}.
1.2.2 Relazione d’ordine
Definiamo in R una relazione d’ordine. Per questo cominciamo con l’osservare che dati α, β ∈ R si verifica soltanto uno dei casi seguenti:
(i) α ⊂ β.
(ii) α ⊃ β.
Infatti, dato che:
α ∪ β = (α \ β) ∪ (α ∩ β) ∪ (β \ α), (1.1) se non valesse n´ e (i) n´ e (ii), i tre insiemi in (1.1) sarebbero disgiunti e non vuoti. Quindi esisterebbe p ∈ α\β e q ∈ β \α. Se fosse p < q si avrebbe p ∈ β per la propriet` a (ii) della Definizione 1.2 il che ` e assurdo. Analogamente se fosse q < p si avrebbe q ∈ α il che ` e assurdo per lo stesso motivo.
Dati α, β ∈ R scriveremo α ≤ β se α ⊂ β, α < β se α `e un sottoinsieme proprio di β, α ≥ β se α ⊃ β, α > β se β ` e un sottoinsieme proprio di α.
1.2.3 Somma e prodotto
Estendiamo la definizione di somma a coppie α, β di elementi di R ponendo:
α + β = {p + q : p ∈ α, q ∈ β}.
Inoltre poniamo 0 = γ 0 = {p ∈ Q : p < 0},
−α = {p ∈ Q : p ≤ 0, −p / ∈ α}, ∀ α > 0, e
−α = {p ∈ Q : p ≤ 0} ∪ {p ∈ Q : p ≥ 0, −p / ∈ α}, ∀ α < 0.
Definiamo ora il prodotto di due numeri reali positivi α, β ponendo αβ = {pq : p ∈ α, q ∈ β}.
Infine si definisce il prodotto di due numeri reali di segno qualunque con le regole usuali dei segni e la potenza x n , n ∈ N, di un numero reale x. Si pu` o poi verificare facilmente che le note propriet` a delle operazioni sui numeri razionali si estendono ai numeri reali. (1)
(1) Per dettagli vedi W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Mac Graw, Inter-
national Student Edition, 1976.
1.3 Estremo superiore e inferiore
Si estendono in modo ovvio le nozioni di insieme limitato (superiormente e inferiormente), di maggiorante, di minorante di estremo superiore e inferiore ai sottoinsiemi di R.
Il teorema seguente ` e di importanza fondamentale.
Teorema 1.3 Sia K ⊂ R un insieme limitato superiormente (risp. inferi- ormente). Allora esiste l’estremo superiore (risp. inferiore) di K.
Dimostrazione. Sia λ il sottoinsieme di Q ottenuto prendendo l’unione di tutte le sezioni corrispondenti agli elementi di K. Verifichiamo che λ ` e una sezione.
(i) λ ` e non vuoto e limitato superiormente. Infatti per ipotesi esiste un maggiorante µ di K ed ` e chiaro che λ ⊂ µ.
(ii) Se p ∈ λ e q ≤ p si ha q ∈ λ. Infatti se p ∈ λ allora p appartiene a una sezione α di K e quindi q ∈ α ⊂ λ.
(iii) λ non ha massimo. Infatti supponiamo per assurdo che p 0 ∈ Q sia il massimo di λ. Allora esiste α ∈ K tale che p 0 ` e un massimo di α il che ` e assurdo.
Possiamo ora concludere la dimostrazione provando che λ ` e il minimo maggiorante di K. ` E chiaro che λ ` e un maggiorante di K. Supponiamo per assurdo che non sia il minimo cio` e che esista µ ∈ R tale che α ≤ µ per ogni α ∈ K. Allora si ha λ ≤ µ il che ` e assurdo.
Osservazione 1.4 L’estremo superiore λ di un sottoinsinsieme K di R lim- itato superiormente ` e caratterizzato dalle due propriet` a seguenti:
(i) Se z > λ si ha x < λ per ogni x ∈ K.
(ii) Se z < λ esiste x ∈ K tale che x > λ.
L’estremo inferiore λ di un sottoinsinsieme di R limitato inferiormente `e caratterizzato dalle due propriet` a seguenti:
(i) Se z < λ si ha x > λ per ogni x ∈ K.
(ii) Se z > λ esiste x ∈ K tale che x < λ.
Esercizio 1.5 Sia α ∈ R. Provare che:
α = sup{γ p : p ∈ α}.
Provare inoltre che se α e β sono numeri reali con α < β esiste p ∈ Q tale che α < γ p < β.
Esercizio 1.6 (Propriet` a archimedea di R) Siano x > 0, y > 0. Provare che esiste n ∈ N tale che nx > y. Dedurne che se x > 1, y > 0 esiste n ∈ N tale che x n > y.
1.4 Radici e logaritmi
D’ora in poi identificheremo p e γ p per ogni p ∈ Q. In questa sezione vogliamo applicare il concetto di estremo superiore alla definizione della radice e del logaritmo di un numero reale positivo.
Proposizione 1.7 Sia y > 0 e n ∈ N. Esiste un’unica soluzione x > 0 dell’equazione:
x n = y. (1.2)
x ` e detto la radice n-ma di y ed ` e denotato con y 1/n . Dimostrazione. Poniamo:
D = {x > 0 : x n < y}.
Osserviamo che D ` e non vuoto. Infatti x = 1+y y ∈ D dato che x n < x < y.
Inoltre D ` e limitato superiormente; ad esempio y + 1 ` e un maggiorante di D dato che se x > 1 + y si ha x n > x > y.
Poniamo ora λ = sup D e proviamo che non risulta n´ e λ n < y n´ e λ n > y cosicch` e λ n = y e λ ` e soluzione di (1.2).
Se fosse λ n < y esisterebbe ∈ R con 0 < < 1 tale che (λ + ) n < y il che contraddirebbe la definizione di estremo superiore. Per vedere che un tale esiste poniamo a = y − λ n . Allora a > 0 e, dato che
(λ + ) n ≤ λ n +
n−1
X
k=0
n k
λ k = y − a + ((λ + 1) n − λ n ),
basta scegliere tale che
((λ + 1) n − λ n ) < a.
Se fosse λ n > y esisterebbe con 0 < < 1 tale che (λ − ) n > y il che contraddirebbe la definizione di estremo superiore. Per vedere che un tale esiste poniamo a = λ n − y. Allora a > 0 e dato che
(λ − ) n ≥ λ n −
n−1
X
k=0
n k
λ k = y + a − ((λ + 1) n − λ n ),
basta scegliere tale che
((λ + 1) n − λ n ) < a.
Si ` e quindi provato che esiste una soluzione di (1.2). Infine l’unicit` a segue dal fatto che (la cui semplice verifica ` e lasciata al lettore):
x < x 1 ⇒ x n < x n 1 .
Per ogni numero razionale positivo q = m n e per ogni y ∈ R + definiamo y q = (y 1/n ) m .
Si verifica facilmente che
y p+q = y p y q per ogni y > 0, p, q ∈ R + .
Esercizio 1.8 Sia x, y > 0. Posto:
K = {q > 0, q ∈ Q : x q < y},
provare che K ` e non vuoto e limitato superiormente. Definire x y = sup K.
Provare che se z > 0 risulta:
x y x z = x y+z .
Passiamo ora alla definizione del logaritmo.
Proposizione 1.9 Sia y > 0 e a > 1 (risp. 0 < a < 1). Esiste un’unica soluzione x > 0 dell’equazione:
a x = y. (1.3)
x ` e detto il logaritmo di y in base a ed ` e denotato con log a y.
Dimostrazione. Poniamo:
E = {x ∈ R : a x < y}.
E ` e non vuoto dato che esiste n ∈ N tale che a −n < y; inoltre E ` e limitato superiormente dato che esiste n ∈ N tale che a n > y (vedi Esercizio 1.6).
Poniamo ora λ = sup E e proviamo che non risulta n´ e a λ < y n´ e a λ > y cosicch` e a λ = y e λ ` e soluzione di (1.3).
Se fosse a λ < y esisterebbe n ∈ N tale che a λ+1/n < y il che contraddirebbe la definizione di estremo superiore. Per vedere che un tale n esiste poniamo a λ = κy. Allora 0 < κ < 1 e, per ogni n ∈ N risulta
a λ+1/n = a λ a 1/n = yκa 1/n . Basta quindi scegliere n in modo che a 1/n < κ 1 .
Se fosse a λ > y esisterebbe n ∈ N tale che a λ+1/n < y il che contraddirebbe la definizione di estremo superiore. Per vedere che un tale n esiste poniamo a λ = κy. Allora 0 < κ < 1 e, per ogni n ∈ N risulta
a λ+1/n = a λ a 1/n = yκa 1/n . Basta quindi scegliere n in modo che a 1/n < κ 1 .
L’unicit` a segue dall’implicazione (la cui semplice verifica ` e lasciata al lettore):
x 1 < x 2 ⇒ a x
1< a x
2.
Si verifica facimente che per ogni y, z ∈ R + si ha:
log a (yz) = log a y + log a z.
Successioni di numeri reali
2.1 Definizione di limite
Una successione (di numeri reali) ` e un’applicazione:
N → R, n 7→ a n ;
la indicheremo con il simbolo (a n ) n∈N o pi` u brevemente con (a n ).
Data una successione (a n ) siamo interessati al comportamento di a n quando n diventa sempre pi` u grande (n → ∞). Un primo caso importante si ha quando a n si “avvicina” sempre pi` u a un numero l al crescere di n. Pi` u precisamente diamo la seguente definizione.
Definizione 2.1 Sia (a n ) una successione e sia l ∈ R. Si dice che (a n ) tende (o converge) a l e si scrive
n→∞ lim a n = l, oppure a n → l, se per ogni > 0 esiste n ∈ N tale che
|a n − l| < per ogni n > n , (2.1) Si dice anche che l ` e il limite di (a n ).
Evidentemente la (2.1) equivale a
l − < a n < l + per ogni n > n .
9
Data una successione (a n ) useremo la convenzione seguente: diremo che una propiet` a π vale definitivamente per (a n ) se esiste n 0 ∈ N tale che π vale per tutti gli n ∈ N maggiori di n 0 .
Con questa convenzione a n → l se e solo se per ogni > 0 risulta defini- tivamente |a n − l| < .
Esempio 2.2 Sia a n = n+1 n , n ∈ N. Si ha allora:
n→∞ lim a n = 1.
Infatti, dato > 0, essendo
|a n − 1| =
n n + 1 − 1
= 1 n ,
risulta |a n − 1| < se n > 1 . Quindi basta scegliere per n il pi` u piccolo intero maggiore di 1 .
Proviamo ora l’unicit` a del limite.
Proposizione 2.3 Una successione (a n ) ha al pi` u un limite.
Dimostrazione. Supponiamo che
n→∞ lim a n = l, lim
n→∞ a n = l 1 .
Vogliamo provare che l = l 1 . Dato > 0 esiste n ∈ N tale che
|a n − l| < per ogni n > n e n 0 ∈ N tale che
|a n − l 1 | < per ogni n > n 0 . Poniamo
n 00 = max{n , n 0 }.
Allora se n > n 00 si ha per la disuguaglianza triangolare
|l − l 1 | ≤ |a n − l| + |a n − l 1 | < 2.
Quindi l = l 1 per l’arbitrariet` a di .
Esempio 2.4 Per ogni α > 0 risulta:
n→∞ lim n −α = 0.
Infatti, dato > 0 la condizione n −α < equivale a n < 1
αquindi basta scegliere n > 1
α.
Esempio 2.5 Per ogni x > 0 si ha:
n→∞ lim x 1/n = 1.
La cosa ` e ovvia se x = 1. Supponiamo x > 1 e poniamo y n = x 1/n − 1.
Si ha y n > 0 e inoltre:
x = (1 + y n ) n ≥ 1 + ny n . Ne segue
y n ≤ x − 1 n , cosicch´ e:
|x 1/n − 1| < , ∀ n > n > n , pur di prendere n > x−1 .
Il caso x < 1 si tratta analogamente.
Esempio 2.6 Si ha:
n→∞ lim n 1/n = 1.
Poniamo infatti
x n = n 1/n − 1 che implica
n = (1 + x n ) n ≥ n(n − 1) 2 x 2 n , da cui
x n ≤
r 2
n − 1 → 0.
Quindi si ha:
|n 1/n − 1| < , ∀ n > n > n ,
se n > n > 1 + 2
2.
2.2 Successioni limitate e monotone
Si dice che (a n ) ` e limitata inferiormente o superiormente o che ` e limitata se tale ` e l’insieme
{a n : n ∈ N}.
Proposizione 2.7 Sia (a n ) una successione convergente. Allora (a n ) ` e limi- tata.
Dimostrazione. Sia a n → l e sia n 1 ∈ N tale che l − 1 < a n < l + 1 per ogni n > n 1 . Si ha allora
a n < max{a 1 , a 2 , ..., a n
1, l + 1}, a n > min{a 1 , a 2 , ..., a n
1, l − 1}.
Quindi (a n ) ` e limitata.
Si dice che (a n ) ` e crescente (risp. decrescente) se a n ≤ a n+1 (risp. a n ≥ a n+1 ) per ogni n ∈ N. Se poi a n < a n+1 (risp. a n > a n+1 ) per ogni n ∈ N si dice che (a n ) n∈N ` e strettamente crescente (risp. strettamente decre- scente). Una successione crescente o decrescente ` e detta monotona.
Proposizione 2.8 Sia (a n ) una successione crescente (risp. decrescente) e limitata superiormente (risp. inferiormente). Allora risulta:
n→∞ lim a n = sup
n∈N
a n (risp. lim
n→∞ a n = inf
n∈N a n ).
Dimostrazione. Supponiamo che (a n ) sia crescente e limitata superior- mente e sia
l := sup
n∈N
a n .
Per definizione di estremo superiore per ogni > 0 esiste n ∈ N tale che a n
> l − . Dato che la successione (a n ) ` e crescente ne segue che
a n > l − per ogni n > n . Ci` o implica
|a n − l| < per ogni n > n , essendo ovviamente
a n < l + per ogni n ∈ N.
2.3 Operazioni con i limiti
Proposizione 2.9 Sia a n → l, b n → m. Allora (i) a n + b n → l + m.
(ii) a n b n → lm.
Dimostrazione. Per ogni > 0 esistono n , n 0 ∈ N tali che
|a n − l| < /2 per ogni n > n , |b n − l| < /2 per ogni n > n 0 . Sia n 00 = max{n , n 0 } allora per la disuguaglianza triangolare si ha:
|a n + b n − l − m| ≤ |a n − l| + |b n − m| < per ogni n > n 00 .
Quindi a n + b n → l + m e (i) `e provata. Proviamo (ii). Cominciamo con l’osservare che grazie alla Proposizione 2.7 esiste M > 0 tale che
|a n | + |b n | ≤ M, per ogni n ∈ N.
Se n > n 00 si ha quindi:
|a n b n − lm| ≤ |a n b n − lb n | + |lb n − lm| = |b n ||a n − l| + |l||b n − m| ≤ (M + |l|), da cui (ii).
Esercizio 2.10 Sia a n → l, b n → m, b n 6= 0 per ogni n ∈ N e m 6= 0.
Provare che a b
nn
→ m l .
Esercizio 2.11 Sia a n → l e sia K ∈ R tale che a n < K. Provare che l ≤ K.
2.4 Punti limite di una successione limitata.
Limiti superiore e inferiore
Sia (a n ) una successione limitata. Per studiarne il comportarmento asin- totico, per n → ∞ (anche quando la successione non ha limite) ` e opportuno introdurre i concetti di punto limite e sottosuccessione di (a n ).
Diremo che λ ∈ R `e un punto limite di (a n ) se per ogni > 0 esistono infiniti indici n ∈ N tali che
|a n − λ| < .
Sia λ un punto limite di (a n ). Allora per ogni k ∈ N esiste n k ∈ N tale che a n
k< a n
k+1e
|a n
k− λ| < 1 k .
La successione (a n
k) k∈N ` e detta una sottosuccessione di (a n ) n∈N (1) . Ne segue che
lim
k→∞ a n
k= λ.
In generale λ ` e un punto limite di (a n ) se e solo se esiste una sottosuccessione di (a n ) convergente a λ. Ne segue in particolare che se a n → l allora l `e l’unico punto limite di (a n ).
Esempio 2.12 Sia (2) :
a n = sin
nπ 2
, n ∈ N.
Si ha allora:
a 2k = sin(kπ) = 0, k ∈ N, a 4k+1 = sin
2kπ + π 2
= 1, k ∈ N
a 4k−1 = sin
2kπ − π 2
= −1, k ∈ N.
Quindi 0, 1, −1 sono punti limite di (a n ).
Fissiamo ora una successione limitata (a n ). Indichiamo con Σ l’insieme dei suoi punti limite. Vogliamo provare che Σ ` e non vuoto e dotato di massimo e minimo.
Per questo ` e utile introdurre i concetti di limite superiore e inferiore.
Cominciamo con la definizione del limite superiore. Poniamo:
b 1 = sup
n≥1
a n , b 2 = sup
n≥2
a n , ..., b k = sup
n≥k
a n , ...
(1) In generale una sottosuccessione di (a n ) n∈N ` e una successione (a n
k) k∈N tale che (n k ) k∈N
` e una successione di numeri naturali strettamente crescente.
(2) In effetti non abbiamo ancora definito il seno di un numero reale. Ci` o sar` a fatto in
seguito nel capitolo sulle serie di funzioni.
E chiaro che (b ` n ) ` e una successione decrescente. Quindi dalla Proposizione 2.8 segue che esiste il limite
lim
k→∞ b k =: l 00 .
l 00 ` e detto il limite superiore di (a n ) ed ` e indicato con lim sup
n→∞
a n . Si ha quindi:
l 00 = lim sup
n→∞
a n = inf
k≥1 sup
n≥k
a n .
Esercizio 2.13 Provare che se a n → l risulta l = l 00 . Studiamo ora alcune propriet` a dell’estremo superiore.
Proposizione 2.14 Sia (a n ) limitata e sia l 00 = lim sup
n→∞
a n . Allora valgono le propiet` a seguenti.
(i) Se λ > l 00 allora (a n ) ` e definitivamente minore di λ, cio` e esiste n λ ∈ N tale che a n < λ per ogni n > n λ .
(ii) Se λ < l 00 allora (a n ) non ` e definitivamente minore di λ, cio` e per ogni k ∈ N esiste p k ∈ N tale che a p
k≥ λ.
(iii) l 00 ` e il massimo punto limite di (a n ).
Dimostrazione. (i) Sia λ > l 00 = inf k≥1 b k . Per definizione di estremo inferiore esiste k ∈ N tale che b k < λ. Ci` o implica sup n≥k a n < λ, cio` e a n < λ per ogni n > k.
(ii) Sia λ < l 00 = inf k≥1 b k . Allora si ha b k > λ per ogni k ∈ N. Quindi sup n≥k a n > λ per ogni k ∈ N cosicch´e per ogni k ∈ N esiste p k ∈ N tale che a p
k> λ.
(iii) Cominciamo con il provare che l 00 ` e un punto limite di (a n ). Dato
> 0 sappiamo da (i) che esiste n ∈ N tale che a n < l 00 + per ogni n > n . D’altra parte in virt` u di (ii) possiamo trovare un indice p n > n tale che a p
n> l 00 − . Quindi:
|l 00 − a p
n| < .
Resta da dimostrare che l 00 ` e il massimo di Σ cio` e che se µ ` e un punto limite di (a n ) risulta µ ≤ l 00 . Dato che µ ` e un punto limite esiste una sottosuccessione (a n
k) tale che a n
k→ µ. Quindi per ogni > 0 si ha che a n
k> µ − definitivamente. D’altra parte da (i) segue che a n
k< l 00 + definitivamente.
Quindi risulta µ − < l 00 + cio` e µ < l 00 + 2. Ci` o implica µ ≤ l 00 per l’arbitrariet` a di .
Passiamo ora alla definizione del limite inferiore. Poniamo:
c 1 = inf
n≥1 a n , c 2 = inf
n≥2 a n , ..., c k = inf
n≥k a n , ...
E chiaro che (c ` n ) ` e una successione crescente. Quindi dalla Proposizione 2.8 segue che esiste il limite
lim
k→∞ c k =: l 0 .
l 00 ` e detto il limite inferiore di (a n ) ed ` e indicato con lim inf
n→∞ a n . Si ha quindi:
l 0 = lim inf
n→∞ a n = sup
k≥1
inf
n≥k a n . Esercizio 2.15 Provare che se a n → l risulta l = l 0 . Studiamo ora alcune propriet` a dell’estremo inferiore.
Proposizione 2.16 Sia (a n ) limitata e sia l 0 = lim inf
n→∞ a n . Allora valgono le propiet` a seguenti.
(i) Se λ < l 0 allora (a n ) ` e definitivamente maggiore di λ, cio` e esiste n λ ∈ N tale che a n > λ per ogni n > n λ .
(ii) Se λ > l 00 allora (a n ) non ` e definitivamente maggiore di λ, cio` e per ogni k ∈ N esiste p k ∈ N tale che a p
k< λ.
(iii) l 0 ` e il minimo punto limite di (a n ).
Dimostrazione.
(i) Sia λ < l 0 = sup k≥1 c k . Per definizione di estremo superiore esiste k ∈ N tale che c k > λ. Ci` o implica inf n≥k a n > λ, cio` e a n > λ per ogni n > k.
(ii) Sia λ > l 0 = sup k≥1 c k . Allora si ha c k < λ per ogni k ∈ N. Quindi
inf n≥k a n < λ per ogni k ∈ N cosicch´e per ogni k ∈ N esiste p k ∈ N tale che
a p
k< λ.
(iii) Cominciamo con il provare che l 0 ` e un punto limite di (a n ). Dato
> 0 sappiamo da (i) che esiste n ∈ N tale che a n > l 0 − per ogni n > n . D’altra parte in virt` u di (ii) possiamo trovare un indice p n > n tale che a p
n< l 0 + . Quindi:
|l 0 − a p
n| < .
Resta da dimostrare che l 0 ` e il minimo di Σ cio` e che se µ ` e un punto limite di (a n ) risulta µ ≥ l 0 . Dato che µ ` e un punto limite esiste una sottosuccessione (a n
k) tale che a n
k→ µ. Quindi per ogni > 0 si ha che a n
k< µ + definitivamente. D’altra parte da (i) segue che a n
k> l 0 − definitivamente.
Quindi risulta l 0 − < µ + cio`e µ > l 0 − 2. Ci` o implica µ ≥ l 0 per l’arbitrariet` a di .
Corollario 2.17 Sia (a n ) una successione limitata in R. Allora a n → l se e solo se:
l = lim inf
n→∞ a n = lim sup
n→∞
a n .
Il corollario seguente ` e conseguenza immediata delle Proposizioni 2.14, 2.16.
Giocher` a un ruolo impostante nel seguito.
Corollario 2.18 Ogni successione limitata ha almeno un punto limite e quindi possiede una sottosuccessione convergente.
2.5 Criterio di Cauchy
Negli esempi visti in precedenza abbiamo dimostrato che certe successioni sono convergenti ad un limite che conoscevamo in anticipo. Vi sono tuttavia situazioni in cui non ` e possibile individuare il limite. In questo caso ` e utile il critero di Cauchy seguente.
Definizione 2.19 Si dice che una successione (a n ) in R `e di Cauchy se per ogni > 0 esiste n ∈ N tale che:
n, m ∈ N, n > n , m > n =⇒ |a n − a m | < . (2.2)
E chiaro che se a ` n → l allora (a n ) ` e di Cauchy. Infatti, dato > 0 sia n ∈ N tale che:
|a n − l| < , ∀ n > n . Allora se n, m > n si ha:
|a n − a m | ≤ |a n − l| + |a m − l| < 2, cosicch´ e (a n ) ` e di Cauchy.
Esercizio 2.20 Sia (a n ) una successione. Provare che se (a n ) ` e di Cauchy allora ` e limitata.
Teorema 2.21 Ogni successione di Cauchy ` e convergente.
Dimostrazione. Sia (a n ) una successione di Cauchy. Dall’Esercizio 2.20 sappiamo che (a n ) ` e limitata. Siano l 00 and l 0 i limiti superiore e inferiore di (a n ). Basta provare che l 0 = l 00 (per il Corollario 2.17). Dato > 0 sia n ∈ N tale che valga (2.2). Dalle Proposizioni 2.14 e 2.16 sappiamo che esistono n 1 , n 2 maggiori di n tali che
|a n
1− l 0 | < , |a n
2− l 00 | < .
Ne segue
l 00 − l 0 ≤ |a n
1− l 0 | + |a n
1− a n
2| + |a n
2− l 00 | < 3, il che implica l 0 = l 00 per l’arbitrariet` a di .
2.5.1 Il numero e
Consideriamo la successione (s n ) definita da:
s n =
n
X
k=0
1
k! , n ∈ N.
Verifichiamo che (s n ) ` e di Cauchy. Si ha infatti se n > m:
s n − s m =
n
X
k=m+1
1
k! < 1 (m + 1)!
n−m−1
X
k=0
1 (m + 1) k
< 1 (m + 1)!
1
1 − m+1 1 = 1 mm! ,
(2.3)
avendo usato il fatto che per ogni b tale che 0 < b < 1 e ogni h ∈ N risulta:
1 + b + · · · + b h−1 = 1 − b h
1 − b < 1 1 − b .
Dalla (2.3) segue (s n ) ` e di Cauchy; basta prendere n > 1 . Il limite di (s n ) per n → ∞ sar` a indicato con e. e ` e detta la costante di Neper.
Proviamo che e ` e irrazionale. Ragionando come per la (2.3) si vede che 0 < e − s m < 1
mm! . (2.4)
Supponiamo per assurdo che e = p q con p, q ∈ N e poniamo in (2.4) m = q.
Si ottiene allora:
0 < (q − 1)! p − q! s q < 1 q .
Ci` o ` e assurdo dato q!s q ` e ovviamente intero, cosicch´ e (q − 1)! p − q! s q ` e intero e positivo.
Proposizione 2.22 Risulta:
n→∞ lim
1 + 1
n
n
= e.
Dimostrazione. Per ogni n ∈ N poniamo:
s n = 1 + 1 1! + 1
2! + · · · + 1 n!
e
t n =
1 + 1
n
n
.
Cominciamo con l’osservare che (t n ) ` e crescente. Per questo basta sviluppare t n con la formula del binomio di Newton scrivendo:
t n = P n k=0
n k
1
n
n−k= 1 + n 1 1
n + n 2 1
n
2+ · · · + n n 1
n
n= 1 + 1 + n(n−1) 2!n
2+ n(n−1)(n−2)
3!n
3+ · · · + n(n−1)···1 n
!n
n1 + 1 + 2! 1 1 − n 1 + 3! 1 1 − n 1
1 − 2 n + · · · + n! 1
1 − 1 n · · · 1 − n−1 n .
Infatti ` e chiaro che i primi n termini nell’analoga espressione di t n+1 sono maggiori dei corrispondenti termini di t n . ` E inoltre ovvio che risulta t n < s n per ogni n ∈ N, cosicch´e t := lim n→∞ t n ≤ e.
Resta da provare che t ≥ e. Per questo fissiamo m ∈ N, si ha allora, sempre dalla stessa espressione di t n
t n ≥ 1 + 1 + 2! 1 1 − 1 n + 3! 1 1 − n 1
1 − 2 n + · · · + m! 1
1 − n 1 · · · 1 − m−1 n . Per n → ∞ (con m fissato) si ottiene
t n ≥ 1 + 1 + 2! 1 + 3! 1 + m! 1 = s m .
Quindi t ≥ s m per ogni m e per m → ∞ si trova t ≥ e come richiesto.
2.6 Successioni illimitate
Useremo la seguente convenzione. Se K ` e un sottoinsieme di R non limitato superiormente (risp. inferiormente) diremo che l’estremo superiore (risp.
inferiore) di K ` e +∞ (risp. −∞) e scriveremo
sup K = +∞, (risp. inf K = −∞).
Definizione 2.23 Si dice che una successione (a n ) tende a +∞ e si scrive
n→∞ lim a n = +∞, oppure a n → +∞, se per ogni M > 0 esiste n M ∈ N tale che
a n > M per ogni n > n M . (2.5) In tal caso si dice anche che il limite di (a n ) ` e +∞.
Si dice che una successione (a n ) tende a −∞ e si scrive
n→∞ lim a n = −∞, oppure a n → −∞, se per ogni M > 0 esiste n M ∈ N tale che
a n < −M per ogni n > n M , (2.6)
In tal caso si dice che il limite di (a n ) ` e −∞.
Esempio 2.24 Si ha:
n→∞ lim n 2
n − 1 = +∞.
Infatti
n 2
n − 1 ≥ n > M se n > M .
2.6.1 Successioni monotone
D’ora in poi useremo la notazione seguente. Se (a n ) ` e una successione non limitata superiormente poniamo:
sup
n∈N
a n = +∞.
Se (a n ) non ` e limitata inferiormente poniamo:
inf
n∈N a n = −∞.
Esercizio 2.25 Provare che se (a n ) ` e crescente (risp. decrescente) e non limitata superiormente (resp. inferiormente) risulta:
n→∞ lim a n = +∞, lim
n→∞ a n = −∞.
2.6.2 Operazioni con i limiti
Proposizione 2.26 Sia a n → +∞, b n → +∞. Allora a n + b n → +∞.
Sia a n → −∞, b n → −∞. Allora a n + b n → −∞.
Dimostrazione. Proviamo la prima affermazione. Per ipotesi per ogni M > 0 esiste n M ∈ N tale che:
a n > M, b n > M, ∀ n > n M . Quindi:
a n + b n > M, ∀ n > n M ,
da cui la tesi.
Osservazione 2.27 (Forma indeterminata ∞ − ∞) Sia a n → +∞, b n →
−∞. Allora non si possono dare informazioni in generale sul comportamento di (a n + b n ) per n → ∞. Consideriamo infatti gli esempi seguenti.
1) Sia a n = n 3 , b n = −n 2 . Allora risulta a n → +∞, b n → −∞ e a n + b n = n 2 (n − 1) ≥ n 2 .
Quindi a n + b n → +∞.
2) Sia a n = n, b n = − √
n 2 + 1. Allora risulta a n → +∞, b n → −∞ e a n + b n = n − √
n 2 + 1 = − 1 n + √
n 2 + 1 . Quindi a n + b n → 0.
Proposizione 2.28 Sia a n → ±∞, b n → ±∞. Allora a n b n → +∞.
Sia a n → ±∞, b n → ∓∞. Allora a n b n → −∞.
Dimostrazione. Proviamo la prima affermazione. Per ipotesi per ogni M > 0 esiste n M ∈ N tale che:
a n > M, b n > M, ∀ n > n M . Quindi:
a n b n > M 2 , ∀ n > n M , da cui la tesi.
Proposizione 2.29 Sia l > 0, a n → l, b n → ±∞. Allora a n b n → ±∞.
Dimostrazione. Supponiamo che b n → +∞. Per ipotesi per ogni M > 0 esiste n M ∈ N tale che per ogni n > n M risulti:
a n > l/2, b n > M, ∀ n > n M . Quindi:
a n b n > lM, ∀ n > n M , da cui la tesi.
Osservazione 2.30 (Forma indeterminata 0 × ∞) Sia a n → 0, b n →
±∞. Allora non si possono dare informazioni sul comportamento di (a n b n ) per n → ∞ in generale.
Considerazioni analoghe si posssono fare per il comportamento del limite del quoziente a b
nn
