1. ESERCIZI sui NUMERI REALI

1. ESERCIZI sui NUMERI REALI

Determinare l’estremo superiore e inferiore, il massimo e il minimo, se esistono, dei seguenti insiemi.

1 A = {x 2 R | 2 ^2x + 2 ^x  2}

2. B = {|x| | 0  x ² 2x < 3 } 3. C = {x 2 Q | x ² x  p

2(x 1) } 4. D = { _n+1 ⁿ | n 2 N [ {0}}

5. E = { ₅ ¹

| k 2 Z}

. Risolvere gli esercizi 1-4 del libro di testo

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

6. Siano A e B sottoinsiemi limitati di R tali che A ✓ B. Allora A. sup A  sup B;

B. inf A  inf B;

C. se A 6= B allora sup A 6= sup B oppure inf A 6= inf B.

7. Sia A ⇢ R tale che inf A = 0 e sup A = 1. Allora A. 1 2 A;

B. esiste a 2 A tale che 0 < a < ¹ ₂ ; C. esiste a 2 A tale che a > ¹ ₂ .

8. Se A ⇢ R `e insieme non vuoto e limitato, allora A. A ammette massimo e minimo;

B. se inf A = sup A allora A `e costituito da un unico punto;

C. se inf A 62 A allora A contiene infiniti punti.

Utilizzando il Principio di induzione, provare le seguenti propriet` a.

9. Per ogni n 2 N il numero n ³ n + 6 `e un multiplo di 3.

10. Per ogni n 2 N si ha

X n k=1

k ² = n(n + 1)(2n + 1) 6

. Risolvere gli esercizi 5-8 del libro di testo

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