RICHIAMI DI GEOMETRIA APPENDICE A

APPENDICE A

RICHIAMI DI GEOMETRIA

A.1 DEFINIZIONE DI SPAZIO VETTORIALE Dato un insieme V, si dice che esso è uno spazio vettoriale ed i suoi elementi vettori se sull’insieme V sono definite le seguenti due operazioni:

1) Somma (V + V) → V;

2) Prodotto di un vettore per uno scalare (R x V) → V. Queste operazioni godono delle sottonotate proprietà:

a. u + v = v + u ∀ u, v ∈ V; b. u + (v + w)= (u + v) + w ∀ u, v, w ∈ V; c. λ(ku) = (λk) u ∀ u ∈ V, ∀ λ, k ∈ R; d. ∃ un vettore 0 detto vettore nullo : u+0=u ∀ u ∈ V; e. ∀ u ∈ V ∃ un vettore (-u) ∈ V detto opposto di u : u + (-u) = 0.

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A.2 DIMENSIONE E BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE

Dato uno spazio vettoriale V ed un insieme di suoi elementi

{ }

v_{i i}N₌₁, si dice che tali elementi sono:

a) linearmente indipendenti se e solo se:

{ }

c con c 0 N c 0 1 i i i N 1 i 2 i N N 1 i i ∈ > → ≠ ∀

∑

∑

= = = R v

b) linearmente dipendenti se e solo se:

{ }

c con c 0 : N c 0 1 i i i N 1 i 2 i N N 1 i i ∈ > = ∃

∑

∑

= = = R v

Un insieme di vettori

{ }

v_i N_i=1 ∈ V linearmente indipendenti è una base di V se e solo se:

{ }

v u u∈ ∃ ∈ = ∀

∑

= = N 1 i i i N 1 i i : c c V, _RN

I coefficienti (c1, c2, c3…. cN) sono le coordinate di u rispetto alla base

{ }

N

1 i i =

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A.3 PRODOTTO SCALARE, NORMA E DISTANZA

Dato uno spazio vettoriale V si definisce prodotto scalare un’applicazione (V x V) → R che gode delle seguenti proprietà:

i. u ,v = v ,u ∀ u, v ∈V; ii.

(

u+v

)

,w = u ,w + v ,w ∀ u, v, w ∈V; iii.

( )

λu ,v =λ u ,v ∀ u ∈V, λ ∈ R; iv. u ,u ≥0 ∀ u ∈V; v. u ,u =0 ⇔ u=0 ∀ u ∈V.

Si definisce norma di un vettore u ∈V il numero reale:

u u u = ,

Si definisce distanza fra due vettori u, v ∈V il numero reale:

v u v u, )= − ( d

La distanza fra due vettori è, quindi, un’applicazione (V x V) → R che gode delle seguenti proprietà:

1) d(u, v) = d(v, u) ∀ u, v ∈V; 2) d(u, v) ≥ 0 ∀ u, v ∈V;

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3) d(u, v) = 0 ⇔ u ≡ v ∀ u, v ∈V; 4) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v) ∀ u, v, w ∈V.

A.4 APPLICAZIONI LINEARI

Dati due spazi vettoriali V e W si dice che L: W → W è un’applicazione lineare se gode delle seguenti proprietà:

1) L(u + v) = L(u) + L(v) ∀ u, v ∈V; 2) L(λu) = λ L(u) ∀ u ∈V, λ ∈ R.

Le proprietà sopra enunciate possono essere riassunte con un’unica espressione:

L(λu + kv) = λ L(u) + k L(v) ∀ u, v ∈V, λ, k ∈ R. Conseguenza diretta della definizione di applicazione lineare è: