Appendice A
Nozioni di Calcolo delle Probabilit`
a
Il calcolo delle probabilit`a si occupa dello studio e della modellazione ma-tematica dei fenomeni casuali cio`e quegli avvenimenti per i quali non pos-siamo predire empiricamente l’esito.
Definizione 1 Si dice esperimento aleatorio, ogni attivit`a o fenomeno
il cui risultato non pu`o essere previsto con certezza.
Il calcolo delle probabilit`a, dunque, riguarda lo studio degli esperimenti, come il lancio di un dado o l’estrazione di una pallina da un’urna.
Definizione di Probabilit`
a
Pu`o risultare difficile dare a priori un’esatta definizione di probabilit`a in quanto storicamente sono state date diverse interpretazioni a seconda di diverse visioni della teoria della probabilit`a. Secondo la concezione classica (detta anche probabilit`a oggettiva) si pu`o dare la seguente definizione.
Probabilit`a 1 La probabilit`a di un evento `e il rapporto tra il numero dei
casi favorevoli (ovvero quelli in cui tale evento si manifesta) e il numero dei casi possibili (a condizione che siano tutti ugualmente possibili):
P(A) = # casi f avorevoli # casi possibili
La visione classicista di probabilit`a `e caratterizzata (e limitata) dalla condizione che tutti i casi in cui pu`o verificarsi il fenomeno siano equiproba-bili e inoltre tale definizione `e applicabile solo quando l’insieme dei possiequiproba-bili risultati `e un insieme finito.
Le critiche alla definizione classica di probabilit`a hanno portato lo svilup-po della concezione frequentista, secondo la quale ha senso dare un valore di probabilit`a quando `e possibile effettuare un elevato numero di esperimenti. Eseguendo cos`ı molte prove, si pu`o dare la definizione di frequenza relativa di un evento.
Definizione 2 La frequenza relativa di un evento, realizzate n prove
nel-le medesime condizioni, `e data dal rapporto fra il numero k delnel-le prove nelnel-le quali si `e manifestato l’evento e il numero n delle prove effettuate
f = k n
La frequenza di un evento, per`o, non dipende solo dal numero n delle prove fatte, ma pu`o variare a seconda del gruppo delle prove. Si pensi, per
esempio, al lancio, ripetuto 100 volte, di una moneta, osservando il numero di volte in cui si presenta testa. In un primo gruppo di esperimenti, l’evento pu`o verificarsi 52 volte, mentre in un secondo gruppo si manifesta 46. Ne consegue che la frequenza nel primo caso vale 10052, mentre
46
100 nel secondo.
La frequenza `e un valore conpreso tra 0 e 1, ma se f = 0 o f = 1 non si pu`o affermare che l’evento sia impossibile o che sia certo.
Si pu`o appurare che se il numero di prove `e sufficientemente alto, il rapporto k
n tende a stabilizzarsi.
Definizione 3 Legge Empirica del Caso: in una serie di prove, ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento tende ad assumere valori prossimi alla probabilit`a dell’evento stesso. Questa legge ci permette di formulare la definizione frequentista di proba-bilit`a.
Probabilit`a 2 La probabilit`a di un evento `e la frequenza relativa in un
numero sufficientemente elevato di prove.
In molti casi le definizioni di sopra possono non essere soddisfacenti. Per alcuni eventi non `e possibile infatti dare una valutazione n´e secondo la concezione classicista, poich´e non si `e in grado di determinare i casi favorevoli e quelli possibili, n´e secondo la concezione frequentista, perch`e gli eventi non sono ripetibili. Eventi di questo tipo sono molti, ad esempio nel caso di voler calcolare la probabilit`a che un nuovo modello di telefono cellulare
possa incontrare il favore del pubblico. Si parla in questi casi di probabilit`a soggettiva (o personale), basata sullo stato di informazione.
Probabilit`a 3 La probabilit`a di un evento `e la stima del grado di fiducia
che un individuo attribuisce, in base alle sue informazioni e opinioni, al verificarsi dell’evento stesso.
`
E importante ricordare che le valutazioni di probabilit`a sono soggettive e possono, quindi, cambiare a seconda dell’individuo. Per quanto tale de-finizione di probabilit`a soggettiva appaia incerta e arbitraria, vale la pena sottolineare che proprio questa `e la definizione a cui ricorriamo pi`u spesso nelle considerazioni quotidiane.
Spazio Campionario ed Eventi
Di seguito faremo riferimento ad una diversa definizione di probabilit`a che segue l’impostazione assiomatica proposta nei primi anni ’30 da Andrey Nikolaevich Kolmogorov. Secondo l’impostazione assiomatica si `e giunti alla concezione di un calcolo delle probabilit`a mediante un sistema di assiomi. In questa visione, ad ogni esperimento, reale o concettuale, si pu`o associare un insieme Ω, detto spazio campionario.
Definizione 4 Si definisce spazio campionario, o spazio fondamentale,
Gli elementi di Ω sono chiamati eventi elementari e sono solitamente rappresentati in questo modo: {ω1, . . . , ωn}.
Definizione 5 Se lo spazio campionario Ω `e numerabile (finito o infinito),
si dice evento connesso ad un esperimento aleatorio, ogni sottoinsieme E di Ω.
L’evento `e quindi un sottoinsieme di Ω, E ⊆ Ω. La corrispondenza tra eventi e sottoinsiemi di Ω permette di effettuare le operazioni insiemistiche di unione (∪), intersezione (∩) e passaggio al complementare. Se A e B sono sottoinsiemi di Ω corrispondenti a due eventi, il significato delle operazioni `e il seguente:
• A ∩ B corrisponde all’evento: “i due eventi si verificano entrambi”; • A ∪ B identifica l’evento: “almeno uno dei due eventi si verifica”; • Ac coincide con l’evento: “l’evento A non si verifica”.
In quest’ottica si avr`a che:
• l’insieme Ω `e associato all’evento certo, quello cio`e che di sicuro si verifica;
• l’insieme ∅ sar`a l’evento impossibile, quello che indiscutibilmente non si verifica;
• se A e B sono due eventi e si realizza che A ∩ B = ∅, allora gli eventi A e B sono detti incompatibili o disgiunti.
Definizione 6 Si dice sistema di alternative di Ω, un insieme di eventi
Ai con i = 1, . . . , n tali che
1. ∪n
i=1Ai= Ω e
2. Ai∩ Aj = ∅ ∀i 6= j
Si noti che un sistema di alternative, con eventi a due a due incompatibili, forma una partizione di Ω.
Una valutazione di probabilit`a sar`a un’applicazione P che associa ad ogni evento un numero reale che sar`a tanto pi`u grande quanto pi`u l’evento sar`a probabile.
Definizione 7 Se lo spazio Ω `e un insieme numerabile, si definisce
proba-bilit`a ogni funzione P definita sulle parti di Ω, P(Ω), a valori in [0, 1] del tipo:
P : P(Ω) → [0, 1]
che soddisfi le seguenti propriet`a
1. se A e B sono due eventi disgiunti, A ∩ B = ∅ allora
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(Ai∩ Aj = ∅ con i 6= j), allora P( ∞ [ n=1 An) = ∞ X n=1 P(An) 3. P(Ω) = 1
Valgono inoltre le seguenti propriet`a: • P(∅) = 0
• se Ac `e il complementare dell’evento A, allora vale P(Ac) = 1 − P(A)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) • A ∪ Ac= Ω
Probabilit`
a Condizionale
Definizione 8 Sia B un evento tale che P(B) > 0 (non trascurabile), si
chiama probabilit`a di A condizionata a B (detta anche “probabilit`a di Adato B”)
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B) (1)
Intuitivamente la probabilit`a condizionale P(A|B) `e la probabilit`a che l’evento A si verifichi sapendo che l’evento B si `e realizzato. Di conseguenza `e immediato ricavare
Definizione 9 Principio delle Probabilit`a Composte: si definisce una chain rule, l’intersezione di n eventi
P(A1∩ A2∩ . . . ∩ An) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A2∩ A1) . . . P(An| ∩n−1i=1 Ai)
Prima di introdurre un importante teorema, vediamo il Teorema delle Probabilit`a Totali che ci sar`a utile in seguito.
Teorema 1 Teorema delle Probabilit`a Totali: siano Aicon i = 1, . . . , n
eventi che formano un sistema di alternative di Ω, allora per ogni evento B tale che P(B) > 0 si avr`a che
P(B) =
n
X
i=1
P(B|Ai) P(Ai) (3)
La definizione di probabilit`a condizionata permette la determinazione del seguente fondamentale.
Teorema 2 Legge di Bayes: siano A e B due eventi non trascurabili (P(A) > 0, P(B) > 0), allora
P(B|A) = P(A|B) P(B)
Per comprendere la Legge di Bayes, si provi ad invertire, nell’equazione (2), gli eventi A e B, ottenendo cos`ı:
P(B ∩ A) = P(B|A) P(A) (5)
Poich´e insiemisticamente A ∩ B = B ∩ A, dovrebbe essere ovvio che P(A ∩ B) e P(B ∩ A) sono la stessa cosa, e quindi si possono uguagliare le equazioni (2) e (5):
P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) (6)
da cui si ottiene la formula di Bayes in (4).
In generale, siano gli eventi A1, . . . , An un sistema di alternative di Ω e
sia B un evento con P(B) > 0. Vale allora la formula di Bayes
P(Ai|B) = P(B|A i) P(Ai) P(B) = P(B|Ai) P(Ai) Pn k=1P(B|Ak) P(Ak) (7)
L’equazione (7) si pu`o verificare facilmente dato il Teorema delle Pro-babilit`a Totali e dato che
e inoltre, poich´e gli eventi Ai∩ B, . . . , An∩ B sono disgiunti e la loro unione
`e uguale a B, si ottiene
P(Ai|B) = P(Ai
∩ B)
P(B) (9)
Sostituendo nell’equazione (9) i valori visti in (3) e in (8) si ottiene l’equa-zione in (7).
Indipendenza
Definizione 10 Due eventi, A e B si dicono indipendenti, ovvero non si
influenzano, se e solo se
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Deduciamo che l’evento A `e indipendente dall’evento B se la realizzazione di B non modifica la probabilit`a di realizzazione di A. Dunque, se P(A) > 0 e P(B) > 0, valgono le sequenti equazioni:
