CONFRONTO TRA RISULTATI TEORICI E
SPERIMENTALI
4.1. Introduzione
Il raffronto tra i dati calcolati attraverso il calcolatore e quelli misurati sperimentalmente rappresenta un momento di verifica essenziale per testare l’affidabilità sia dei programmi disponibili che delle sonde utilizzate. Questo confronto è stato svolto nel caso estremamente semplice di una provetta di materiale ferromagnetico (la scelta è ricaduta sul ferro ARMCO in quanto molto usato per applicazioni spaziali) collegata attraverso 42 avvolgimenti ad un filo di rame, nel quale è stata fatta circolare una corrente di 5 A; dopodichè attraverso una sonda si sono misurate le componenti assiale e radiale del campo magnetico in 24 punti equidistanti delle linee L1 e V1 (figura 4.7), appositamente scelte nelle zone dove più interessava avere dei risultati affidabili. Successivamente si sono ricreate al calcolatore delle situazioni perfettamente analoghe a quella realmente misurata, per vedere se e in che misura i risultati corrispondessero. Nei successivi paragrafi sono riportati le particolarità ed i risultati dei quattro programmi presi in considerazione: Ansys 8.0, Comsol Multiphysics 3.2, Femm 4.0 e Maxwell V10.
4.2. Calcolo con Ansys 8.0
Il programma Ansys 8.0 consente di risolvere il problema della determinazione del campo magnetico mediante il metodo degli elementi finiti in termini del vettore
Figura 4.1: Geometria utilizzata per l’analisi magnetica del provino; in rosso è indicato l’ambiente
esterno, in celeste il provino ed in viola l’avvolgimento, Ansys 8.0
potenziale A (essendo B=rot A) per problemi di svariate geometrie, nel nostro caso bidimensionale assialsimmetrica; oltre al disegno della geometria (figura 4.1) la prima fase della programmazione ha previsto la scelta degli elementi, che è ricaduta su:
− plane53: elemento bidimensionale con 8 nodi e 4 gradi di libertà per ciascun nodo, configurabile come piano o assialsimmetrico;
− inf110: elemento bidimensionale con 8 nodi e 1 grado di libertà per ciascun nodo.
I dati necessari per il settaggio delle proprietà dei materiali riguardano esclusivamente la permeabilità magnetica: si è scelto un valore di
µ
r = per l’aria e 1 per il rame, mentre per quanto riguarda il ferro ARMCO si è preferito utilizzare una delle curve B-H fornite dai produttori, in particolare quella relativa al caso di materiale lavorato alle macchine utensili. Tale curva, riportata in figura 4.2, è stata inserita nel programma punto per punto.I successivi dati da inserire erano rappresentati dai carichi e dalle condizioni al contorno; per quanto riguarda i primi l’unico valore era l’intensità della corrente nella bobina, che però questo programma è in grado di ricevere solo come densità. Il calcolo di questa grandezza è stato immediato:
Nella quale J è appunto la densità di corrente, I =5Aè l’intensità di corrente per ogni spira, n=42 è il numero di spire intorno alla provetta e As = ⋅ =b h 0.0003m2è l’area della sezione dell’avvolgimento, dove b=5mm e h=60mm sono rispettivamente base ed altezza. Circa le condizioni al contorno, sull’asse di simmetria si è imposta la condizione di linee di campo parallele al bordo, mentre negli altri lati, scelti sufficientemente lontani dal provino in modo da valutare il campo in modo ampio, si è imposto che il potenziale si annulli all’infinito, tramite l’elemento inf110, appositamente creato; la soluzione del campo è stata poi ottenuta utilizzando una grigliatura mappata (figura 4.3) dei vari elementi, generata dal programma e formata da elementi di tipo plane53, di forma quadrata e lato pari ad un millimetro. 2 700000 s I n A J A m ⋅ = =
Figura 4.3: Modello agli elementi finiti utilizzato per l’analisi magnetica del provino, Ansys 8.0
I risultati di questa analisi sono riportati nel paragrafo di confronto con gli altri programmi; qui ci si limita a mostrare in figura 4.4 l’andamento delle linee di flusso intorno al provino. Un’ultima annotazione su questo programma riguarda la possibilità di inserire durante le definizioni dei materiali la forza coercitiva, considerando così il ciclo di isteresi nel caso in cui il carico non sia applicato per la prima volta.
4.3. Calcolo con Comsol Multiphysics 3.2
Anche il programma Comsol Multiphysics 3.2 consente la risoluzione del problema magnetico tramite il metodo degli elementi finiti; l’inserimento dei dati risulta leggermente più complicato. Una volta creata la geometria di base, la seconda fase della programmazione riguarda i settaggi per i sottodomini: si creano i materiali con
1 r
µ
= per aria e avvolgimento, mentre il valore diµ
rdel ferro ARMCO, non esistendo la possibilità di inserire la curva B-H, si è proceduto ricavando tramite un programma Matlab l’andamento della permeabilità magnetica in funzione dell’intensità del campo magnetico, sfruttando la relazione tra flusso e intensità del campo magnetico scelta, B=µ µ
0 rH (che trascura magnetizzazione e densità di flusso rimanente) e si è inserita come funzione mi_rel(H) tra le proprietà di tale materiale; un altro fattore da settare è la densità di corrente, calcolata come già visto precedentemente; considerando che l’area totale della sezione vale As =0.0003 e che I =42 5⋅ A, si ricava immediatamente2 700000 tot I A J A m = = .
Una particolarità di questo programma è che il dato non utilizzato fin’ora viene inserito nella variabile , cioè la caduta di potenziale per ogni giro dell’avvolgimento, che può essere facilmente ricavata come rapporto tra potenza generata e corrente circolante in ciascun filo per numero dei fili; quindi essendo
2 2 joule c l P R I I A ρ = ⋅ = ⋅ ⋅
le cui quantità incognite sono facilmente valutabili, essendo noto che per il rame
1.7 cm 0.017 m
ρ= µΩ ⋅ = µΩ ⋅ ad una temperatura di lavoro vicina a quella ambiente, Ac =7.143 10⋅ −6m2perché la sezione di ogni filo è data dalla sezione totale, già precedentemente calcolata, divisa per il numero di sezioni di fili presenti, che è n=42; la lunghezza del filo, detti Rmed il raggio medio dei ogni avvolgimento ed n il numero di spire è data da
(0.015 0.010)
2 2 42 3.299
2 med
l = π⋅R ⋅ =n π⋅ + ⋅ = m;
l’intensità di corrente è di I =5A; tutto ciò porta ad un valore della potenza di 0.196 joule P = W. Dunque 0.196 0.000022 (5 42) 42 joule tot loop P V V V n I n = = = = ⋅ ⋅ ⋅ . loop V
Figura 4.5: Modello agli elementi finiti utilizzato per l’analisi magnetica del provino, Comsol
Multiphysics 3.2
Figura 4.7: Modello agli elementi finiti utilizzato per l’analisi magnetica del provino, Femm 4.0
L’ultima parte di inserimento dei dati riguarda i settaggi per il contorno, ovvero la condizione di simmetria assiale nei lati coincidenti con r= , quella di continuità 0 tra i lati di confine dei vari elementi interni a contatto e quella di potenziale nullo lungo le semicirconferenze dell’area che rappresenta l’aria, poichè considerate infinitamente lontane dal provino.
Per la soluzione si è scelta una mesciatura libera con elementi di dimensione lineare minore di un millimetro (figura 4.5) e un solutore lineare diretto di tipo UMFPACK, idoneo per analisi di tipo statico. L’andamento del flusso di campo magnetico è riportato in figura 4.6, mentre i risultati sono riportati nel paragrafo di confronto.
4.4. Calcolo attraverso Femm 4.0
Anche il programma Femm 4.0 consente la risoluzione del problema magnetico tramite il metodo degli elementi finiti; anche qui dopo il disegno della geometria è prevista la definizione dei materiali: posti i soliti µr = per rame ed aria, per il ferro 1 ARMCO è possibile costruire la curva B-H punto per punto; si inseriscono poi separatamente l’intensità della corrente del circuito e il numero di giri intorno al provino; è stata creata quindi una mesciatura libera, come mostrato in figura 4.7, e si è risolto: l’andamento del flusso magnetico è riportato in figura 4.8.
4.5. Calcolo attraverso Maxwell V10
Analogamente ai precedenti, il programma Maxwell V10 consente la risoluzione del problema magnetico tramite il metodo degli elementi finiti; la particolarità di questo programma è la suddivisione in passi progressivi che consentono una facilità di uso superiore a qualsiasi altro programma del genere: dopo il disegno della geometria è prevista l’assegnazione dei materiali, di cui è richiesta solamente la permeabilità relativa, inseribile anche qui tramite una curva B-H tracciabile per punti; il terzo passo richiesto è la definizione dei carichi e delle condizioni al contorno: la corrente può essere imposta sia come intensità complessiva che come densità, intesa semplicemente come intensità divisa per l’area di applicazione; le condizioni al bordo sono specificate come potenziale nullo nella semicirconferenza
considerata a distanza infinita e la simmetria assiale, già impostata all’inizio del problema, sui segmenti dell’asse caratterizzato dar= ; per quanto riguarda il passo 0 della mesciatura, essa viene creata libera automaticamente ed è raffinabile in punti, segmenti o aree tracciate a piacimento; in figura 4.9 è riportata la mesciatura eseguita in questo caso.
Figura 4.9: Modello agli elementi finiti utilizzato per l’analisi magnetica del provino, Maxwell V10
Fatto ciò il problema è pronto per essere risolto, dopodichè si può entrare nella fase di post-processamento per vedere l’andamento delle linee di flusso, riportato in figura 4.10, e i risultati lungo le linee L1 e V1, riportati in fondo con quelli degli altri programmi.
Figura 4.10: Andamento delle linee di flusso nella zona del provino, Maxwell V10
4.6. Risultati sperimentali
Dopo aver realizzato i 42 avvolgimenti ed aver collegato i fili elettrici ad un alimentatore in grado di fornire corrente ad una intensità di 5 A, il provino è stato sistemato nel mezzo della piastra [16], dove sono stati presi i riferimenti necessari per iniziare le misure ed è stato lasciato per 5 minuti per far si che si stabilizzasse la sua temperatura.
Nella figura 4.11 è mostrato l’apparato di prova durante una fase dell’acquisizione dei dati svolta sul provino in ferro.
La prima operazione è stata quella di muoversi sui percorsi scelti durante l’analisi teorica simulata. Quindi in accordo con le analisi dei quattro programmi scelti le misurazioni sono state effettuate su due linee, una ortogonale ed una parallela all’asse del provino, denominate rispettivamente L1 e V1, come mostrato in figura 4.7.
Sono state così effettuate le misurazioni con l’aiuto dell’interfaccia di acquisizione Labview, muovendo le sonde sulle linee sopraindicate con passo di 2 millimetri. Le componenti del campo magnetico sono state registrate punto per punto insieme con le coordinate della posizione in un foglio di lavoro Excel.
4.7. Confronto tra risultati teorici e sperimentali
Avendo misurato sia analiticamente con i quattro programmi scelti che sperimentalmente i valori del flusso di campo magnetico lungo le linee L1 e V1, ed avendo salvato tutti i risultati in fogli Excel separati, è ora possibile operare un confronto tra i risultati così ottenuti; ciò è stato eseguito attraverso l’implementazione di un programma Matlab in grado di leggere tali valori e plottare gli andamenti del flusso di campo magnetico, rispettivamente assiale lungo la linea L1, radiale lungo L1, assiale lungo V1 e radiale lungo V1, in quattro diversi grafici in modo da essere confrontabili tra loro e con i dati sperimentali. Tale programma è riportato insieme ai valori dei flussi di campo magnetico in appendice A. Qui si riportano invece i suddetti grafici di confronto:
Figura 4.12: Andamento della componente assiale del flusso di campo magnetico sulla curva L1.
Figura 4.14: Andamento della componente assiale del flusso di campo magnetico sulla curva V1
4.8. Conclusioni
Dai suddetti grafici sono immediate alcune considerazioni. La prima cosa che salta all’occhio è la grande coerenza tra i quattro programmi scelti: i risultati sono praticamente identici, salvo fluttuazioni di un ordine di grandezza inferiore rispetto ai valori del flusso di campo magnetico; questo nonostante il fatto che i programmi non richiedano esattamente gli stessi dati in ingresso. Se ne deduce che il dato fondamentale è rappresentato dalla permeabilità magnetica del ferro ARMCO, oltre naturalmente alla geometria: i dati richiesti solo da alcuni programmi, come isteresi magnetica, potenza dissipata e caduta di potenziale per ogni giro, hanno quindi un peso di un ordine di grandezza inferiore rispetto ai dati principali. Tale coerenza è spiegabile soprattutto con la semplicità del problema trattato e in particolare della geometria: in casi più complessi subentrano fattori secondari che creano differenze anche notevoli tra i metodi di soluzione.
La seconda osservazione riguarda la differenza tra dati teorici e sperimentali: nonostante la forma della curva sia più o meno la stessa, è chiaramente visibile dalla figura 4.12 una netta differenza tra il modulo della componente assiale del flusso di campo magnetico della linea L1 ricavato al calcolatore e quello misurato con la sonda, essendo quest’ultimo cinque volte più piccolo del primo. Il motivo principale di tale discrepanza è da attribuirsi ad errori durante la misurazione, poiché non vi è alcun valido motivo per il quale solamente questa componente debba essere nettamente inferiore alle attese; infatti per quanto riguarda le componenti radiali del flusso di campo magnetico delle linee L1 e V1, visibili nelle figure 4.13 e 4.15, i risultati dei programmi sono perfettamente in linea con le attese, con un errore trascurabile nella prima curva e compreso tra il 3% e il 10% al ribasso nella seconda curva; anche per la componente assiale su V1 i risultati non sono del tutto precisi avendo un errore massimo del 50% e una forma della curva non perfettamente coincidente con quella che ci si aspettava.
In chiusura di questo capitolo si riportano in tabella 4.1 alcune considerazioni sui quattro programmi utilizzati, in modo da caratterizzarli in modo più preciso.
P o ss ib il it à d i an al is i tr id im en si o n al e In te ra zi o n e co n a lt ri f en o m en i fi si ci S im u la zi o n e d i sp az io i n fi n it o In se ri m en to d ir et to d i cu rv e B -H C ic lo d i is te re si m ag n et ic a C re az io n e d i m es ci at u ra m ap p at a In se ri m en to i n te n si tà c o rr en te In se ri m en to d en si tà c rr en te In se ri m en to d el la r es is ti v it à S em p li ci tà d i u ti li zz o Q u al it à d el p lo tt ag g io P re ci si o n e e co er en za d ei r is u lt at i A ff id ab il it à p er g eo m et ri e co m p le ss e Ansys 8.0 sì sì sì sì sì sì no sì no no sì sì no Comsol Multiphysics 3.2 sì sì no no no no no sì sì no no no sì Femm 4.0 no no no sì no no sì no no sì sì sì sì Maxwell V10 sì no no sì no no sì sì no sì sì no sì
