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Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria

CdL Ingegneria Meccanica II Prova in Itinere

13 gennaio 2020

Prof. L. Ded`e Prof. A. Manzoni

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ISTRUZIONI

• Riportare le risposte nello spazio indicato.

• Alcuni esercizi richiedono di utilizzare MATLAB e/o la libreria FeM4MeC; per tali esercizi riportare sul foglio esclusivamente gli output richiesti.

• Utilizzare esclusivamente una penna nera o blu.

• Tempo a disposizione: 1h 30m.

SPAZIO RISERVATO AL DOCENTE

Test 1 Test 2 Esercizio 1 Esercizio 2 Totale

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Test 1

10 punti 1. (1 punto) Si consideri il seguente problema di di↵usione:

8>

>>

><

>>

:

@u

@t(x,t) = 5@²u

@x²(x,t) x2 (0,⇡), t 2 (0, + 1),

@u

@x(0,t) = @u

@x(⇡,t) = 0 t2 (0, + 1), u(x,0) = 9 7 cos(x) x2 (0,⇡).

Si calcoli il valore medio umedio(t) della soluzione u(x,t) in (0,⇡) al tempo t = 3, ovvero u_medio(3).

umedio(3) = 9

2. (1 punto) Si consideri il problema di Laplace con condizioni al contorno di Dirichlet definito nella regione ⌦ = (x,y)2 R : x²+ y²< 5 :

⇢ u(x,y) = 0 (x,y)2 ⌦,

u(x,y) = x 3 y + 3 (x,y)2 @⌦.

Si riporti il valore della soluzione u valutato in (0,0), ovvero u(0,0).

u(0,0) = 3

3. (2 punti) Si consideri il problema di Laplace con condizioni al contorno di Dirichlet definito nella regione ⌦ = (x,y)2 R : x²+ y²< 4 :

⇢ u(x,y) = 0 (x,y)2 ⌦,

u(x,y) = x + y + 7 (x,y)2 @⌦.

Si riportino i valori massimo umax e minimo umin della soluzione su ⌦.

u_max= 7 + 2p

2 = 9,828 427 u_min = 7 2p

2 = 4,171 573

4. (1 punto) Si consideri il seguente problema di Neumann per l’equazione di Laplace:

8>

>>

<

>>

>:

u(x,y) = 0 in (0,1)²

@u

@y(x,0) = ↵, @u

@y(x,1) = 10 0 < x < 1,

@u

@x(0,y) = 4, @u

@x(1,y) = 2 0 < y < 1, Per quale valore di ↵2 R tale problema ammette soluzione?

↵ = 8

(3)

5. (1 punto) Si consideri il problema di↵usione–reazione con condizioni al contorno di Neumann omogenee:

⇢ u⁰⁰(x) + 6 u(x) = f (x) x2 (0,1), u⁰(0) = u⁰(1) = 0.

Si scriva la formulazione debole del problema.

trovare u2 V := H¹(0,L) : Z 1

0

u⁰v⁰dx + 6 Z 1

0

u v dx = Z 1

0

f v dx 8v 2 V

6. (2 punti) Dato il problema ai limiti con condizioni al contorno di Dirichlet:

⇢ u⁰⁰(x) = 2 x2 (0,1),

u(0) = 4, u(1) = 0,

si consideri la sua approssimazione mediate il metodo di Galerkin–Elementi Finiti di grado 1 su una griglia con due elementi equispaziati, ovvero di dimensione h = 1

2. Si calcoli il valore della soluzione approssimata corrispondente al nodo di griglia x1= 1

2, ovvero u1. u1= 9

4 = 2,25

7. (2 punti) Si consideri il problema debole seguente:

trovare u2 V : a(u,v) = F (v) per ogni v 2 V,

dove V è un opportuno spazio di Hilbert definito su ⌦ = (0,L), a : V ⇥ V ! R è una forma bilineare, continua e coerciva, mentre F : V ! R è un funzionale continuo. Si consideri ora la sua approssimazione mediante il metodo degli Elementi Finiti di grado r = 2 su una griglia con elementi di ampiezza h₁ = 1/10, cui corrisponde la soluzione approssimata u_h₁ 2 Vh1 = V \ Xh²1(⌦). Sapendo che u 2 V \ H⁶(⌦) e che ku u_h₁kH¹(⌦) = 4· 10 ⁵, si stimi e si riporti l’erroreku uh2kH¹(⌦)associato all’approssimazione u_h₂ 2 Vh2 = V \Xh²2(⌦) sempre con Elementi Finiti di grado r = 2, ma su una griglia di ampiezza h2= h1/2 = 1/20.

ku u_h₂kH¹(⌦) = 10 ⁵

Test 2 — solo per studenti con corso avente codice 086214 (10 CFU)

2 punti 1. (2 punti) Si consideri il seguente problema di di↵usione nel semi–piano:

8<

:

@u

@t(x,t) = 9@²u

@x²(x,t) (x,t)2 R ⇥ (0, + 1), u(x,0) = e ^6|x| x2 R.

Si determini la soluzione del problema utilizzando la trasformata di Fourier. Si riportino la soluzione in termini della trasformata, ovvero bu(!,t) = F[u(x,t)](!,t), e la soluzione u(x,t).

bu(!,t) = 12

!²+ 36e ^{9 !}²^t, u(x,t) = 1 p36 ⇡ t

Z +1 1

e ⁶^{|s| (x s)}²^{/(36 t) ds}

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Esercizi

8 punti Esercizio 1. Si consideri il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione di di↵usione

8>

>>

<

>>

>:

@u

@t 2@²u

@x² = 0 (x,t)2 (0,⇡) ⇥ (0, + 1),

u(0,t) = 0 t > 0, (1)

u(⇡,t) = 8 t > 0, u(x,0) = g(x) x2 [0,⇡], dove g2 C⁰([0,⇡]) `e il dato iniziale.

(a) (1 punto) Si definisca la soluzione stazionaria u_s(x) di un generico problema di di↵usione di Cauchy-Dirichlet e se ne riporti l’espressione per il problema (1).

us(x) = 8

⇡x

(b) (2 punti) Si riporti l’espressione della soluzione u(x,t) del problema (1) in separazione di variabili in termini dei coefficienti An, per n 1, e del generico dato iniziale g(x).

u(x,t) = us(x) +

+1

X

n=1

Ane ^{2 n}²^t sin(nx) An = 2

⇡ Z ⇡

0

sin(nx) (g(x) us(x)) dx

(c) (2 punti) Posto ora il dato iniziale g(x) = 16 ⇣ x

⇡

⌘2

8⇣ x

⇡

⌘

, si calcolino e si riportino i valori dei coefficienti A₁, A₂ e A₃ indicati al punto (b).

A₁= 128

⇡³ = 4,128 196 A₂ = 0 A₃= 128

27 1

⇡³ = 0,152 896 (d) (3 punti) Si enunci il principio del massimo per il problema (1), definendo con precisione tutta la

notazione utilizzata.

Per il dato iniziale g(x) specificato al punto (c) si determinino massimo e minimo di u(x,t) nell’insieme QT = [0,⇡]⇥ [0,1].

max u(x,t) = 8 minu(x,t) = 1

(5)

Si stabilisca se la soluzione u(x,t) `e continua in [0,⇡]⇥ [0, + 1).

15 punti Esercizio 2. Si consideri il problema di↵erenziale:

8>

<

>:

u⁰⁰(x) + u⁰(x) + sin(x) u(x) = f (x) x2 (0,⇡),

u(0) = 0, (2)

u⁰(⇡) = 0, dove f (x)2 L²(0,⇡).

(a) (2 punti) Si scriva la formulazione debole del problema (2) motivando i tutti passaggi svolti, la scelta dello spazio funzionale V e della norma corrispondente. Si definiscano la forma a(·,·) e il funzionale F (·).

(b) (3 punti) Si mostri che la forma a(·,·) introdotta al punto (a) `e coerciva motivando dettagliatamente tutti i passaggi svolti.

(6)

(c) (2 punti) Si mostri che la forma bilineare a(·,·) introdotta al punto (a) `e continua. Si motivino dettagliatamente tutti i passaggi svolti.

(d) (2 punti) Si scriva il problema di Galerkin–Elementi Finiti di grado r = 1 per il problema debole di cui al punto (a). Si specifichi in particolare il sottospazio V_h in cui viene cercata la soluzione approssimata u_h.

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(e) (1 punto) Si disegnino le funzioni di base dello spazio di Elementi Finiti V_hdi grado r = 1 definito al punto (d) considerando una partizione uniforme di [0,⇡] con passo h = ⇡/3.

(f) (2 punti) Si ponga per il problema (2) il dato f (x) = 8 sin(x) 4 cos(x) [1 + sin(x)]. Si utilizzi opportunamente la libreria FeM4MeC per risolvere il problema (2) tramite il metodo degli Elementi Finiti di grado r = 1 definiti su una partizione uniforme di [0,⇡] con passo h = ⇡/3. Si tracci un grafico qualitativo della soluzione approssimata u_h(x) con il metodo Elementi Finiti di cui sopra.

Si riportino i valori della soluzione approssimata uh(x) quando valutata in x = ⇡/2 e bx = ⇡ (si indichino i risultati con almeno 4 cifre decimali).

u_h(x) = 4,169 22 u_h(bx) = 8,043 55

(g) (3 punti) Sempre utilizzando la libreria FeM4MeC e sapendo che la soluzione esatta del problema (2) con il dato f indicato al punto (f) `e u(x) = 4 (1 cos(x)), lo si risolva con il metodo degli Elementi Finiti di grado r = 1 per h = ⇡/4, ⇡/8, ⇡/16 e ⇡/32. Si calcolino e si riportino gli errori ku uhkH¹(0,⇡) ottenuti.

h = ⇡/4 : ku u_hkH¹(0,⇡)= 11,661 22· 10 ¹ h = ⇡/8 : ku u_hkH¹(0,⇡)= 5,719 49· 10 ¹ h = ⇡/16 : ku uhkH¹(0,⇡) = 2,8461· 10 ¹ h = ⇡/32 : ku uhkH¹(0,⇡) = 14,213 53· 10 ² Si utilizzino tali errori per stimare algebricamente l’ordine di convergenza del metodo. Si riportino il valore stimato e la procedura usata. Tale risultato `e in accordo con la teoria? Perch`e?

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