Capitolo 4

Derivazione teorica della caratteristica

piezoresistiva di una trave sottoposta a torsione

4.1 Introduzione:

Nel capitolo 3 è stata ricavata, dai dati del simulatore, una relazione quadratica tra variazione di resistenza ed angolo:

2

R αθ

∆ = (4.1)

In questo capitolo ci proponiamo di dimostrare in maniera analitica la relazione ottenuta.

È necessario fare una premessa: Si ricordi che 0 2 ρ ρ ∆R ₌ ∆ ₊ ∆l ₋∆V

R l V , dove V ed l sono, rispettivamente, il volume e la lunghezza del resistore. Poiché, in questo progetto, le forze e gli angoli di torsione in gioco non sono tali da provocare variazioni di lunghezza e/o di volume, si considera che la variazione di resistenza sia dovuta solo alla resistività.

Quindi si può affermare che:

0

ρ ρ

∆R _≅ ∆

R

È, quindi, necessario, valutare la variazione di resistività, per la quale ci rifacciamo alla relazione, già introdotta nel capitolo 1, fra il vettore campo elettrico

ε

ed il vettore densità di corrente

j

, in caso di un materiale sottoposto a stress:

, 1 6 5 6 2 4 5 4 3 x x y y z z j j j ε ρ ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ ρ + ∆ ∆ ∆ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜_{= ∆ + ∆ ∆} ⎟ ⎜_⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ _{∆ ∆ + ∆} ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

dove le varie ∆ sono le variazioni di resistività causate dalla deformazione del ρ_i materiale.

Nel sistema di riferimento scelto, la corrente applicata I scorre in direzione z ed è, per questo, proporzionale a j_z; analogamente, la tensione misurata V è proporzionale a

z

ε . Se ne ricava dunque la seguente espressione della resistenza:

0 5 y x z z z z j j V R R I j j j ε 4 3 ρ ρ ρ + ∆ = ∝ = + ∆ + ∆ + ∆ρ (4.2)

Si ricordano le espressioni di ∆ , ρ3 ∆ e ρ4 ∆ (capitolo 1, paragrafo 1.2.2): ρ5

(

)

3 11 zz 12 xx yy ρ ρ π τ⎡ π τ τ ⎤ ∆ = ⋅_⎣ + + _⎦ 4 44 yz ρ ρπ τ ∆ = 5 44 xz ρ ρπ τ ∆ = ,

dove i vari τ sono gli stress, mentre ij π11, π12 e π44 sono i coefficienti di

piezoresistività.

Si osserva che, nella (4.2), l’unico addendo che non varia con gli stress applicati è il valore ρ della resistività a riposo; di conseguenza si ottiene:

5 4 y x z z j j R j j 3 ρ ρ ρ ∆ ∝ ∆ + ∆ + ∆ (4.3)

In questo paragrafo si farà uso della (4.3) per dimostrare la (4.1), nel modo seguente:

Poiché tutti gli stress coinvolti crescono linearmente con l’angolo θ, il termine ∆ è ρ₃ a sua volta lineare con l’angolo; questo comportamento non spiega, pertanto, l’andamento quadratico della ∆R. Tuttavia, nel paragrafo 4.2 sarà dimostrato che

3

ρ

∆ ha un contributo nullo in ∆R, perciò la suddetta quantità può essere eliminata dalla (4.3), che diventa:

5 4 44 y x xz yz z z z j j j j R j j j ρ ρ ρπ τ⎛ τ ⎞ ∆ ∝ ∆ + ∆ = _⎜ + ⎝ ⎠ y x z j ⎟ (4.4)

Supposto che j_z sia costante al variare di θ1, gli unici termini che possono variare sono τ_xz, τ , e . Nel paragrafo 4.3 sarà dimostrato che le densità di corrente _yz crescono linearmente con gli stress; poiché gli stress dipendono linearmente dall’angolo, i prodotti x j jy x xz z j j τ e _yz y z j j

τ sono quadratici con l’angolo stesso e lo è anche la variazione di resistenza.

4.2

Contributo di

∆

ρ

₃

alla variazione di resistenza.

La trave studiata è un resistore di lunghezza l e sezione costante A. Si immagini di suddividerlo, lungo l’asse z (direzione lungo la quale fluisce la corrente applicata), in tante “fette” di spessore infinitesimo ; l’insieme di tutte le fette è, dunque, una serie di resistori più piccoli, la cui somma coincide con il resistore complessivo.

dz

1

Si definiscono:

∑

= →→∞ = ∆ + = N i i r N r R R R i 0 1

0 lim , resistenza totale della trave.

0

i i

r =r + ∆r_i, resistenza della singola fetta compresa fra le coordinate z_i e z_i+1.

i

r

∆ , variazione di resistenza della singola fetta compresa fra le coordinate e z_i zi+1.

0

i

r , resistenza a riposo della fetta.

1 0 lim →∞ ₌ ∆ → ∆ =

∑

∆ i N i N i r

R r , variazione totale di resistenza.

1

i i

z₊ = + z . z d

È possibile, facendo uso della (4.3) e della (4.4), esprimere la variazione di resistenza di una singola fetta in funzione degli stress e delle correnti, in questo modo:

5 4 y x i z i z i j j r j j 3i ρ ρ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ ∆ ∝ ∆_{⎜ ⎟ ⎜}+ ∆ _⎟ + ∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.5)

Come si possono esplicitare i singoli termini della (4.5)?

Si consideri una generica fetta di spessore infinitesimo, compresa fra z_i e z_i+1, di resistenza : la sua conduttanza può essere scritta, sviluppandola in serie arrestata al primo termine, come:

i r g_i 0 0 1 1 1 i i i i i i r g r r r r ⎛ ⎞ 0 ∆ = ≅ _⎜ − _⎟ + ∆ _{⎝ ⎠}

Tale conduttanza può essere espressa anche come l’integrale sulla sezione della trave della conduttanza infinitesima:

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ( , ) ( , ) t h t h i i i i i r dxdy dxdy g r r z ρ x y z ρ x y ⎛ ∆ ⎞ = _⎜ − _{⎟ ∆}≅ = ∆ + ∆ ⎝ ⎠

∫∫

∫∫

ρ

dove ρ₀ è il valore a riposo della resistività, h e t sono, rispettivamente, l’altezza e la larghezza della sezione, mentre ∆ρ_i( , )x y è la variazione di resistività di un elemento di coordinate x, y, zi.

Si considera che gli stress e le densità di corrente all’interno della fetta non varino lungo l’asse z, pertanto siano funzione solo di x e di y e lo sia anche la variazione di resistività.

Si procede sviluppando in serie l’argomento dell’integrale:

2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∆ ∆ ∆ − ≅ _⎜ − _⎟ = _⎜ − _⎟ ∆

∫∫

_{⎝ ⎠} ∆

∫∫

_{⎝ ⎠} t h t h i i i i i r x y x dxdy dxdy r r z z y

Procedendo con i calcoli, si ottiene la seguente uguaglianza:

2 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) 1 1 ρ ρ ρ ∆ ∆ − ≅ ⋅ − ∆

∫∫

∆ t h i i i i r A x dxdy r r z z y Si noti che 0 0 1 1 i A z⋅ρ =r ∆ Si ottiene: 2 2 0 0 0 0 1 ρ ( , ) ρ ∆ _{≅ ∆} ∆

∫∫

t h i i i r x y dxdy r z

Poiché r_{i0 0} z A ρ ∆ = , risulta che: 2 2 0 0 0 0 ( , ) ρ ∆ _≅ ∆ ∆

∫∫

t h i i i i r z x dxdy r r A A y Infine si ottiene: 0 0 ( , ) ∆ ∆ρ ∆ ρ ( , ) ∆ ≅

_∫∫

= ⋅ ∆ t h i i i x y z z r dxdy A A A x y

In poche parole, la variazione di resistenza ∆ è proporzionale al valor medio della r_i variazione di resistività ∆ρ_i( , )x y .

Si consideri di nuovo la (4.5): con i risultati ottenuti fino ad ora, si possono esprimere i termini in essa contenuti come valori medi.

Si ottiene: 5 44 ( , , ) ( , , ) ρ ρπ τ = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∆ = _⎢ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ _i x x xz z i z z z j j x y z x y z j j ⎥ (4.6) 4 44 ( , , ) ( , , ) ρ ρπ τ = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∆ = ⎢ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢_⎣ ⎥_⎦ i y y yz z _i z z z j j x y z x y z j j ⎥ (4.7)

{

}

3 11 ( , , ) ( , , )12 ( , , ) ρ ρ π τ π τ τ = ⎡ ⎤ = ∆ = ⋅ + _⎣ + _⎦ i i i zz _{z z} xx yy z z x y z x y z x y z (4.8)

La (4.6), quindi, diventa: 44 5 44 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ρπ ρ τ ρπ _τ ⎛ ⎞ ∆ = ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⋅ ⋅

∫∫

∫∫

x x xz i i z i S z t h x xz i i z j j x y z x y z dS j A j j = x y z x y z dxdy A j (4.9) La (4.7) diventa: 44 4 0 0 44 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ρπ ρ τ ρπ _τ ⎛ ⎞ ∆ = ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⋅ ⋅

∫∫

∫∫

t h y y yz i i z i z y yz i i z x y j j x y z x y z dS j A j j x y z x y z dxdy A j (4.10) Infine, la (4.8):

(

)

(

)

44 3 11 12 0 0 44 11 12 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ρπ ρ π τ π τ τ ρπ _{π τ π τ τ} ⎡ ⎤ ∆ = ⋅ _⎣ + + _⎦ = ⎡ ⎤ = ⋅ _⎣ + + _⎦

∫∫

∫∫

t h i zz i xx i yy i zz i xx i yy i x y x y z x y z x y z dS A x y z x y z x y z dxdy A (4.11)

Lo scopo di questo paragrafo non è, ovviamente, risolvere una serie di doppi integrali di funzioni il cui andamento è, peraltro, sconosciuto: si vuole solo dimostrare che la (4.11) è, in valore, nulla, cioè che si può eliminare il termine ∆ρ_3i dalla (4.5); in questo modo si può togliere anche ∆ dalla (4.3). ρ₃

Per la particolare simmetria della sezione della trave, e poiché si applica una coppia di forze uguali ed opposte, è ragionevole ipotizzare che i valori degli stress su qualsiasi sezione siano antisimmetrici: in poche parole, si assume che, sulla generica sezione di ascissa , ad ogni valore di stress ne corrisponda uno uguale ed opposto. L’immagine 4.1 [17] rappresenta le zone soggette a stress sulla sezione di una generica barra rettangolare; le linee tratteggiate indicano aree di depressione, mentre quelle continue indicano rigonfiamenti.

i

z

FIGURA 4.1

Si può fare un collegamento fra la morfologia della sezione in figura e gli stress: poiché le zone di depressione sono simmetriche, rispetto al centro del rettangolo (come lo sono i rigonfiamenti), si può supporre che lo siano anche i valori degli stress.

Pertanto l’integrale della (4.11) contiene solo funzioni antisimmetriche: il suo valore è nullo. Questa proprietà della distribuzione è confermata dalle simulazioni ANSYS:

y z x FIGURA 4.2: τ_xx y z x FIGURA 4.3: τyy

y z x FIGURA 4.4 τ_zz y z x FIGURA 4.5 τ_xz

y

z x

FIGURA 4.6 τ yz

Le figure da 4.2 a 4.6 riportano l’andamento degli stress nel volume della molla: si è scelto di rappresentare solo una porzione della trave, perché questo permette di visualizzare maggiormente i dettagli dei risultati.

Per quanto riguarda le densità di corrente, si possono dimostrare le seguenti uguaglianze (Si veda l’appendice B per approfondimenti ):

5 2 x z j ρ ε ρ ∆ ≅ − (4.12) 4 2 y z j ρ ε ρ ∆ ≅ − , (4.13)

Se si sviluppano i calcoli, sostituendo alle ∆ρ_4,5 le loro espressioni in funzione dei rispettivi stress di taglio, si ottiene:

5 44 2 xz x z j ρ ε π τ ε_z ρ ρ ∆ ≅ − = − (4.14) 44 4 2 yz y z j ρ ε π τ ε_z ρ ρ ∆ ≅ − = − (4.15)

Sostituendo la (4.14) nella (4.9) e la (4.15) nella (4.10), e considerando che gli stress sono funzione solo di x e di y, si ottiene:

2 2 44 5 0 0 ( , ) π ε ρ τ ⎛ ⎞ ∆ ≅ − ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫∫

t h x z xz z i z j x y dxdy j A j (4.16) 2 2 44 4 0 0 ( , ) π ε ρ τ ⎛ ⎞ ∆ ≅ − ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∫∫

t h y z yz z i z j x y dxdy j A j (4.17)

Si osserva che gli integrali non contengono adesso funzioni dispari, pertanto non si annullano.

È stato dimostrato che, nell’espressione di ∆ , il termine r_i ∆ρ_3i non conta, di conseguenza la (4.5) diventa: 5 4 y x i z i z i j j r j j ρ ρ ⎛ ⎞ ⎛ ∆ ∝ ∆_{⎜ ⎟ ⎜}+ ∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ E la (4.3) diventa:

5 4 y x z z j j R j j ρ ρ ∆ ∝ ∆ + ∆

4.3 Dipendenza delle densità di corrente traverse dalla

deformazione

Si vuole dimostrare adesso la seconda ipotesi fatta nel paragrafo 4.1, dove si è affermato che esiste una relazione lineare fra le densità di corrente perpendicolari all’asse della trave e l’angolo di torsione.

Si considerino di nuovo la (4.14) e la (4.15): 5 44 2 xz x z j ρ ε π τ ε_z ρ ρ ∆ ≅ − = − 44 4 2 yz y z j ρ ε π τ ε_z ρ ρ ∆ ≅ − = −

Queste relazioni mostrano esplicitamente che j e cambiano linearmente con i _x rispettivi stress di taglio, quindi con l’angolo di torsione: la seconda ipotesi è, pertanto, dimostrata.

y j

Si riporta una tabella, contente i valori minimi ( j_xmin) e massimi ( j_xmax) di j e si fa _x lo stesso per j_y, per diversi valori di forze F applicate:

F [µN] j_xmin [A/µm2] j_xmax [A/µm2] j_ymin [A/µm2] j_ymax [A/µm2]

5 5 10 18 . 4 ⋅ − − 5 10 18 . 4 ⋅ − −2.61⋅10−5 2.61⋅10−5 10 5 10 72 . 8 ⋅ − − 5 10 72 . 8 ⋅ − −5.21⋅10−5 5.21⋅10−5 20 5 10 3 . 19 ⋅ − − 5 10 3 . 19 ⋅ − −10.4⋅10−5 10.4⋅10−5 TABELLA 4.1

Si riportano di seguito le immagini delle simulazioni ANSYS, relative all’andamento delle densità di corrente traverse (per un solo valore di coppia torcente applicata):

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

=

− 2 5 max

4

.

18

10

m

A

j

_x

µ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

=

− 2 5 max

4

.

18

10

m

A

j

_x

µ

F = 5 µN θ = 0.03 rad

FIGURA 4.8 Andamento di j_y con una forza applicata di 5 µN.

4.4 Espressione finale per la piezoresistenza

4.4.1 Legame tra

∆R

e gli stress di taglio

Si considerino nuovamente la (4.2), la (4.3) e la (4.4); si può ricavare la resistenza totale della trave deformata:

0 44 y x xz yz z z j j R R j j ρ ρπ τ⎛ τ ⎞ + ∆ ∝ − _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

Sostituendovi le espressioni (4.14) e (4.15) si ottiene: 2 2 2 2 0 44 z z xz yz z z R R j j 44 z z j ε _{ρ π τ} ε _{π τ} ε + ∆ ∝ = − − . Si raccoglie z z j ε

al primo membro dell’equazione e si ottiene:

(

2 2

)

2 44 1 _{xz yz} z z j π τ τ ρ ε + + =

Per i valori di π₄₄ e dgli stress, si può affermare che π₄₄2

(

τ_xz2 +τ_yz2

)

«1, quindi:

(

)

[

2 2 2

]

44 1 _{xz yz} z z j ρ π τ τ ε + − ≅

Di conseguenza, si ottiene la seguente relazione:

(

)

(

2 2 2

)

0 1 44 z xz yz z R R j ε _{ρ π τ τ} + ∆ ∝ ≅ − + (4.18)

Si è visto che il campo elettrico ε_z è costante, pertanto si ottiene: ε_{z = ⋅}

z

A V j l I

Dove, come già affermato, l ed A sono la lunghezza e la sezione del resistore, mentre V ed I indicano la corrente applicata e la tensione misurata ai capi della trave. La (4.18) diventa, quindi:

(

2 2 2 44 1

)

ρ_{⋅ ⎡ π τ τ ⎤} + ∆ = l _⎣ − _xz+ _{yz ⎦} R R A (4.19)

Infine, la variazione di resistenza risulta essere:

(

2 2 2 44

)

ρ π τ τ⋅ ∆ = −R l _xz+ _yz A (4.20)

Si è dimostrato che la variazione di resistenza dipende in maniera quadratica dagli stress di taglio, quindi dall’angolo di torsione. Inoltre si ha una variazione negativa, coerentemente con i risultati ricavati dalle simulazioni: queste, infatti, mostrano che la resistenza diminuisce, dopo aver applicato lo stress.

4.4.2 Si ricava

∆R

in funzione dell’angolo

Dalla (4.20) è possibile ricavare:

2

R αθ

∆ = .

La (4.20), infatti, mostra la variazione di resistenza in funzione degli stress di taglio, ma non dell’angolo di torsione.

Uguagliando le due espressioni, si ottiene:

(

2 2 2 44

)

2 ρ αθ = − ⋅ π τxz+τyz l A (4.21)

Si cercherà una formula che leghi in maniera esplicita gli stress di taglio all’angolo

Siano ( , )τ_xz x y e τyz( , )x y gli stress di taglio in una generica sezione della trave.

Si è visto che M =k_θθ , pertanto si ottiene:

Nell’appendice C si afferma che gli stress presenti nella (4.21) possono essere espressi nel seguente modo :

2 2 2 2

( , ) ( , )

τ_xz+τ_yz =⎡_⎣τ_xz x y +τ_yz x y (4.22) _⎦⎤

Si nota, dalla (4.22), che la quantità τ_xz2 +τ2_yz è la somma dei valori quadratici medi degli stress di taglio τ_xz e τ_yz.

A questo punto, si può ricavare α nel modo seguente:

(

2 2

)

2 44 2 1 yz xz A l _{π τ τ} θ ρ α =− +

Poiché sappiamo che

θ

θ =M

k , si ottiene la seguente espressione:

(

)

[

2 ( , ) 2 ( , )

]

2 44 2 2 2 2 2 44 2 2 y x y x M k A l M k A l yz xz yz xz τ τ π ρ τ τ π ρ α θ θ + − = = + − = (4.23)

Si osserva che è possibile ricavare α solo se si conoscono gli andamenti nel piano xy degli stress di taglio τ_xz e τyz.

A questo punto, si può concludere il capitolo scrivendo l’espressione finale della variazione di resistenza:

[

2 2

]

2 2 44 2 2 ) , ( ) , ( τ θ τ π ρ θ _{+ ⋅} − = ∆ x y x y M k A l R _{xz yz}

4.3 Conclusioni

In questo capitolo è stata dimostrata la validità della legge ∆ =_R αθ2

, ricavata dalle simulazioni nel precedente capitolo. Si è compiuto uno studio analitico dell’equazione, suddividendo il resistore in sezioni di spessore infinitesimo (che sono resistori in serie) e calcolando la variazione di resistenza di ogni sezione. La verifica dell’andamento quadratico della ∆R è stata supportata dai grafici (ottenuti con ANSYS) degli stress e delle correnti j e _x j_y.

Infine, si è ricavata un’espressione analitica per il parametro α e, conseguentemente, per la variazione di resistenza. Si fa notare la particolare complessità di α, che ne rende impossibile una eventuale trattazione analitica, a meno che non si conoscano le funzioni τ_xz e τ_yz.