CAPITOLO 4: DINAMICA TRIPLETTA

Testo completo

(1)CAPITOLO 4: DINAMICA TRIPLETTA. In questo capitolo presentiamo il modello completo dell’unità funzionale del robot: la tripletta di vertebre (due passive e una attiva fra queste). Come ho già detto, il moto del sistema è attuato dall’accoppiamento magnetico che si crea fra magneti affacciati di vertebre adiacenti, a seconda dell’angolo di rotazione dei magneti sulla vertebra attiva (α), pilotati dal motore attraverso il cinematismo. In pratica, tale accoppiamento, si manifesta come un momento flettente, costante su tutto la lunghezza del sistema, determinato da due momenti uguali e opposti (M*), applicati alle vertebre passive. Inoltre, come abbiamo visto nel capitolo 3, l’accoppiamento magnetico produce un momento resistente sui magneti (MRES). Infine, nell’ottica dell’estensione del modello della tripletta in questione all’intero robot (progettato per la locomozione in acqua), consideriamo, anche in questa sede, le forze di interazione (Fext) con il mezzo fluido.. Figura 51: Foto della tripletta alla massima flessione.. 61.

(2) 4.1: MODELLO TRIPLETTA. Vediamo adesso nel dettaglio le equazioni che governano il sistema brevemente descritto.. Figura 52: Rappresentazione schematica del sistema a tre vertebre.. Figura 53: Schema delle forze agenti sulla vertebra. N, T, M, B derivano dalla risposta elastica della notocorda, M * è il momento attivo, dovuto all’accoppiamento magnetico, mentre R e L sono le forze esterne, dovute all’attrito viscoso con il liquido.. Ogni vertebra è soggetta alle forze illustrate in figura 53. Dove: •. N, T, B, M sono le forze interne scambiate con la notocorda.. •. M* è il momento attivo dovuto all’accoppiamento magnetico.. •. R e L sono le forze esterne dovute all’attrito viscoso del liquido. 62.

(3) Vediamo come le varie azioni si combinano nelle equazioni della dinamica della vertebra:

(4)

(5) . Γ .

(6) . •. ni e ti sono, rispettivamente, il versore tangente e normale, che indicano le coordinate locali per ogni vertebra.. •. x è il vettore spostamento.. •. θ è l’orientazione (angolo 2D) delle vertebre nello spazio.. •. è il momento dovuto all’attrito viscoso. •. a è metà dello spessore della vertebra, come si vede in figura 52.. •. Γ è il momento d’inerzia, calcolato sia per la vertebra passiva sia per l’attiva, in appendice B.. Sono queste le equazioni differenziali da risolvere per ottenere la posizione e l’orientamento delle vertebre rispetto al tempo. Le forze interne si ottengono applicando la teoria della linea elastica alla notocorda, mentre quelle esterne sono modellate con un andamento lineare rispetto alla velocità delle vertebre. 6 2 2 Δ" # 1% Δ& 6 Δ" 2 # % Δ& 3 ( )|+ | 2

(7) , . . . •. E è il modulo elastico di Young.. •. L è la distanza fra le vertebre (figura 52).. •. J e A sono rispettivamente il momento d’inerzia geometrico della notocorda e la sua sezione calcolati in appendice B.. •. Δy e Δθ sono così definiti:. 63.

(8) Δ" +

(9)

(10) Δ +. Le forze esterne hanno un andamento lineare con la velocità, nello stesso modo visto per quanto riguardava le forze d’attrito agenti sui magneti e il momento viscoso .. ./ . .0 Il momento attivo (M*) si ricava in base ai risultati della simulazione magnetica descritta nel capitolo precedente, in funzione del Δθ tra due vertebre vicine e del valore di α (posizione angolare) della vertebra attiva.. 4.2: IMPLEMENTAZIONE MATLAB MODELLO TRIPLETTA. Il sistema comprende, oltre all’equazione della dinamica appena viste, anche quelle relative agli elementi della singola vertebra, descritti nei capitoli precedenti, per un totale di 9 equazioni in 9 incognite per ogni vertebra, risolte con il metodo integrativo a passo fisso, con la stessa struttura vista in precedenza. Le incognite sono:. " γ 4 " 6 2" 8 2 7 2 "9 x y< y B 3 y= θ 2y? 2 2"@ " 1 "A . Ricordiamo che γ rappresenta l’angolo formato dal rotore, il quale ci permette di conoscere in particolare la posizione α dei magneti, giacché il cinematismo è a un grado di libertà. Le ultime sei sono riferite alla vertebra (posizione, velocità). Le equazioni implementate sono le seguenti: 64.

(11) " " " "7 . CDE FGH 8 8LMN. IJ KJ. O 8 PQ . "9 "? . "< "@ . "= "A "? . RSETU RMTETU . "A . .

(12) 8. "@ . RSEVU RMTEVU . Dove Fint, Fext e M corrispondono ai seguenti sottomodelli: RSETU cos

(13) sin

(14) cos

(15) sin

(16). RSEVU sin

(17) cos

(18) sin

(19) cos

(20). RMTETU ./ \"? cos

(21) "@ sin

(22) ] cos

(23) .0 \"@ cos

(24) "? sin

(25) ] sin

(26). RMTEVU ./ \"? cos

(27) "@ sin

(28) ] sin

(29) .0 \"@ cos

(30) "? sin

(31) ] cos

(32). cos

(33) sin

(34)

(35) \"< + "< ] sin

(36) cos

(37)

(38) "9 + "9

(39). Le grandezze che accoppiano le vertebre sono: M*(α, Δθ) e MRES(α, Δθ); entrambi dipendono dall’angolo formato dai magneti (α) e dall’inclinazione relativa fra le vertebre (Δθ). Durante la simulazione in questione vengono ricavate tramite interpolazione a secondo della configurazione che si presenta, visto che a ogni iterazione cambiano sia α sia Δθ. Il valore che si riferisce al tratto di notocorda a sinistra potrebbe essere diverso rispetto a quello relativo al tratto destro, nel caso in cui la posizione delle vertebre passive non sia speculare rispetto alla vertebra attiva. Questo è il caso generale e accade, per la discretizzazione, anche nel caso “simmetrico” qui considerato, per questo vengono calcolati separatamente. Tale rottura della simmetria dovrebbe essere di modesta entità, a fronte di una discretizzazione opportuna. 65.

(40) α*(t). PID. α(t). MAGNETI. V(t). MRES(α,Δθ). MOTORE. MAGNETICO. CINEMATISMO ESTERNO. M*(α,Δθ). CINEMATISMO MOTORE. x(t) y(t) θ(t). Fext( ,. ). NOTOCORDA. Figura 54:: Schema a blocchi del sistema. Le frecce rosse indicano l’accoppiamento magnetico.. 4.2.1: DINAMICA DELLA TRIPLETTA Ai fini dello sviluppo del modello sono state considerate due configurazioni: •. nella prima s’impedisce s’impedisce la traslazione (x, y) della vertebra centrale attiva. •. nella seconda s’impedisce impedisce la rotazione (θ) della vertebra centrale attiva.. Nel primo caso si ottiene un moto a farfalle della tripletta e si verifica che il momento o agente complessivamente sulla vertebra centrale è nullo, per via della simmetria, giacché non ruota nonostante non sia vincolato (figura 55-56). 55 In figura 57 è riportato l’andamento della posizione angolare del rotore del motore della vertebra centrale attiva ttiva rispetto al riferimento.. 66.

(41) Figura 55: Sopra θ(t) delle tre vertebre (blu la prima, verde la seconda e rossa la terza), sotto y(t).. 67.

(42) .. 68.

(43) Figura 56: sequenza di frame (10 frame per secondo) che mostrano il moto della tripletta con x e y della vertebra attiva fissati. Traiettoria magneti sinusoidale a frequenza 1 Hz e ampiezza 45°.. Figura 57: Posizione angolare (γ(t)) del rotore rispetto al riferimento.. 69.

(44) Nella seconda versione si verifica che le forze lungo x, agenti sulla seconda vertebra, sono complessivamente nulle e, in prima approssimazione, che quelle lungo y sono opposte e di valore doppio rispetto a quella agenti sulle passive. Nelle figure 58-59-60 sono riportati i risultati visti per la precedente configurazione.. 70.

(45) Figura 58: sequenza di frame (10 frame per secondo) che mostrano il moto della tripletta con θ della vertebra attiva fissato. Traiettoria magneti sinusoidale a frequenza 1 Hz e ampiezza 45°.. 71.

(46) Figura 59: sopra θ(t) delle tre vertebre (blu la prima verde la seconda e rossa la terza), sotto y(t).. Figura 60: Posizione angolare (γ(t)) del rotore rispetto al riferimento.. 72.

(47) 4.3: CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI. In questo lavoro di tesi sono stati sviluppati blocchi di complessità crescente (singolo motore, motore e magneti, motore e magneti con controllo PWM retroattivo, dinamica della vertebra attiva in presenza di una passiva ferma, dinamica della tripletta), che hanno portato allo sviluppo di un simulatore per l’unità funzionale del robot: la tripletta di vertebra. Per far questo è stato necessario identificare i parametri fondamentali del modello e definirli tramite osservazioni geometriche o esperimenti, come nel caso di ηRD (efficienza della trasmissione del moto). È stato inoltre predisposto un tool per la calibrazione di parametri difficilmente calcolabili per via teorica (ad esempio l’attrito sui magneti). Il lavoro si presta a essere esteso alla simulazione di tutto il robot (non solo una tripletta), modulando il riferimento α*(t) lungo la notocorda, in modo da riprodurre l’attivazione tipica del pesce vero (CPG e travelling wave, vedi sezione 1.4). Esiste una versione preliminare di tale modello (figura 61), in cui però il momento degli attuatori è dato in input. Il presente lavoro di tesi s’inserisce andando a modellare in dettaglio anche la dinamica degli attuatori.. A) 73.

(48) B). C) Figura 61:: Esempi di locomozione simulata dall’attuale versione del modello dell’intero robot, in cui sarà inserita la dinamica dinam ica della tripletta sviluppata dalla da presenta tesi. A) nuotata in automatico, automatico , B) studio del raggio di curvatura, C) Integrazione del sistema visivo per task di navigazione. 74.

(49) È ragionevole attendersi una fase di ulteriore sviluppo per completare l’integrazione in questione, ad esempio, per affrontare eventuali problemi di stabilità elastica dovuti, ad esempio, ai diversi tempi scala dei vari sottosistemi (notocorda, attuatori, etc.). Il presente lavoro di tesi rappresenta un contributo significativo a tale sviluppo.. Figura 62: Prototipo durante una prova di nuoto.. 75.

(50)