Figura 1. calcoli l'accelerazione angolare del sistema all'istante iniziale.

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA  SCUOLA POLITECNICA FISICA GENERALE  Sede di La Spezia 

Prova scritta del 7 Gennaio 2021 in "regime di Covid-19"

Mostrare i passaggi principali in modo conciso, leggibile, con i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI) ed espressi con due cifre significative. Gli elaborati che presenteranno risultati non giustificati non formalmente corretti e/o in una grafia non comprensibile non saranno corretti.

ME1

Una palla da biliardo di massa 𝑚 scivola su di un piano orizzontale liscio. Ad un certo istante urta contro una palla di massa 𝑀 in quiete (vedi figura 1).

Supponendo l'urto completamente elastico si calcoli la velocità delle due masse dopo l'urto e l’impulso della forza che ha agito sulla palla 𝑚 durante l’urto. Entrambe le masse sono da considerare come corpi puntiformi.

[Dati: 𝑚 = 100 𝑔; 𝑀 = 2 ∙ 𝑚, 𝑣₀= 2.5 𝑚/𝑠].

Figura 1

ME2

Un'asta di massa trascurabile e lunghezza 𝐿 poggia su di un piano orizzontale privo di attrito ed è vincolata in O ad un perno ideale (vedi figura 2). Su di essa, sono saldati un disco di massa 𝑚 ed un anello di massa 𝑚/2 i cui centri distano rispettivamente 𝐿/4 e 3𝐿/4 dal perno O. Entrambi il disco e l'anello hanno raggio 𝑅. All'istante iniziale una forza 𝐹⃗

agisce sull'estremo libero dell'asta mettendo il sistema in rotazione attorno all'asse verticale passante per O. Si

calcoli l'accelerazione angolare del sistema all'istante iniziale.

[Dati: 𝑚 = 0.5 𝑘𝑔; 𝐿 = 50 𝑐𝑚; 𝑅 = 𝐿/8; 𝐹 = 0.35 𝑁].

Figura 2

EM1

Sei cariche puntiformi sono disposte come in figura 3.

Tutte le cariche hanno modulo uguale a 𝑞. Si calcoli le componenti del vettore campo elettrico totale generato dalle sei cariche nell'origine e l'angolo che esso forma con l'asse 𝑥.

[Dati: 𝑎 = 10 𝑐𝑚; 𝑞 = 7.6 ∙ 10⁻⁸𝐶]

Figura 3 EM2

Un conduttore F di spessore trascurabile è affiancato ad un conduttore E, di raggio R. La sezione dei due cavi è schematizzata in figura 4. Entrambi i conduttori, di lunghezza molto maggiore rispetto ai rispettivi diametri, sono disposti parallelamente all'asse z e sono percorsi da una corrente 𝑖0 entrante nel piano del foglio (−𝑢̂𝑧). Nel caso di E, tale corrente è distribuita uniformemente su tutta la sua sezione. Si calcoli la corrente 𝑖0 necessaria affinché il modulo del vettore campo magnetico totale in 𝑃 (0,²

3𝑅) valga 𝐵(𝑃).

[R = 5.0 mm, 𝐵(𝑃) = 0.15 ∙ 𝑚𝑇]

Figura 4

Costanti utili: 𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠², 𝜀0= 8.85 ∙ 10^{−12 𝐶2}

𝑁𝑚² e µ0= 1.26 ∙ 10^{−6 𝑇𝑚}

𝐴.

1

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA FISICA GENERALE I - Sede di La Spezia –Prova scritta del 7/01/2021

SOLUZIONI

I valori intermedi non saranno arrotondati, i valori finali saranno arrotondati a 2 cifre significative. Nelle soluzioni useremo 𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠², G=6.673·10^-11 m³/(kg·s²), 𝜀₀= 8.85 ∙ 10⁻¹² 𝐹/𝑚 e µ₀= 1.26 ∙ 10⁻⁶ 𝐻/𝑚.

ME1

Consideriamo il sistema formato dai due corpi puntiformi liberi di muoversi su di un piano orizzontale liscio. Pertanto questo è un caso di dinamica in una dimensione.

Le forze esterne agenti sui due corpi sono solo verticali (reazione normale al piano e forza peso), pertanto lungo la direzione orizzontale non sono presenti forze esterne ma solo le forze impulsive che si scambiano i due corpi durante l’urto che, però, sono forze interne perciò si conserva la quantità di moto del sistema 𝑃_𝑖𝑥= 𝑃_𝑓𝑥:

𝑚𝑣₀= 𝑚𝑣_𝑓+ 𝑀𝑉_𝑓.  𝑚𝑣0= 𝑚𝑣_𝑓+ 2𝑚𝑉_𝑓.  𝑣0= 𝑣_𝑓+ 2𝑉_𝑓 dove 𝑣_𝑓 è la velocità finale del corpo 𝑚 e 𝑉_𝑓 è la velocità finale del corpo 𝑀

Poiché l'urto è elastico si conserva l'energia meccanica: 𝐸𝑖 = 𝐸_𝑓 che in questo caso è solo l’energia cinetica ovvero ¹₂𝑚𝑣₀²=¹₂𝑚𝑣_𝑓²+¹₂𝑀𝑉_𝑓² 𝑣₀² = 𝑣_𝑓²+ 2𝑉_𝑓²

Osservazione:

l’urto avviene nel piano orizzontale e non c’è variazione di quota dei due corpi. Nel caso in cui l'urto avvenisse su un piano inclinato rispetto all’orizzontale, se la durata dell’urto è breve (e quindi si può considerare valida l’approssimazione impulsiva) la variazione di quota (e di energia potenziale) sarebbe ancora trascurabile.

Occorre perciò risolvere il sistema {𝑣0= 𝑣𝑓+ 2𝑉𝑓

𝑣₀²= 𝑣_𝑓²+ 2𝑉_𝑓² {

𝑣_𝑓 = 𝑣₀− 2𝑉_𝑓

𝑣₀²= (𝑣₀− 2𝑉_𝑓)²+ 2𝑉_𝑓²  𝑣₀²= 𝑣₀²− 4𝑣₀𝑉_𝑓+4𝑉_𝑓²+ 2𝑉_𝑓² 0 = −4𝑣0𝑉_𝑓+6𝑉_𝑓²

{ 𝑣_𝑓 = 𝑣₀− 2𝑉_𝑓 𝑉_𝑓(3𝑉_𝑓− 2𝑣₀) = 0

Escludendo la soluzione 𝑉𝑓 = 0 e 𝑣_𝑓 = 𝑣₀ perché comporta l'assenza dell'urto, si ottiene:

{ 𝑉_𝑓 =²

3𝑣₀ ≈ 1.667^𝑚

𝑠 ≈ 1.7^𝑚

𝑠

𝑣_𝑓 = 𝑣₀− 2𝑉_𝑓= −¹₃𝑣₀≈ −0.8333^𝑚_𝑠 ≈ −0.83^𝑚_𝑠

ovvero la massa 𝑚 riparte nella direzione opposta alla sua velocità iniziale.

Dal teorema dell’impulso la variazione della quantità di moto per la palla 𝑚 è pari all’impulso della forza che agisce su di lei durante l’urto ∆𝑝 = 𝐽 con

∆𝑝 = 𝑝_𝑓− 𝑝_𝑖 = 𝑚𝑣_𝑓− 𝑚𝑣₀ e l’impulso 𝐽 = ∫ 𝐹_𝑥𝑑𝑡 da cui 𝐽 = 𝑚𝑣_𝑓− 𝑚𝑣₀= −0.3333 𝑁𝑠 ≈ −0.33 𝑁𝑠

ME2

Considerando la figura, le forze esterne agenti sul sistema sono: la forza peso 𝑃⃗⃗, perpendicolare al foglio applicata nel CM ed entrante, la reazione normale del piano di appoggio 𝑁⃗⃗⃗ uscente dal foglio, la forza vincolare 𝑉⃗⃗ dell’asse di rotazione O, infine la forza 𝐹⃗ orizzontale.

2

Assumiamo un sistema di riferimento con assi x ed y nel piano della figura, l’asse z perpendicolare ed uscente dal foglio con l’origine coincidente col punto O.

Poiché il moto avviene nel piano xy, la componente z della forza risultante deve essere nulla.

D’altra parte il sistema è vincolato in O e perciò consideriamo la seconda equazione cardinale della dinamica scritta rispetto ad un polo coincidente con l’asse di rotazione. Questa scelta del polo elimina il momento della reazione vincolare 𝑉⃗⃗ .

L'unico momento non nullo è quello dovuto alla forza 𝐹⃗ che nella condizione iniziale è perpendicolare all’asta:

z: +𝐿𝐹 = 𝐼𝛼 dove 𝐼 è il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse verticale passante per il polo O.

Per il suo calcolo utilizziamo i momenti d’inerzia baricentrali del disco e dell’anello e il teorema degli assi paralleli 𝐼 = {(¹

2𝑚𝑅²) + 𝑚 (^𝐿

4)²}

𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜

+ {((^𝑚

2) 𝑅²) + (^𝑚

2) (^3𝐿

4)²}

𝑎𝑛𝑒𝑙𝑙𝑜

=

𝑚𝑅²+ 𝑚𝐿²(¹

16+ ⁹

32) = 𝑚 (^𝐿

8)²+¹¹

32𝑚𝐿² = ¹

64𝑚𝐿²+¹¹

32𝑚𝐿²=²³

64𝑚𝐿² 𝐼 = 𝑚 (^𝐿₈)²+¹¹

32𝑚𝐿²= ¹

64𝑚𝐿²+¹¹

32𝑚𝐿²=²³

64𝑚𝐿² da cui si ha:

𝛼 =^𝐿𝐹_𝐼 = ^64𝐿𝐹

23𝑚𝐿²= ^64𝐹

23𝑚𝐿 = 3.8957𝑟𝑎𝑑/𝑠²≈ 3.9 𝑟𝑎𝑑/𝑠² EM1

Per il principio di sovrapposizione, il campo risultante nell'origine è la somma dei vettori campi elettrici generati dalle singole cariche.

Osserviamo che cariche dello stesso segno come 𝑞₂ e 𝑞₅ oppure 𝑞₃ e 𝑞₆, disposte simmetricamente rispetto all’origine, generano campi (vettori 𝐸⃗⃗) tra loro opposti, perciò il campo elettrico risultante risulta essere la somma vettoriale dei campi generati dalle sole cariche q1 e q4.

Entrambi questi campi sono lungo la diagonale 𝑑 del rettangolo tratteggiato e concordi.

La diagonale è lunga 𝑑 = √(^𝑎₂)²+ (^√3

2 𝑎)

2

= 𝑎, il doppio della distanza di ciascuna delle 2 cariche dall’origine.

Tenendo conto che la diagonale divide il rettangolo in 2 triangoli rettangoli che sono a loro volta metà di un triangolo equilatero, infatti hanno lati di lunghezza rispettivamente 𝑎, ^𝑎₂ e ^√3₂ 𝑎, l'angolo  vale /3 da cui si avrà:

3

𝐸⃗⃗(0,0) = ^𝑞1

4𝜋𝜀₀((^𝑎

2)²)(+𝑐𝑜𝑠^𝜋₃, −𝑠𝑒𝑛^𝜋₃) + ^𝑞4

4𝜋𝜀₀((^𝑎

2)²)(−𝑐𝑜𝑠^𝜋₃, +𝑠𝑒𝑛^𝜋₃) = 𝐸⃗⃗(0,0) =_𝜋𝜀^−𝑞

0𝑎²(¹₂, −^√3₂) +_𝜋𝜀^+𝑞

0𝑎²(−¹₂, +^√3₂) =_𝜋𝜀^𝑞

0𝑎²(−1, +√3) ≈ (−2.7335 ∙ 10⁵, 4.7346 ∙ 10⁵) 𝑉/𝑚

𝐸⃗⃗(0,0) ≈ (−2.7, 4.7) ∙ 10⁵ 𝑉

L'angolo formato con l'asse 𝑥 vale: 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 (^𝐸_𝐸^𝑦

𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 (

√3𝑞 𝜋𝜀0𝑎2

−𝑞 𝜋𝜀0𝑎2

) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 (^√3

−1) =²

3π rad = 120° tenedo conto dei segni delle componenti, oppure più semplicemente osservando che 𝛽 = 𝜋 − 𝜃.

EM2

Il campo magnetico totale in P è dovuto alla sovrapposizione del campo generato sia dal conduttore F che dal conduttore E con qualche distinzione.

Conduttore F: si tratta del campo magnetico generato da un filo rettilineo indefinito. La distanza del punto P dal conduttore è 𝑅/3 e nel piano 𝑥𝑦 ortogonale ad A esso vale:

𝐵⃗⃗_𝐹(0,²

3𝑅) = − ^𝜇0𝑖0

2𝜋(^𝑅

3)𝑢̂_𝑥 = −^3𝜇0𝑖0

2𝜋𝑅 𝑢̂_𝑥

Per calcolare il contributo in P dovuto al campo magnetico generato dal cavo E si applica il teorema di Ampère ad una curva  definita in senso orario costituita da una circonferenza di raggio ²₃𝑅 con centro in O e passante per P :

∮ 𝐵_𝛤 ⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗= µ₀𝑖_{𝑐𝑜𝑛𝑐}

∮ 𝐵_𝛤 ⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗= ∮ 𝐵𝑑𝑙 = 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝐵2𝜋 (_{𝛤 𝛤} ²₃𝑅 )

Il primo passaggio sfrutta il fatto che 𝐵⃗⃗ ∥ 𝑑𝑙⃗ mentre il secondo che il modulo B è costante a distanza fissata da O.

La corrente concatenata alla curva  è solo la frazione che passa entro la curva e che vale: 𝑖_{𝑐𝑜𝑛𝑐} = 𝑖₀^𝜋(

2 3𝑅)² 𝜋𝑅² =⁴

9𝑖₀.

4

Quindi si ottiene: 𝐵2𝜋 (²₃𝑅) = µ₀⁴₉𝑖₀  𝐵𝜋𝑅 = µ₀¹₃𝑖₀ 𝐵(𝑃) = µ_03𝜋𝑅^𝑖0 𝐵⃗⃗_𝐸(0,²

3𝑅) = µ₀ ^𝑖0

3𝜋𝑅(+𝑢̂_𝑥) = µ₀ ^𝑖0

3𝜋𝑅𝑢̂_𝑥.

Per il principio di sovrapposizione, il campo totale in P sarà la somma dei due campi prima calcolati e vale:

𝐵⃗⃗_𝑇𝑂𝑇(0,²₃𝑅) = 𝐵⃗⃗_𝐹+ 𝐵⃗⃗_𝐸 = −^3𝜇_2𝜋𝑅^0𝑖0𝑢̂_𝑥+ µ_03𝜋𝑅^𝑖0 𝑢̂_𝑥 =^𝜇_𝜋𝑅^0𝑖0(−³₂+¹₃) 𝑢̂_𝑥 = −⁷₆^𝜇_𝜋𝑅^0𝑖0𝑢̂_𝑥 il cui modulo vale:

𝐵(𝑃) = |𝐵⃗⃗_𝑇𝑂𝑇(³

2𝑅, 0)| =⁷

6 𝜇₀𝑖₀

𝜋𝑅



7𝜇₀ ≈ 1.6029 𝐴 ≈ 1.6 𝐴 Osservazione:

La curva  poteva anche essere definita in senso antiorario: in tal caso la superficie S delimitata dalla curva avrebbe la normale 𝑛̂ uscente dal foglio e quindi concorde con 𝑢̂𝑧.

Il calcolo della circuitazione procederebbe nello stesso modo ∮ 𝐵_𝛤 ⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗= ∮ 𝐵𝑑𝑙 = 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝐵2𝜋 (²

3𝑅 )

𝛤

𝛤 assumendo

che 𝐵⃗⃗ sia concorde con 𝑑𝑙⃗.

Invece il calcolo della corrente concatenata deve tener conto che la corrente nel conduttore è opposta alla normale 𝑛̂ e quindi 𝑖_{𝑐𝑜𝑛𝑐}= −𝑖₀^𝜋(

2 3𝑅)²

𝜋𝑅² = −⁴₉𝑖₀ da cui 𝐵 = −µ_03𝜋𝑅^𝑖0 , e il segno meno indica che 𝐵⃗⃗ ha verso opposto a 𝑑𝑙⃗, quindi consistente con quanto svolto sopra.

5

In effetti dividendo la corrente totale distribuita uniformemente per l’area del conduttore si trova il modulo del vettore densità di corrente |𝑗⃗| =_𝜋𝑅^𝑖0₂ che nel presente caso è uniforme e il flusso di 𝑗⃗ sulla superficie S è proprio la corrente concatenata con linea

𝑖_{𝑐𝑜𝑛𝑐} = Φ(𝑗⃗) = ∫ 𝑗⃗ ∙ 𝑛̂ 𝑑𝑆_𝑆 = ∫ ±|𝑗⃗|𝑑𝑆_𝑆 =±|𝑗⃗| ∫ 𝑑𝑆_𝑆 = ±|𝑗⃗| 𝑆 = ±|𝑗⃗| 𝜋 (²

3𝑅)² E il risultato ha un segno che dipende se 𝑗⃗ e 𝑛̂ sono concordi (+) o discordi (−).