CAPI TOLO 3 DI MENSI ONAMENTO I DRAULI CO DELLE CONDOTTE

CAPI TOLO 3

DI MENSI ONAMENTO I DRAULI CO DELLE CONDOTTE

I sist em i di condot t e di adduzione carat t erizzat i dalla presenza di una unica font e di alim ent azione e da vari punt i di arrivo sono del t ipo ram ificat o apert o. Esist ono, m a sono sem pre più rari nelle nuov e realizzazioni, anche addut t ori unicursali nei quali è present e un solo punt o di presa ed un so- lo punt o di consegna. I sist em i ram ificat i sono cost it uit i dall’insiem e di più t ronchi ognuno dei quali è carat t erizzat o dalla lunghezza, dalla port at a di esercizio, dal diam et ro e dal t ipo di m at eriale del- le t ubazioni, dalle pressioni di esercizio, dal cost o per unit à di sviluppo.

I n un sist em a ram ificat o cost it uit o da un solo punt o di im m issione della port at a com plessiva addot - t a, n t ronchi ed m est rem i di erogazione il num ero dei nodi del sist em a risult a pari a n- m . La per dit a di carico

δ

i nel generico t ronco i- esim o della ret e è funzione di:

δ

i =

ƒ

( Q_i², L_i ,D_i ,k_i )

Qi portata del tronco i-esim o Li lunghezza del tronco i-esim o

k_i coefficient e di scabrezza della t ubazione del t ronco i- esim o Di diam etro del tronco i-esim o

PROBLEMI DI VERI FI CA :

Sono not i per ogni t ronco Qi, Li, Di ed ki che consentono di determ inare il correlato valore della perdit a di carico

δ

_i.

PROBLEMI DI PROGETTO:

Sono not i per ogni t ronco Qi, Li ed ki ; inoltre sono prestabilite le quote piezom etriche del punto S e degli m est rem i di erogazione rappr esent at e dalle quot e di sfioro e, per t ant o, risult ano not i i di- slivelli piezom et rici

∆

y t ra il punt o S e gli est rem i del sist em a di adduzione. Det t i dislivelli sono il carico m ot ore disponibile per addurr e l'acqua da S agli m punt i est rem i. Rest ano incognit i i diam et ri Di .

Vale la relazione δ_i =10,2936 Q_i²k_i⁻²D_i^−5,33 L_i [ 1]

con

δ

_i perdit e di carico delle singole condot t e r ealizzant i il percorso che port a da S ad un est rem o di erogazione. Le uniche equazioni idrauliche indipendent i che possono esser e scrit t e sono

y = Σδi

∆ di num ero pari al num ero degli est rem i m , cui l'insiem e dei diam et ri Di, di num ero pari a

n, dev e soddisfare. Pert ant o, n sono le incognit e ( i diam et ri degli n t ronchi) , m sono le equazione ed n - m sono le incognit e sov rabbondant i. Le sole equazioni dell'idraulica non sono sufficient i per la det erm inazione univ oca dei diam et ri del sist em a addut t or e.

ADDUTTORE RAMI FI CATO CON DUE PUNTI DI CONSEGNA

Nella Figura 1 sono riport at i il profilo e la planim et ria di un sist em a ram ificat o elem ent are, con u- nico punt o di presa, S, e due dist int i punt i di consegna, A e B.

La ret e risult a cost it uit a da soli t re t ronchi, SC, CA,CB e da un unico nodo di diram azione C.

Figura 1. Schem a addut t or e ram ificat o con due t ronchi

I ndicando con

δ

la perdit a di carico carat t erist ica di t ronco, si possono scrivere per il sist em a solo due equazioni idrauliche indipendent i

CB SC SB

CA SC SA

δ + δ

=

∆

δ + δ

=

∆ [ a]

L'equazione della cont inuit à idraulica nodale, essendo la ret e apert a, risult a a priori soddisfat t a:

0 Q_i = Σ Not i pert ant o:

le port at e t ransit ant i nei t re t ronchi le lunghezze dei t re t ronchi

i m at eriali delle t ubazioni adot t at e i disliv elli ∆_SA , ∆_SB

le due equazioni idrauliche indipendent i non risult ano sufficient i per la det er m inazione univ oca dei diam et ri dei t re t ronchi della ret e di adduzione. Un prim o m et odo di risoluzione, det t o eurist ico ¹,

Nell’uno o nell’alt ro caso si perviene alla det erm inazione di un v alore Y della quot a piezom et rica nel nodo C in m odo t ale che risult i inferiore al v alore della quot a piezom et rica in S e superiore al v a- lore della quot a piezom et rica sia in A che in B,

Definit a la cadent e J= Y/ L, per ognuno dei t re t ronchi, a m ezzo della J = 10,2936Q²k⁻²D^−5,33si perviene alla det erm inazione dei diam et ri t eorici Di (D1 ⇒ SC, D2 ⇒ CA e D3 ⇒ CB), a ciascuno dei quali verranno sost it uit i, com e det t o precedent em ent e, due diam et ri com m erciali DN₁ e DN₂ im m ediat am ent e inferiori e superiori a Di.

33 , 5

1 CB

2 3 3 2 3 3

33 , 5

1 CA

2 2 2 2 2 2

33 , 5

1 SC

2 1 1 2 1 1

L Q k 2936 , D 10

L Q k 2936 , D 10

L Q k 2936 , D 10

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= δ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= δ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= δ

−

−

−

[ b]

ESEM PI O n .5

Det erm inare, per il sist em a riport at o in figura, la dist ribuzione di diam et ri com m erciali che soddisfi- no la condizione di adduzione a gravit à .

Le soluzioni idraulicam ent e possibili sono t ut t e quelle ricom prese t ra il m inim o e m assim o v alore della perdit a di carico δ_SC che soddisfino la condizione di adduzione a gravit à.

a.Definizione dei diam et ri am m issibili per ciascun t ronco

Prelim inarm ent e v engono det erm inat i diam et ri com m erciali, idraulicam ent e com pat ibili, fissando a priori le velocit à m inim e e m assim e am m issibili : 0,5 m / s e 3,5 m / s.

Tabella I

Tronc o Port at a Vmin Dmax DN max Vmax Dmin DN min

l/ s m / s m m / s m

SC 150 0, 5 0, 618 6 0 0 3, 5 0, 234 2 5 0

CA 50 0, 5 0, 357 3 5 0 3, 5 0, 135 1 2 5

CB 100 0, 5 0, 505 5 0 0 3, 5 0, 191 2 0 0

b. Cost o delle t ubazioni

Poiché il cost o dell'int ervent o dipendent e in m assim a part e dalla fornit ura delle t ubazioni si rilev a- no, da list ini aggiornat i, i prezzi a m et ro lineare dei t ubi di acciaio saldat i :

Tabella I I ²

DN €/ m DN €/ m DN €/ m

1 2 5 26,80 3 0 0 92,60 5 0 0 155,80 1 5 0 32,40 3 5 0 108,60 6 0 0 187,60 2 0 0 52,80 4 0 0 124,40

2 5 0 73,80 4 5 0 140,00

c. Det erm inazione dei diam et ri

Nelle seguent i t abelle I I I - I V e V sono riport at i i risult at i di t re elaborazioni relat ive a t re esem pi, nei quali, pur v ariando le condizioni iniziali, è st at a cont rollat a la condizione che sul nodo di dira- m azione deve sussist ere : q_S > q_C > q_A .

I l coefficient e di scabrezza assunt o k= 70 è riferit o alla condizione di t ubazione usat a .

c.1. V ie n e fissa t a la qu ot a pie z om e t r ica in C, pa r i a 9 1 5 ,0 0 m s.m . .Rest a definit o sia il va- lore della perdit a di carico

δ

_SC= 15 m ( t ra il serbat oio S ed il nodo C) e sia

δ

_CA= 20 m ( dal nodo C al serbat oio A) , sia

δ

_CB= 46 m ( dal nodo C al nodo B)

Tabella I I I

δ SC= 15,00 m LSC= 5.607,00 m QT= 0,150 m³/s Costo unitario Costo Totale k= 75

DN[500] 0,495 [X] 155,80

J= 0,00268 Di= 0,457

DN[450] 0,444 [Y] 140,00

J[X]= 0,00175 X= 1815,42 m 3,17 m 282.841,89

J[Y]= 0,00312 Y= 3791,58 m 11,83 m 530.821,69

L= 5607,00 m 15,00 m

δCA= 20,00 m LCA= 4.168,00 m QA= 0,050 m³/s

DN[300] 0,312 [X] 92,60

J= 0,00480 Di= 0,271

DN[250] 0,262 [Y] 73,80

J[X]= 0,00227 X= 1154,08 m 2,62 m 106.867,63

J[Y]= 0,00577 Y= 3013,92 m 17,38 m 222.427,44

L= 4168,00 m 20,00 m

Quota nodo C 915,00

δ CB= 46,00 m LCB= 6.590,00 m QB= 0,100 m³/s

DN[350] 0,343 [X] 108,60

J= 0,00698 Di= 0,328

DN[300] 0,312 [Y] 92,60

J[X]= 0,00549 X= 3859,42 m 21,18 m 419.133,17

J[Y]= 0,00909 Y= 2730,58 m 24,82 m 252.851,57

L= 6590,00 m 46,00 m

€ 1.814.943,39

c.2. V ie ne a sse gn a t o il dia m e t r o D N 2 5 0 , u n ico pe r la t r a t t a CA. Calcolat a la perdit a di cari- co

δ

CA , rest ano definit e sia la quot a piezom et rica sul Nodo C , la perdit a

δ

_CB e la per dit a

δ

_SC . I n- fine si det erm inano i diam et ri com m erciali e le rispet t iv e lunghezze t ali da realizzare le perdit e di carico precedent em ent e ricavat e.

Tabella I V

DN[250] 0,262 73,80

J= 0,00577 δ CA= 24,03 m

L= 4168,00 m 24,03 m 307.598,40

Quota Nodo C 919,03

δ SC= 10,97 m LSC= 5.607,00 m QT= 0,150 m³/s

DN[500] 0,495 [X] 155,80

J= 0,00196 Di= 0,485

DN[450] 0,444 [Y] 140,00

J[X]= 0,00175 X= 4753,29 m 8,31 m 740.563,31

J[Y]= 0,00312 Y= 853,71 m 2,66 m 119.518,75

L= 5607,00 m 10,97 m

δ CB= 50,03 m LCB= 6590,00 m QB= 0,100 m³/s

DN[350] 0,343 [X] 108,60

J= 0,00759 Di= 0,323

DN[300] 0,312 [Y] 92,60

J[X]= 0,00549 X= 2740,90 m 15,04 m 297.661,94

J[Y]= 0,00909 Y= 3849,10 m 34,99 m 356.426,49

L= 6590,00 m 50,03 m

€ 1.821.768,88

c.3. Si dim ensiona la t rat t a CB con una condot t a ad unico diam et ro DN 350. I n m odo analogo a quant o descrit t o al precedent e punt o c.2. si risale alla dist ribuzione di diam et ri com m erciali ed agli sviluppi delle condot t e che realizzano le perdit a di carico conseguent i.

Tabella V

LCB= 6590,00 m QB= 0,100 m³/s Costo Unitario Costo Totale

DN[350] 0,343 108,60

J= 0,00549 δ CB= 36,16 m

L= 6590,00 m 36,16 m 715.674,00

Quota Nodo C 905,16

δ CA= 10,16 m LCA= 4.168,00 m QA= 0,050 m³/s

DN[300] 0,312 [X] 92,60

J= 0,00244 Di= 0,308

DN[250] 0,262 [Y] 73,80

J[X]= 0,00227 X= 3971,46 m 9,03 m 367.757,50

J[Y]= 0,00577 Y= 196,54 m 1,13 m 14.504,41

L= 4168,00 m 10,16 m

δ SC= 24,84 m LSC= 5607,00 m QT= 0,150 m³/s

DN[450] 0,444 [X] 140,00

J= 0,00443 Di= 0,416

DN[400] 0,394 [Y] 124,40

J[X]= 0,00312 X= 2960,90 m 9,24 m 414.526,00

J[Y]= 0,00590 Y= 2646,10 m 15,60 m 329.174,84

L= 5607,00 m 24,84 m

€ 1.841.636,75

Dalla com par azione dei cost i delle t re soluzioni propost e, t ut t e idraulicam ent e soddisfat t e, si evince che la soluzione di m inore cost o t r a qu e lle e sa m in a t e è la prim a m a non lo è in assolut o .

SOLUZI ONE DI MI NI MO COSTO

I n presenza di sist em i ram ificat i, l’applicazione a t ut t i i nodi del crit erio indicat o nel paragrafo pre- cedent e, ben difficilm ent e, anche in pr esenza di pr oget t ist i espert i, può por t are a soluzioni che ri- vest ono carat t ere di econom icit à m assim a.

I l dim ensionam ent o idraulico di una r et e ad incognit e sovrabbondant i può essere conseguit o consi- derando, unit am ent e alle equazioni di carat t ere idr aulico ∆y =Σδ_i, equazioni di carat t ere econom i- co, idonee al conseguim ent o della soluzione di m inim o cost o.

Va com unque t enut o present e che nel caso di sist em i ram ificat i lim it at am ent e com plessi le soluzio- ne alle quali si perviene adot t ando i crit eri di m assim a econom ia com port ano risparm i che rara- m ent e super ano il 5% ÷ 10% rispet t o a soluzioni conseguit e con m et odi m eram ent e eurist ici. Con riferim ent o alla Figura 2 si fissi l’at t enzione sul nodo di diram azione C int eso com e punt o di ingres- so e di uscit a non più di port at e m a di flussi econom ici dipendent i dai cost i di cost ruzione Ci di cia- scun t ronco . L’ult eriore equazione da associare alle due equazioni idrauliche indipendent i

CB SC SB

CA SC SA

δ + δ

=

∆

δ + δ

=

∆ [ a]

deriv erà da un bilanciam ent o dei cost i m inim i C’, ent rant e ed uscent i dai nodi di diram azione, in m odo t ale che sia soddisfat t a la relazione :

'CB 'CA

'SC C C

C = + [ b]

Figura 2. Bilanciam ent o dei cost i m inim i

Nel cost o unit ario di ciascun t ronco concorrono v ari elem ent i quali la fornit ura delle t ubazioni, gli scav i per la realizzazione della posa, il m ont aggio e la posa in opera delle condot t e, il cost o di ope- re com plem ent ari ( ancoraggi, at t raver sam ent i, pozzet t i, ecc.) Alcuni di quest i elem ent i sono indi- pendent i dalle dim ensioni della t ubazione alt ri, invece, dipendono in m odo proporzionale al peso, funzione dello spessore e del diam et ro della condot t a . Pert ant o la funzione cost o t ot ale C della ret e è esprim ibile dalla som m a dei cost i di ciascun t ronco C_i realizzat o con una condot t a di diam et ro DNi

) DN ( C

C= Σ _{i i} [ c]

Ricordat o che per un’assegnat a port at a Q ad un diam et ro DNi corrisponde, a parità di coefficiente di scabrezza k e lunghezza della condot t a Li, un unico valore della perdita di carico

δ

_i

2 i 33 , 5 2 i

i i

i =J ⋅L =10,2936⋅Q ⋅DN ⋅k ⋅L

δ ^{− −} [ d]

il legam e univoco espresso dalla [ d] port a a riscrivere la [ c] com e : ) ( C ) DN ( C

C = Σ _{i i} = Σ _i δ_i [ e]

con sost it uzione della variabile DNi (diam etro della generica condotta i-esim a) con la variabile

δ

_i ( corrispondent e perdit a di carico ) .

Qualora si procedesse alla ricerca della m assim a econom ia al sist em a cost it uit a dalle t re relazioni:

( ) ( ) ( )

0 C

C 0 C 0

3 3 3

2 2 2

1 1 1

δ =

∂ δ

∂ δ =

∂ δ

∂ δ =

∂ δ

∂

conseguirebbero la soluzione

δ

₁₌

δ

₂₌

δ

3= 0 , ossia, D1= D2= D3= 0

La soluzione v iene conseguit a ricorrendo alla procedura det t a del “ m inim o condizionat o” o di La- grange, che fa riferim ent o all’equazione di cost o

ψ

in cui com paiono m olt iplica t or i in de t e r m in a - t i λ_A e λ_B di som m e t ut t e pari a zero.

0 )

( C

0 )

( C

0 )

( C

B ' CB

CB CB

A ' CA

I A CA

B A ' SC

SC SC

= λ + δ

∂δ =

∂ψ

= λ + δ

∂δ =

∂ψ

= λ + λ + δ

∂δ =

∂ψ

[ g]

Elim inando le v ariabili

λ

si ot t iene in definit iva:

) ( C ) ( C ) (

C^'_SC δ_SC = ^'_CA δ_CA + ^'_CB δ_CB [ h]

Per la det erm inazione della funzione Ci (δi) dovranno essere svolte, tronco per tronco, analisi di cost o relat ive ad un gruppo di diam et ri dist ribuit i nel presum ibile cam po di ut ilizzazione .

Un crit erio da seguire è quello di definire, per un’assegnat a por t at a Qi, i valori m inim i e m assim i di v elocit à; rest ano per t ant o definit i gli est rem i del cam po di v ariazione delle probabili t ubazioni com m erciali da ut ilizzare. A quest e corrisponderanno, olt re il cost o per m et ro, perdit e di carico

δ

_i

per assegnat i valori della port at a, della scabrezza ki e lunghezza Li di ogni tronco.

A t it olo di esem pio nella seguent e Tabella I per la port at a di 250 l/ s, am m essa una velocit à in condot t a com presa t ra 1÷ 3,5 m / s, sono riport at i, rispet t ivam ent e, i diam et ri com m erciali DN , i diam et ri int erni, le sezioni bagnat e, i v alori delle velocit à, le perdit e di carico di un t ronco unit ario di condot t a( in uso corrent e - scabrezza k= 90) ed infine il cost o per m et ro

Tabella I

DN Di ω V Perdit e δ_ι Cost o

m m m² m / s m €/ m

300 312 0,0764 3,3 0,158 92,60

350 343 0,0924 2,7 0,095 108,60

400 394 0,1219 2,1 0,046 124,40

450 444 0,1548 1,6 0,024 140,00

500 495 0,1923 1,3 0,013 155,80

600 597 0,2798 0,9 0,005 187,60

Riport ando in un sist em a di assi coor dinat i cost i – pe r dit e i v alori det erm inat i e riassunt i nella precedent e Tabella I , risult ano int erpolabili con un’equazione polinom iale int era del secondo ordi- ne :

i i 2 i i i

i r s t

c = δ + δ + [ i]

Classe DN3 0 0 - DN6 00 Ci = 5072,8δ² - 1331, 7δ + 179,4 R² = 0, 9146

50 100 150 200

0, 00 0, 05 0, 10 0, 15 0, 20

δ Perdite di carico [m H2O]

Ci Costo tubazioni [€]

Figura 3. Andam ent o della funzione ci (δi) cost o/ m et ro – perdit e

La derivat a prim a della [ i] , che ne esprim e il m inim o, risult a:

c^'_i =2r_iδ_i +s_i=2⋅5072,8δ−1331,7 [ l]

quest a sost it uit a nella precedent e [ i] fornisce una nuova form a della equazione econom ica:

2r_SC

δ

_{SC + sSC} = 2r_CA

δ

_{CA + sCA + 2r CB}

δ

_{CB + s CB} [ m ] Pert ant o associando alle due equazioni idrauliche [ a] l’equazione econom ica [ m ] si realizza un si- st em a di t re equazioni nelle t re incognit e

δ

_{i .}

CB SC SB

CA SC SA

δ + δ

=

∆

δ + δ

=

∆ [ n]

2r_SC

δ

_{SC + sSC} = 2r_CA

δ

_{CA + sCA + 2r CB}

δ

_{CB + s CB} Non rest a che ricercare il m odo per esplicit are la funzione 2ri

δ

_{i+ si .}

C

ASO DELLE

C

ONDOTTE METALLI CHE

I n presenza di condot t e m et alliche ( acciaio e ghisa) la dipendenza del peso per unit à di sviluppo del t ronco i- esim o w i [ kg/ m ] con il diam etro Di viene espresso con la relazione interpolare :

w_i = a_i D_i^νi [ o]

con ai e νi, param etri facilm ente determ inabili una volta note le caratteristiche di peso delle tuba- zioni, desum ibili dai bollet t ini com m erciali dei produt t ori. ( Figura 4)

Riport at i i v alori del peso wi (kg/ m ) in funzione dei correlati diam etri com m erciali D(m ), ricono- sciut a per l’espressione [ o] la funzione int erpolat rice di pot enza, per la det erm inazione dei coeffi- cient i ai e νi, è possibile o seguire il procedim ento analitico o grafico riconducendo la [ o] su un piano bilogarit m ico. Per ogni ret t a int erpolat rice di una serie di valori è possibile definire una rela- zione del t ipo:

i i i

i loga logD

w

log = + ν

il v alore del coefficient e a v errà let t o in corrispondenza del prolungam ent o della ret t a int erpola- t rice sulla vert icale per DN= 1 m .

I l coefficient e ν, pari alla pendenza della retta, è ricavabile o graficam ente dalla figura o scri- vendo per gli est rem i di quest a

2 2

1 1

D log a log w log

D log a log w log

ν +

= ν +

=

ed eseguendone la differenza: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ ν ⎛

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2 1 2

1

D log D w

log w

Fissat o il cost o per unit à di peso del m at eriale Γi [ €/ kg] , il costo per unità di lunghezza del tronco