Teoria dei Segnali -Mauro Fadda [email protected] Fadda ([email protected])Università degli Studi di Sassari Corso di Laurea in Ingegneria InformaticaCrediti: 6

Mauro Fadda ([email protected])

Università degli Studi di Sassari Corso di Laurea in Ingegneria Informatica

Crediti: 6

Serie di Fourier

 

/ 2

1 ^T

Un segnale v(t) periodico è un segnale di potenza, reale o complesso, che assume ripetutamente gli stessi valori a distanza multipla di un intervallo temporale denominato periodo

Per i segnali periodici esiste una forma di rappresentazione

basata sulla conoscenza di una serie infinita di coefficienti

complessi {C _n } denominati coefficienti di Fourier, calcolabili

a partire da un periodo del segnale come

Serie di Fourier

I coefficienti complessi {C _n } permettono   la ricostruzione di

v(t) nella forma di una combinazione lineare di infinite

funzioni esponenziali complesse e ^{j2πn t} , mediante

l’espressione nota come serie di Fourier

Serie di Fourier

La conoscenza di {C _n } equivale a quella di v(t) e viceversa, esistendo il modo di passare dall’una all’altra rappresentazione

Le funzioni della base di rappresentazione e ^{j2πn t} sono funzioni trigonometriche a frequenza multipla (n-esima) della fondamentale, detta anche n-esima armonica

La somma dei termini simmetrici C _n e ^{j2πn t}  +  C _-n e ^{-j2πn t} è

detta componente armonica di v(t) a frequenza f = nf e, se

Proprietà UNO (1)

Righe spettrali a frequenze armoniche della frequenza fondamentale

T 0

0 0

1

f  T

Proprietà UNO (P1)

w(f)

f 0

f 0 0 

 3 f 3 f ₀

Tutte le frequenze sono multiple intere (armoniche) della frequenza fondamentale f0.

Tutte le linee spettrale sono posizionate alle frequenze nf0.

Proprietà DUE (P2)

• La componente continua (DC) è la media del

segnale

Proprietà TRE (P3)

• Se v(t) è un segnale reale

– Spettro d’ampiezza  simmetria pari – Spettro delle fasi  simmetria dispari

) ( )

( x y x y  

) ( )

( x y x

y   

SINC

 

T f n j

T f n e j

T e f n c j

e f e

n j

c T

dt T e

c

T f n j T

f n j

f T n T j

f n j

T

T

t f n j



















2

) sin(

2 2

1 2

1 1

2 2 2 2

2 /

2 /

2







 





 



 











 

) (

) sinc

sin( n f T

T f n

T f

c  n 







 ) ^sin(  ⁾ (

sinc 

sinc



 ) ^sin(  ⁾ (

sinc 



|sinc|



 ) ^sin(  ⁾

(

sinc 



Treno di impulsi rettangolari

Treno di impulsi rettangolari

Esercizio

Come cambia lo spettro del treno di impulsi rettangolari in questi tre casi?

0 0 0

2

5 T T

T  

  



Teorema di Parseval

La potenza media è uguale alla somma dei quadrati delle ampiezze delle righe dello spettro del segnale!  Sovrapposizione delle potenze

  ^











n

T v t dt c n

t T v

P ^{2 2}

0 2

0

) 1 (

)

(

Segnali non-periodici

• Segnali di energia: esiste finito l’integrale

  ^ 

 v t dt

E ( ) ²

Impulso rettangolare (NON E’ UN

Trasformata di Fourier

  ^ 

 

 F v t v t e dt

f

V ( ) [ ( )] ( ) ^{j 2  ft}

  ^ 

 

 F V f V f e df

t

v ( ) ¹ [ ( )] ( ) ^{j 2  ft}

Spettro continuo

Trasformata di Fourier - Proprietà

• V(f) è una funzione complessa

• V(0) è l’area di v(t)

• Se v(t) è un segnale reale

– Spettro d’ampiezza  simmetria pari

– Spettro delle fasi  simmetria dispari

ovvero, simmetria Hermitiana

Esercizio

• Determinare lo spettro dell’impulso rettangolare in figura

1

Esercizio: soluzione

Teorema di Rayleigh

df f

V df

f V

f V

dt t

v dt

t v

t v E _v











































2 2

) (

) (

* )

(

) ( )

(

* )

(

Teorema di Rayleigh

• Densità spettrale di energia

• L’integrale nel dominio del tempo è spesso più semplice

• La maggior parte dell’energia di un dato segnale dovrebbe essere contenuta nell’intervallo di frequenze considerate come larghezza spettrale (banda).

) 2

( )

( f V f

G 

Teoremi Trasformata Fourier

• Dualità

• Sovrapposizione

) (

) (

) (

) (

f v

t V

f V

t v









 ^

k

k k

k

k

k v t a V f

a ( ) ( )

Teoremi trasformata Fourier

• Ritardo

• Cambio scala

t d

j

d V f e

t t

v (  )  ( ) ^{ }

 

 



 



 t  V ^f

v 1

)

(

Teoremi trasformata Fourier

• Traslazione in frequenza

) (

)

( t e ^{j t} V f f _c

v ^

 

Modulazione

In telecomunicazioni con il termine modulazione si indica l'insieme delle tecniche di trasmissione finalizzate ad imprimere un segnale, detto modulante, generalmente contenente informazione variabile aleatoriamente nel tempo, su un altro segnale, detto portante, sviluppato ad alta frequenza

Il risultato della modulazione è la conversione del segnale

modulante dalla banda base alla cosiddetta banda traslata

(segnale modulato), secondo il teorema della modulazione

Modulazione

L'operazione inversa di ripristino del segnale informativo originario in banda base è detta demodulazione

Il dispositivo in trasmissione che attua l'operazione di modulazione sul segnale informativo è detto modulatore, mentre il dispositivo in ricezione che attua l'operazione di demodulazione è detto demodulatore, compresi rispettivamente nel trasmettitore e nel ricevitore

In un sistema di ricetrasmissione tali sistemi vengono riuniti

entrambi sotto la dizione Modem (dalla composizione di

MOdulazione e DEModulazione)

Modulazione

L'onda portante è un'onda elettromagnetica o un segnale elettrico a frequenza ben determinata (molto maggiore della frequenza del segnale modulante), che può essere trasmessa in aria o nel vuoto (ad es. nelle radiocomunicazioni), o tramite altro mezzo fisico (ad es. un cavo elettrico)

In caso di comunicazioni in fibra ottica la portante è la

radiazione laser la cui frequenza è tipicamente espressa

come lunghezza d'onda

Modulazione

L'onda portante è un'onda elettromagnetica o un segnale elettrico a frequenza ben determinata (molto maggiore della frequenza del segnale modulante), che può essere trasmessa in aria o nel vuoto (ad es. nelle radiocomunicazioni), o tramite altro mezzo fisico (ad es. un cavo elettrico)

In caso di comunicazioni in fibra ottica la portante è la

radiazione laser la cui frequenza è tipicamente espressa

come lunghezza d'onda

Teorema della Modulazione

0

Sia v(t) un segnale in banda base con spettro di ampiezza V(f) lo spettro in banda traslata si ottiene dalla seguente operazione

Per l'operazione inversa di demodulazione, ovvero da

'banda traslata' a 'banda base', basta semplicemente

rimoltiplicare il segnale ottenuto ancora per e

trasformare nuovamente secondo Fourier

Teorema della Modulazione

) 2 (

) 2 (

) cos(

)

( _c

j c

j

c e V f f

f f

e V t

t

v     ^   ^{ } 

Modulazione di Ampiezza (AM)

La modulazione di ampiezza AM (Amplitude Modulation) si ottiene facendo variare l’ampiezza della portante in misura proporzionale al segnale modulante. Il messaggio informativo contenuto nel modulato è quindi costituito dalle variazioni dell’ampiezza.

modulante → v

(t)=V

cos(ω

t) portante → v

(t) = V

cos(ω

t)

modulato →v(t)=[V

+ K

V

cos(ω

t)]cos(ω

t)

K

è una costante che dipende dal modulatore Possiamo supporre per comodità che K

=1

Un parametro significativo è l’indice o profondità di modulazione m = K

V

/ V

In genere il valore del coefficiente m è compreso tra 0 e 1

Modulazione di Frequenza (FM)

La modulazione di frequenza consiste nel far variare la frequenza del segnale portante in misura proporzionale all’ampiezza del segnale modulante

Supponiamo che il modulante sia sinusoidale, anche se formalmente espresso come coseno, e una portante anch’essa di tipo sinusoidale

modulante → v

(t)=V

cos(ω

t) portante → v

(t) = V

sen(ω

t)

La pulsazione istantanea del segnale modulato è data da

ω

(t) = ω

+ K cos(ω

t)

dove K [Hz/V] è una costante di proporzionalità

Modulazione di Frequenza (FM)

È interessante valutare la differenza (∆f) tra la frequenza della portante modulata e la frequenza della portante non modulata

f

(t) = f

+ K v

(t)

ω

(t) = 2πf = ω

+ K

V

cos(ω

t) dove K

= 2πK è la costante di proporzionalità del modulatore

∆f = K V

= K

V

/ 2π

Poiché la variazione di frequenza prodotta nel segnale portante provoca una variazione nel tempo della fase istantanea θ, possiamo esprimere analiticamente il segnale modulato con la seguente espressione

v

(t) = V

sen[θ

(t)]

Modulazione di Frequenza (FM)

Tenendo presente che tra i valori istantanei della pulsazione e della fase vi è la seguente relazione

ω

(t) = dθ

(t) / dt possiamo scrivere che

v

(t) = V

sen[ω

+ (K

V

/ ω

) sen(ω

t) ] Un parametro molto significativo è l’indice di modulazione

m = K

V

/ ω

= ∆f / f

Sostituendo l’indice m nell’espressione della v(t) si ha

v

(t) = V

sen[ω

+ m sen(ω

t) ]

Modulazione

B X

A

C

Modulatore AM

Teoremi trasformata Fourier

• Derivata

• Integrale

) ( )

( )

( t j V f

dt v

d _n

n

n  

) 1 (

)

( V f

d j v

t

 

 

 



0 )

( )

0 (

se  ^  







 d v

V

Esercizio

• Data una sinusoide di durata finita (Impulso a

radio frequenza), determinare lo spettro

Soluzione

• Spettro dell’impulso rettangolare

1

Soluzione

• Dal teorema di modulazione

Impulso triangolare

Tabella funzioni

Funzione 1/5: sinc

t t t



 ) ) sin(

(

sinc 

Funzione 2/5: segno

Funzione 3/5: gradino

Funzione 4/5: impulso rettangolare

1

Funzione 5/5: impulso triangolare

Esercizio: Trovare Z(f)

Soluzione

) (

* )

(

* t V f

v  

) (

) (

) (

) (

f v

t V

f V

t v







Funzione delta Dirac

• Funzioni generalizzate (Distribuzioni)

• Impulso unitario

 t

^t

^{( ) ( ) } _ ^{  (} ₀ ^{0 )} altrimenti ^{1  0  2} t t

dt v t

t v 

1 )

( )

(   

  ^  ^{ }



 

 t dt t dt  piccolo a piacere

A(t-t _d )

Impulso di area A all’istante t _d

Integrale di convoluzione







 









 ^{w t d}

v t

z

t w

t v

t z

) (

) (

) (

) (

* )

( )

(

Proprietà della convoluzione

Teoremi di convoluzione

) (

* )

( )

( )

(

) (

) (

) (

* )

(

f W

f V

t w

t v

f W

f V

t w

t v





Convoluzione grafica (1/3)

Convoluzione grafica (2/3)

Convoluzione grafica (3/3)

• Soluzione

Banda del segnale e del canale

La banda B

misura la velocità del segnale

La banda B misura la velocità del canale di trasmissione. La banda di un

S CANALE D

B S B _C

Impulsi unitari nel tempo (0)

Impulso in frequenza (W0)

  



 



 





 W

f W

f A V

A t

v ( ) sinc 2Wt ( ) 2 2

) (t v

f A/2W

) ( f V

 0

W W  0

Impulso nel tempo (W)

) (t v

f

-W +W

A/2W

) ( f V





 W

 W

  



 



 





 W

A f f

V AW

t

v ( ) 2 sinc 2Wt ( ) 2

Impulsi in frequenza

) ( f A

A  

)

( _c

t

j A f f

Ae ^{ c}   

) 2 (

) 2 (

)

cos( _c

j c

j

c Ae f f

f Ae f

t

A     ^    ^{ }  

Spettro di una costante

Spettro di un fasore

Spettro di una sinusoide

Impulso unitario

• Funzione delta Dirac  funzioni generalizzate o distribuzioni

 t ₁ ^{t 2 ( ) ( ) } _ ^{  (} ₀ ^{0 )} altrimenti ^{1  0  2} t t

dt v t

t v 

1 )

( )

(  ^ 











 

 t dt t dt

Proprietà

) (

) (

* )

( t t t _d v t t _d

v    

) (

) (

)

( t t t _d dt v t _d

v  

  ^  

) (

) (

) (

)

( t t t _d v t _d t t _d

v     

1  





Replica

Campionamento

Spettro continuo

)

( f

V

Esercizio

• Determinare lo spettro del segnale

Soluzione

Sistemi Lineari Tempo Invarianti

• Principio di sovrapposizione

• Tempo-Invarianza

Sistemi LTI

• Descriviamo il sistema O attraverso la risposta

impulsiva (risposta all’impulso), ovvero l’uscita

del sistema quando l’ingresso è un impulso

Sistemi LTI

Sistemi LTI

Sistemi LTI nel dominio f

) (t h

) ( f ) H

( f

X Y ( f )

) ( )

( )

( t x t h t

y  

) (

) (

)

( f X f H f

Y 

Energia del segnale y(t)

• Se x è un segnale di energia:

) (

) (

)

( f X f H f

Y 

Funzioni di trasferimento

Impulso coseno rialzato

 

 



 

 

 



 



 



 

   

cos 2 2 1

)

( A t t

t

v

Spettro d’ampiezza

dell’impulso coseno rialzato

) 2

2 ( 1

) sinc(2f )

( 





f f A

V  

Impulsi a energia unitaria

• Rettangolare

• Triangolare

• Coseno rialzato

  ^t

t

x  

2 ) 3

(

  ^t

t

x ( )  

 

 

 

 

  

 



 2 1 cos   

)

( t t

t v

 1

1 

 A

2

 3 A

 2

A

Densità spettrali di energia

• G(f)

1 1.5 2 2.5

G(f) del rettangolo G(f) del triangolo G(f) del coseno rialzato

Connessione in parallelo

Connessione a cascata

Connessione con retroazione