CAPITOLO 1 Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI)

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CAPITOLO 1

Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche

di imaging in NMR (MRI)

1.1 Proprietà magnetiche dei nuclei

Moderne teorie quantistiche rivelano che alcuni nuclei atomici posseggono una proprietà nota come spin. Per cercare di visualizzare tale spin, si potrebbe immaginare un protone di un nucleo come una piccola sfera di carica distribuita positiva che ruota ad alta velocità intorno al suo asse. Il protone ha massa, quindi la sua rotazione genera un momento angolare; anche altre particelle, come gli elettroni, sono caratterizzate da un momento angolare associato al loro moto orbitale. La carica elettrica del protone è distribuita in questa piccola sfera e ciò comporta una carica elettrica netta che circola intorno al suo asse, come illustrato nella fig 1.1; questa corrente genera un campo magnetico. I neutroni possono essere anche pensati come una sfera di cariche positive e negative non uniformemente distribuite, quindi anche tali particelle contribuiscono alla generazione di un campo magnetico. Questi piccoli campi magnetici sono chiamati “momenti magnetici” e sono indicati mediante il simbolo µ. La relazione tra il momento angolare J e il momento magnetico µdi un nucleo è data da

µ=γJ

dove γ è una costante caratteristica dello specifico nucleo ed è indicata come

rapporto giromagnetico [1] .

Figura 1.1 - Momento magnetico generato dalla carica distribuita del protone nel moto di rotazione intorno al suo asse

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

µ

(1.1) + + + + + + +

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Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI)

Consideriamo a questo punto un nucleo con due protoni e immaginiamolo come un sistema isolato. Il principio di esclusione di Pauli indica che il momento angolare di ogni protone deve assumere uno stato di spin opposto, in modo tale da evitare una degenerazione di energia; questo può essere capito se analizziamo i due momenti magnetici. Ci sono infatti due possibili dispozioni per il momento angolare e, di conseguenza, anche per il momento magnetico di ogni protone: i momenti magnetici possono infatti essere allineati nello stesso senso, e ciò porta ad una configurazione ad alta energia, oppure nel senso opposto, portando invece in questo caso il sistema in una configurazione a più bassa energia. Come è noto, una configurazione a più bassa energia comporta una maggiore stabilità e quindi i momenti magnetici saranno disposti in senso opposto l’uno rispetto all’altro: questo significa che il momento totale del nucleo è nullo, e dunque non sarà generato alcun momento magnetico; è evidente a questo punto come tali nuclei siano di poco interesse in NMR poiché non interagiscono fortemente con campi magnetici esterni.

Ricapitolando, quindi, tutti i nuclei con un numero dispari di protoni e un numero dispari di neutroni sono caratterizzati da uno spin nucleare: tra questi ricordiamo 1H, 13C, 19F, 23N e 31P, i cui rapporti giromagnetici sono indicati nella tabella 1.1 [1] .

Nucleo 1H 13C 19F 23N 31P

γ/2π (MHz/T) 42.58 10.71 40.08 11.27 17.25

Comunque il nostro interesse si limita allo studio del nucleo 1H, costituito da un unico protone; questo per la sua alta concentrazione nel corpo umano come parte delle molecole di acqua e per la sua elevata “sensibilità” all’ NMR. Per capire tale predisposizione al fenomeno della risonanza magnetica, basti pensare al fatto che vi è un solo elettrone che “protegge” il momento magnetico prodotto dal nucleo; questa mancanza di schermatura è ancora più pronunciata per l’idrogeno nell’acqua a causa della natura ionica del legame O-H. Questo infatti tende ad allontanare, a rimuovere l’elettrone dal nucleo e quindi ha l’effetto di rendere

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quest’ultimo più facilmente alterabile da fenomeni esterni. Obiettivo in NMR è proprio quello di “mandare in risonanza” il nucleo tra stati di energia differenti mediante l’applicazione di campi magnetici esterni.

1.2 Comportamento del nucleo in presenza di un campo

magnetico esterno

Consideriamo dunque l’effetto di un campo magnetico esterno uniforme, riferito genericamente come campo B0, su un protone isolato. Possiamo pensare che il campo sia diretto convenzionalmente nella direzione z; il protone può assumere dunque due posizioni di equilibrio: sia quella in cui la componente lungo z del suo momento magnetico è allineata nello stesso senso del campo B0 , e in questo caso si parla di stato “parallelo”, sia quella in cui invece risulta nel senso opposto, riferita in questo caso come stato “antiparallelo” (vedi fig 1.2)

Figura 1.2 - Possibili stati (parallelo o antiparallelo) del protone in presenza di un campo magnetico esterno

Entrambi gli stati sono considerati stabili, anche se al primo è associata un’energia inferiore al secondo. L’angolo θ0 indicato in figura può essere determinato tramite i valori del momento magnetico µ e della sua componente lungo z µz :

π γ µ 4 3 h = π γ µ 4 h z=

dove h è la costante di Plank pari a 6.629 × 10-34 Js. Quindi si ottiene:

θ0

B

0 _µ

µ

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Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI) ° ≈ =     = − − 7 . 54 3 1 cos cos 1 1 0 µ µz ? .

La differenza di energia tra i due stati stati è

0

2 B

E

=

µ

_z

∆

.

Quindi, se un protone “salta” da uno stato energetico all’altro esso emetterà o assorbirà un fotone di frequenza ν, il cui valore può essere determinato tramite la relazione di Bohr

ν h E=

∆ .

Combinando le equazioni (1.4) e (1.5), si ottiene

L’espressione mette in evidenza come la frequenza sia direttamente proporzionale all’intensità del campo magnetico.

Consideriamo ora l’effetto del campo magnetico impresso sul moto del momento magnetico nucleare.

Assumiamo che all’istante iniziale il momento magnetico µ sia dato da

; )

0

( = xµ_x₀ + yµ_y₀ +zµ_z₀

µ

il momento torcente agente sul campo magnetico è dunque .

0

B µ t = ×

τ è a sua volta legato al momento angolare dalla definizione

.

dt dJ

=

τ

Ricordando la relazione (1.1) otteniamo l’equazione

(

µ B0

)

µ ₌_γ _×

dt d

che si traduce nelle tre equazioni scalari

. 2 0 B h z     = µ ν (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) (1.3) (1.4)

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Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI) . 0 0 0 = − = = dt d B dt d B dt d z x y y z µ γµ µ γµ µ

Combinando le prime due equazioni si ottiene, relativamente alle componenti trasverse, la seguente equazione

( )

₀ 2 0. 2 2 =     +     y x y x B dt d µ µ γ µ µ

Risolvendo le due equazioni differenziali (1.13) e (1.14) con le condizioni iniziali (1.7), otteniamo infine

0 0

0cos sin ) ( cos sin )

( )

(t =x µ_x ωt+µ_y ωt +y µ_y ωt−µ_x ωt +zµ_z

µ

dove ω=γB0. Questa soluzione rappresenta la precessione del momento magnetico intorno all’asse del campo esterno applicato, come evidenziato in fig 1.3; la frequenza di tale moto di precessione è

π γ π ω 2 2 0 B f = =

ed è detta frequenza di Larmor o frequenza risonante del nucleo.

Figura 1.3 - Moto di precessione del protone intorno all’asse di un campo magnetico applicato A questo punto, dall’equazione (1.2) ricaviamo il rapporto giromagnetico come

. 4 h z πµ γ = (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) (1.16)

B

0 µ (1.15) (1.17)

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Sostituendo infine tale risultato nella (1.16) otteniamo la frequenza di Larmor scritta come 0 0 2 2 h B B f µz π γ ₌ = che rappresenta la stessa espressione della frequenza della radiazione scambiata dal protone nella transizione tra lo stato parallelo e quello anti-parallelo [1] .

Consideriamo ora l’effetto di un campo magnetico esterno su un volume di materiale non magnetico. Prima che il campo sia applicato, tutti i nuclei sono orientati in modo casuale, dando origine ad un momento magnetico netto nullo; nel nostro caso trascureremo l’effetto di altri nuclei oltre 1H, poiché per tali nuclei l’effetto magnetico degli spin è pesantemente schermato dagli orbitali elettronici. Una volta applicato il campo magnetico, ogni momento magnetico può allinearsi o lungo il campo stesso oppure nel senso opposto; indichiamo con α quest’ultimo stato, che come già detto è quello a più bassa energia, e con β il primo, che corrisponde invece allo stato a più alta energia. Se Nα è, dunque, la probabilità che un certo nucleo si trovi nello stato α e Nβ è la probabilità che un nucleo si trovi nello stato β, è evidente come risulti

. 1 = + _β α N N

Se il sistema è in equilibrio termico, le probabilità sono regolate dalla statistica di Boltzmann     ∆ = T k E N N B exp β α

dove kB è la costante di Boltzmann pari a 1.3806 × 10-23 JK-1, T è la temperatura assoluta del campione, e ∆E è la differenza di energia tra i due stati; in particolare per i protoni a 20°C, ∆E è dell’ordine di 10-26 J e kBT è dell’ordine di 10-21 J. La (1.20) può quindi essere approssimata come

T k E N N B ∆ + ≈1 β α

che è la cosiddetta “approssimazione ad alta temperatura”. Ponendo Nα≈ Nβ ≈ ½ si ottiene

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(7)

Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI) ; 2k T E N N B ∆ ≈ − _β α

questa quantità rappresenta appunto una stima della percentuale di protoni che sono allineati con il campo magnetico esterno. Il momento magnetico totale per unità di volume, noto anche come magnetizzazione, è di conseguenza

(

)

n z T k E z n N N _z B z µ µ β α 2 ∆ ≈ − = M

dove n è il numero di protoni per unità di volume; questa magnetizzazione è invariante rispetto a variazioni termiche casuali, anche se all’aumentare della temperatura, tale magnetizzazione viene distrutta. Inoltre, poiché ∆E è proporzionale a B0, ne segue che anche M è proporzionale all’intensità del campo magnetico applicato; è auspicabile dunque che sia applicato un B0 più intenso in modo che accresca l’ampiezza della magnetizzazione. In NMR, il segnale RF emesso è ottenuto osservando proprio il moto di precessione del momento magnetico [1] .

1.3 Effetti dell’applicazione di un impulso RF

Esaminiamo ora l’effetto di una radiazione a radiofrequenza sulla magnetizzazione del campione di materia suddetto immerso in un campo magnetico uniforme. Per quanto riguarda l’analisi dal punto di vista analitico, possiamo affermare che, poiché la magnetizzazione totale è direttamente proporzionale al momento magnetico di un unico protone, M obbedisce alle stesse equazioni differenziali di µ.

Quando un campione è posto all’interno di un campo magnetico uniforme orientato in direzione z, esso sviluppa una magnetizzazione netta nella stessa direzione z. Assumiamo ora che all’istante iniziale t=0 questa magnetizzazione sia inclinata in direzione tale che

( )

0 =xM_x₀ +zM_z₀.

M

Ciò che ci aspettiamo è che il vettore magnetizzazione inizi a precessare intorno all’asse del campo magnetico applicato; le equazioni differenziali che governano il moto sono le seguenti

(1.22)

(1.23)

(8)

Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI) 0 0 0 = − = = dt dM B M dt dM B M dt dM z x y y x γ γ

e la soluzione di questo sistema, considerando le condizioni iniziali espresse dalla (1.24), è

(

)

0 0 cos sin z x x t y t zM M − + = ω ω M

dove ω=γB0 è la frequenza angolare di precessione.

La traiettoria del vettore magnetizzazione nel riferimento “laboratorio” è rappresentata in fig 1.4(a). Noi vogliamo però trovare un sistema di riferimento in cui il vettore magnetizzazione risulti stazionario; per consentire questo deve essere z z t y t x y t y t x x r r r r = + = − = ' cos sin ' sin cos ' ω ω ω ω

dove ωr è la frequenza angolare del sistema di riferimento. Se facciamo in modo che ωr=γB0, la magnetizzazione apparirà nel nostro sistema di riferimento rotante come 0 0 ' 'M_x z M_z x + = M

che è una costante; ciò sta ad indicare che il vettore magnetizzazione è stazionario nel nuovo sistema di riferimento, come rappresentato in fig 1.4(b) [1] .

Possiamo ora esaminare gli effetti di un campo magnetico oscillante RF, polarizzato linearmente in direzione x, sul vettore magnetizzazione; per convenzione questo campo è indicato come B1. Consideriamo la situazione in cui B0 è diretto lungo z e lo stato iniziale di M è dato da

(1.25) (1.26) (1.27) (1.28) (1.29) (1.30) (1.31) (1.32)

(9)

( )

0 = zM₀;

M il campo magnetico RF può essere scritto come

t B

x ₁₀cosω

1 =

B

dove B10 è l’ampiezza del campo RF.

Figura 1.4 - (a) Moto del vettore magnetizzazione intorno all’asse di un campo magnetico applicato, visto nel sistema di riferimento “laboratorio”.

(b) Stazionarietà del vettore magnetizzazione sotto l’influenza di un campo magnetico applicato, visto nel sistema di riferimento rotante

Si può dimostrare, ora, risolvendo l’equazioni del moto, come, sotto l’effetto del campo RF, la magnetizzazione possa essere ruotata dalla sua posizione di equilibrio di un certo angolo θ a seconda della durata dello stesso impulso: il moto risultante è indicato con il termine di nutazione ed è rappresentato in fig 1.5. Nella pratica sono importanti gli impulsi di durata tale da permettere a M di ruotare di 90° e di 180°; nel caso di un impulso cosiddetto a 90° il vettore magnetizzazione precesserà nel piano trasverso rispetto al sistema di riferimento “laboratorio”.

Mediante la stessa procedura possiamo dimostrare come l’effetto delle altre frequenze oltre la frequenza di Larmor sia trascurabile quando sono distanti da quest’ultima; chiaramente, quando la frequenza è vicina alla frequenza di Larmor l’effetto diviene apprezzabile [1] .

B

0

B

0

M

x y z z’ x’ y’ (1.33) (1.34) (a) (b)

(10)

Figura 1.5 - Con l’applicazione di un campo magnetico RF diretto lungo x’, la magnetizzazione può essere ruotata dalla sua posizione di equilibrio di un certo angolo θ

1.4 Fenomeno del rilassamento: l’equazioni di Bloch

Il modello presentato finora prevede che, dopo l’applicazione di un impulso RF a 90°, il vettore magnetizzazione ruoti in modo perpetuo nel piano trasverso. In realtà le osservazioni sperimentali mettono in evidenza come quest' ipotesi sia inconsistente con il segnale RF ricevuto, che presenta un decadimento esponenziale e che viene per questo indicato come Free Induction Decay (FID) (vedi fig 1.6).

Figura 1.6 - Segnale (FID) ricevuto dopo l’applicazione di un impulso RF a 90°

M

B

0 x’ y’ z’ θ

(11)

Per capire il fenomeno del rilassamento della magnetizzazione dobbiamo rivedere il comportamento del campione di materia sottoposto all’azione di campi magnetici.

Innanzi tutto, supponiamo che non vi sia inizialmente alcun campo; in queste condizioni si è già visto come i momenti magnetici di ciascun nucleo siano orientati in maniera casuale, dando origine ad un momento magnetico totale nullo. Quando è applicato il campo B0 alcuni nuclei precesseranno alla frequenza di Larmor intorno all’asse +z, gli altri invece intorno all’asse –z, come evidenziato in fig 1.7.

Figura 1.7 - Moto dei nuclei sotto l’influenza di un campo magnetico esterno: la disposizione nello stato parallelo o anti-parallelo dà origine a due coni

Il moto dei nuclei nello stato parallelo o anti-parallelo dà origine a due coni; in particolare in condizioni di temperatura ambiente, i nuclei occuperanno per la maggior parte il cono superiore. È importante notare, a questo punto, come la fase dei nuclei in entrambi i coni sia casuale, così che non vi è alcuna magnetizzazione netta trasversa; l’applicazione di un impulso RF conferisce energia ai nuclei e, in particolare, si avrà, in senso netto, una migrazione verso il cono anti-parallelo, con uno spostamento del vettore magnetizzazione di un certo angolo θ rispetto all’asse di B0, come già spiegato in precedenza. Dopo tale spostamento si verificheranno

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due tipi di rilassamento: un rilassamento spin-spin o trasverso e un rilassamento

spin-lattice o longitudinale.

Il rilassamento spin-spin è causato da interazioni tra i momenti magnetici nucleari. È vero infatti che il campo magnetico istantaneo di ciascun nucleo è in gran parte dominato dal contributo del campo esterno B0, ma vi è anche un contributo locale dovuto alla vicinanza con gli altri nuclei. Questa interazione dipolo-dipolo causa un decremento della velocità di precessione di ogni nucleo; il risultato è che gli stessi nuclei perdono la loro coerenza di fase, così che la componente trasversa di

M, che indichiamo con Mxy, tende a ridursi a zero (vedi fig 1.8). La costante di tempo di questo decadimento è data da T2, il cosiddetto tempo di rilassamento trasverso o spin-spin.

Figura 1.8 - Rilassamento spin-spin. I momenti magnetici nucleari precessano a velocità differenti, portando ad una perdita della coerenza di fase, che si traduce in un decadimento della

componente trasversa della magnetizzazione con costante di tempo T2

Il rilassamento spin-lattice porta i momenti magnetici in precessione ad allinearsi gradualmente con B0. Questo rilassamento è dovuto al fatto che i nuclei tendono a tornare nella loro posizione di equilibrio, restituendo sotto forma di radiazione alla frequenza di Larmor l’energia che gli era stata conferita in seguito all’applicazione dell’impulso RF; in particolare il “lattice”, vale a dire la matrice che si trova nel materiale a cui i nuclei stessi appartengono, è responsabile della stimolazione e dell’assorbimento di quest' energia. In questo modo la componente longitudinale di M decade verso il suo valore di equilibrio M0 con una costante di

tempo caratteristica indicata come T1 e denominata tempo di rilassamento longitudinale o spin-lattice (vedi fig 1.9).

z’ z’ z’ x’ y’ x’ x’ y’ y’ Mz Mz Mz Mxy Mxy Mxy

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Figura 1.9 - Rilassamento spin-lattice. La componente longitudinale del vettore magnetizzazione torna nella sua posizione di equilibrio M0 con una costante di tempo T1

In realtà, poi, i segnali FID ricevuti da una bobina RF non hanno un inviluppo che decade con una costante di tempo T2. Infatti, vi sono delle disomogeneità di campo, soprattutto nel corpo umano, che accelerano il decadimento del FID, il quale, per questo, viene modellato con una costante di tempo più breve T2*.

Il modello più semplice che descrive il fenomeno del decadimento degli spin nucleari in seguito all’applicazione di un impulso RF è dovuto a Bloch; le equazioni da lui implementate sono

(

)

(

)

1 0 2 , , , T M M dt dM T M dt dM z z z y x y x y x − + × = − × = B M B M γ γ

dove T2 e T1 sono le costanti di tempo già descritte e M0 rappresenta il valore di equilibrio della magnetizzazione che si assume diretta lungo z [1] .

1.5 Sequenze di impulsi RF

In questo paragrafo si descriveranno le tipiche sequenze di impulsi RF utilizzate per misurare T1 e T2 e i metodi per ottenere immagini di risonanza magnetica (MRI).

Una sequenza comunemente usata è la cosiddetta inversion recovery (vedi fig 1.10), utilizzata per misurare T1 e la concentrazione delle specie. Dopo

x’ x’ x’

y’ y’ y’

z’ z’ z’ Mz Mz Mz (1.35) (1.36)

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l’applicazione di un impulso a 180°, il vettore magnetizzazione è ruotato giù verso l’asse –z, non consentendo quindi alcuna rivelazione di FID, poiché non si ha alcuna componente trasversa. Durante il tempo TI si ha solo un ritorno all’equilibrio in direzione longitudinale. L’applicazione di un impulso a 90° a questo punto porta il vettore magnetizzazione longitudinale “rimanente” nel piano trasverso; questo genera un FID il cui valore iniziale è legato al valore M0 dalla relazione          ₋ − ∝ 1 0 0 1 2exp T T M FID I .

Questa equazione mette in evidenza come la giusta scelta del tempo TI possa portare ad azzerare totalmente il FID; questa sequenza è dunque un modo per discriminare diversi T1.

TI

TR

Figura 1.10 - Sequenza di inversion recovery

Vediamo ora una sequenza che viene utilizzata per rilevare T2. Questa sequenza viene detta spin echo ed è schematizzata in fig 1.11.

Notiamo come è composta da un impulso a 90°, seguito, dopo un ritardo TE/2, da un impulso a 180°, e quindi da un altro ritardo; l’intera sequenza ha una durata pari a TE. Per capire l’azione di questa sequenza supponiamo che l’impulso a 90° sia applicato lungo x’, e quindi la magnetizzazione viene a giacere nel piano trasverso lungo y’ (vedi fig 1.12(a)). A questo punto, i nuclei che sono sotto l’influenza di campi più forti ruoteranno più velocemente, portando ad una

RF Pulse t

NMR Signal t

180° 90° 180° 90°

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rotazione netta secondo la frequenza di Larmor; i nuclei, invece, sotto l’influenza di campi più deboli ruoteranno più lentamente e daranno origine ad una rotazione netta in direzione opposta (vedi fig 1.12(b)). In questo modo la coerenza tra i nuclei risulta distrutta e il FID tenderà a zero.

TE TE

Figura 1.11 - Sequenza spin-echo

Comunque, se applichiamo un impulso a 180°, anch’esso lungo l’asse x’, ogni momento nucleare sarà ruotato di 180° intorno all’asse x’ (vedi fig 1.12(c)). In questo modo si inverte la situazione e la coerenza viene ristabilita (fig 1.12(d)).

Figura 1.12 - Fasi della sequenza di spin-echo

RF Pulse NMR Signal t t 90° 180° 180° x’ y’ z’ M z’ x’ y’ y’ z’ z’ y’ (a) x’ x’ M M (b) (c) (d)

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C’è da dire, però, che il valore di picco del cosiddetto segnale di echo, dovuto a questa nuova coerenza di fase dei nuclei, non sarà uguale in ampiezza al valore iniziale del FID, poichè il rilassamento spin-spin porta ad una degradazione casuale della fase che non è reversibile in seguito all’impulso a 180°. Il valore iniziale del segnale di echo E0 è legato quindi al valore FID0 dalla relazione

. exp 2 0 0     − = T T FID E E

Mediante una misura dell’echo si può dunque risalire a T2.

1.6 Metodi di imaging in NMR (MRI)

Innanzi tutto, possiamo scrivere la soluzione dell’equazione di Bloch, riferita al piano trasverso, come

) , , , ( ) , , , ( ) , ( t M x y z t iM x y z t M_xy r = _x + _y

dove r sta ad indicare la generica posizione nello spazio; da notare anche come i pedici x e y stiano ad indicare la direzione del vettore magnetizzazione, mentre gli argomenti si riferiscono alla localizzazione del vettore all’interno dello spazio. Applichiamo inoltre un campo magnetico funzione dello spazio e del tempo, diretto per ora in direzione dell’asse z:

( )

r,t

(

B₀ B

( )

r,t

)

z

B = +∆

L’equazione di Bloch relativa alla componente xy può essere scritta come [2] :

( )

₍

_{( )}

₎

( )

M

( )

t T t B B i dt t dM xy xy , 1 , , 2 0 0 r r r r     + ∆ + − = γ ω

con Mxy(r,0)=M0(r), che ha una soluzione del tipo

( )

=

( )

−i t −t T _−

∫

t∆

( )

_ xy t M e e i B t dt M 0 ) ( / 0 exp , ' ' , _r 0 2 _r r ω r γ .

Questa soluzione può essere scritta facendo riferimento al sistema rotante alla frequenza di Larmor ω0:

( )

=

( )

−t T _−

∫

t∆

( )

_ y x t M e i B t dt M 0 ) ( / 0 ' ' , exp , ' ' 2 _r r r r γ . (1.38) (1.40) (1.39) (1.41) (1.42) (1.43)

(17)

E’ importante notare come il tempo t inizi nel momento in cui il vettore magnetizzazione viene portato nel piano trasverso in cui esso risulta osservabile.

Consideriamo il caso di un gradiente (variazione lineare, costante), sovrapposto al campo statico, in particolare diretto lungo x:

( )

t G x

B = _x⋅

∆ r, ;

la soluzione dell’equazione di Bloch in questo caso è dunque:

( )

e e

(

i

( )

xt

)

M xt G i e e M t M T t t i x T t t i xy ω γ ω ω ∆ − = − = − − − − exp ) exp( , ) ( / 0 ) ( / 0 2 0 2 0 r r r r r

con gli spin che, dunque, precesseranno ad una frequenza dipendente dalla posizione lungo x ( ∆ω(x)=γGxx ).

Generalizziamo, ora, considerando un gradiente in direzione arbitraria; la relazione tra frequenza e posizione in questo caso è, dunque, ∆ω(r)=γG⋅r, e la

soluzione dell’equazione di Bloch è:

( )

e e

(

i

( )

t

)

M t i e e M t M T t t i T t t i xy r r r G r r r r ω γ ω ω ∆ − = ⋅ − = − − − − exp ) exp( , ) ( / 0 ) ( / 0 2 0 2 0

Infine, per un gradiente tempo-variante, abbiamo ∆ω(r,t)=γG(t)⋅r e la soluzione

dell’equazione di Bloch è [2] :

( )

e e

(

i

( )

t

)

M dt t i e e M t M T t t i t T t t i xy , exp ) ' ' exp( , ) ( / 0 0 ) ( / 0 2 0 2 0 r r r G r r r r φ γ ω ω − = ⋅ − = − − − −

∫

dove φ(r,t) è una variazione di fase dipendente dallo spazio e dal tempo.

Il segnale che noi rileviamo in MRI è una tensione indotta in una bobina RF dai cambiamenti nel flusso magnetico dovuti alla precessione della magnetizzazione nell’oggetto considerato. Tale tensione può essere scritta come

dt d E=− Φ

dove Φ è il flusso nella bobina. Generalmente viene utilizzata la stessa bobina in fase di trasmissione e di ricezione; assumiamo, quindi, che, per una data configurazione di bobina e una certa corrente I1, il campo generato sia B1. Per il

(1.44) (1.45) (1.46) (1.47) (1.48)

(18)

principio di reciprocità, la sensibilità della bobina in ricezione può essere definita come C1=B1/I1.

Figura 1.13 - (a) Schematizzazione del campo magnetico applicato ; (b) Schematizzazione della fase di prelievo del segnale

L’incremento di tensione prodotto dalla magnetizzazione in un elementino dr è pari a

( )

r M

( )

r r C₁ t d t dE     ∂ ∂ ⋅ − = , .

Il segnale ricevuto è dunque:

( )

C₁

( )

r M

( )

r t dr t dE E t s V V r

∫

    ∂ ∂ ⋅ − = = = , . Da notare come M_z t ∂ ∂

vari ad una velocità dell’ordine di 1/T1 (1 Hz), mentre

xy M t

∂ ∂

vari come ω0, cioè nell’ordine di 107 Hz. Questo significa che la tensione indotta dalle componenti x-y è di circa 7 ordini di grandezza più grande di quella dovuta alle variazioni lungo z. Così, possiamo considerare solo le componenti x-y della sensibilità e della magnetizzazione nell’espressione (1.50), ottenendo

( )

=−

_∫

_ ∗

( )

_∂∂

( )

_ V xy xy r M t d t C t s Re r r, r

dove Cxy=Cx+iCy. La derivata della magnetizzazione è:

B1(r)

Linee di flusso magnetico

magnetizzazione dE (a) (b) dr (1.49) (1.50) (1.51)

(19)

( )

. ' ' , exp , 1 ' ' , exp , 0 ) ( / 0 2 0 0 ) ( / 0 2 0 2 0     ∆ −         ∆ − − − =             ∆ − ∂ ∂ = ∂ ∂

∫

− − − − t T t t i t T t t i xy dt t B i e e M t B i T i dt t B i e e M t t M t r r r r r r r r r γ γ ω γ ω ω

Ora, tenendo conto che ω0>>1/T2 e ω0>>γ∆B=γG⋅r, il termine all’inizio della seconda linea può essere approssimato semplicemente a -iω0. In più, faremo due ulteriori semplificazioni: trascureremo per ora il decadimento secondo T2 e assumeremo che la sensibilità della bobina è costante lungo tutto l’oggetto, ponendo C=iω0Cxy(r) (in particolare, possiamo includere il termine i nella costante, in quanto questo rappresenta uno shift arbitrario di 90° tra la magnetizzazione e il segnale ricevuto. A questo punto, la derivata della magnetizzazione è

( )

    ∆ − − = ∂ ∂

∫

−i t t xy t CM e i B t dt M t , 0 exp ₀ , ' ' 0 _r r r ω γ

e, assumendo che M0 giaccia lungo una particolare direzione nel piano x-y (M0(r)=M(r)exp(-iφ0)), il segnale ricevuto è:

( )

cos

(

( )

,

)

. ' ' , cos ' ' , exp Re ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0

∫

+ + =     + ∆ + =             − ∆ − − = V V t V t r d t t M C d dt t B t M C d i dt t B i t i M C t s r r r r r r r r r φ φ ω φ γ ω φ γ ω

Il segnale ricevuto, sr(t), è una tensione a valore reale. Trasformiamola ora in un segnale in banda-base attraverso una demodulazione complessa, che equivale alla seguente operazione

( )

{

s t e

}

s

( )

t is

( )

t LPF r i t 1 2 0 = + −ω

dove LPF sta ad indicare l’operazione di filtro passa-basso, mentre s1(t)=M(r)cos(φ(r,t)+φ0) e s2(t)=-M(r)sin(φ(r,t)+φ0); questo porta ad avere un segnale combinato di questo tipo

( )

t s1

( )

t is2

( )

t M

( )

exp

(

iφ

( )

,t iφ0

)

s = + = r − r − (1.52) (1.53) (1.54) (1.55) (1.56)

(20)

( )

(

i

( )

t

)

M₀ r exp− φ r,

= .

Per segnali passa-banda possiamo invertire l’ordine dell’operazione di demodulazione e di integrazione, ottenendo così l’equazione del segnale MRI [2] :

( )

(

( )

)

( )

, . ' ' , exp , exp ' ' 0 0 0

∫

=     ∆ − = − = V y x V t V d t M C d dt t B i M C d t i M C t s r r r r r r r r γ φ

Così, il segnale in banda-base, s(t), può essere rappresentato dall’integrale della magnetizzazione trasversa nel riferimento rotante.

Consideriamo, ora, il caso di imaging planare, cioè supponiamo che Mx’y’(r,t)=Mx’y’(x,y,t); il segnale ricevuto è dunque:

( )

t =C

_∫∫

M ' '(x,y,t)dxdy.

s xy

Consideriamo anche un campo magnetico variabile spazialmente e temporalmente mediante l’applicazione di gradienti:

( ) (

,t B x,y,t

)

B₀ G

( )

t x G

( )

t .y.

B r = = + _x ⋅ + _y

La frequenza istantanea in ogni punto dello spazio è allora:

(

x y t

)

(

B G

( )

t x G

( )

t y

)

B , , =γ ₀ + _x ⋅ + _y ⋅

γ

che, nel campo di riferimento rotante, diventa

(

x y t

)

=

(

G_x

( )

t ⋅x + G _y

( )

t ⋅ y

)

∆ω , , γ

mentre la distribuzione di fase variante spazialmente è data da

( ) (

φ

)

γ

(

( )

τ

( )

τ

)

τ φ t x y t G x G yd t y x

∫

⋅ + ⋅ = = 0 , , , r

dove il tempo t inizia, come già detto in precedenza, nel momento in cui l’impulso RF porta il vettore magnetizzazione nel piano trasverso.

Procediamo ora con un’ulteriore semplificazione: poniamo, cioè, C=1 e definiamo M(x,y)=M0(x,y)=M0(r). Questo ci consente di ottenere un’ulteriore semplificazione dell’equazione del segnale:

(1.57) (1.58) (1.59) (1.60) (1.61) (1.62)

(21)

( )

(

)

( )

(

−

(

)

= = =

∫∫

M

∫∫

x y i x y t dxdy dxdy t y x M t s _x_y , , exp , , , ' ' φ

( )

(

( )

)

( )

∫∫

∫

∫∫

∫

            ⋅ + ⋅ − =     ⋅ + ⋅ − = . exp , exp , 0 0 0 dxdy y d G x d G i y x M dxdy d y G x G i y x M t t y x t y x τ τ τ τ γ τ τ τ γ

Infine, definiamo le due quantità

( )

_∫

( )

∫

= = t y y t x x d G t k d G t k 0 0 2 2 τ τ π γ τ τ π γ

e, sostituendole nell’equazione (1.63), otteniamo [2] :

( )

(

( )

)

( )

{

M x y

}

M

(

k

( ) ( )

t k t

)

F dxdy t yk t xk i y x M t s y x t k u t k u D y x y x , , 2 exp , ) ( ), ( 2 = = + − = = =

∫∫

π

dove con F2D si è indicata la trasformata bidimensionale di Fourier. Ciò significa che il segnale ricevuto è uguale alla trasformata di Fourier della magnetizzazione valutata in punti definiti da kx e da ky; ricordiamo, infatti, come

( )

{

( )

}

+∞

_{∫ ∫}

( )

( ) ∞ − ∞ ∞ − + − = =F g x y g x y e dxdy v u G D i xu yv π 2 2 , , ,

Riassumendo, quindi, l’equazione del segnale dice che i campioni del segnale ricevuto sono uguali ai campioni della trasformata 2-D di Fourier dell’oggetto. Questo si capisce bene se pensiamo a cosa effettivamente rappresenti la 2D FT: la FT in ogni punto (u,v) è l’integrale relativamente all’oggetto modificato da una rotazione variante spazialmente nel piano complesso. In MRI, l’integrazione è effettuata tramite l’integrazione delle tensioni nella bobina RF. La variazione di fase è, invece, compiuta dai gradienti: traslando il campo, infatti, e, quindi, anche la frequenza, in modo lineare, per un certo periodo di tempo, la magnetizzazione ruoterà verso una nuova orientazione nel piano complesso. In questo modo l’MRI ha lo stesso meccanismo della trasformata di Fourier. Se vogliamo, dunque, determinare l’oggetto, dobbiamo campionare la sua trasformata di Fourier; (1.63)

(1.64)

(1.65)

(1.66)

(22)

l’oggetto finale M(x,y) può essere ricostruito semplicemente effettuando la trasformata 2-D inversa dei dati appartenenti al piano di Fourier, detto anche

k-space:

( )

x y F

{

M

(

k

( ) ( )

t k t

)

}

M , = ₂_D−1 _x , _y .

Ora, applicando una sequenza come quella in fig 1.14, dove, insieme all’impulso RF, applichiamo anche un gradiente costante, otteniamo una corrispondenza 1:1 tra frequenza e posizione spaziale; questa è nota come codifica

in frequenza proprio perché ogni posizione spaziale è codificata come frequenza.

Gx

TR

Figura 1.14 - Sequenza per imaging 1-D

Il gradiente in parte negativo ci consente di acquisire anche le frequenze spaziali negative.

La prima tecnica di imaging 2-D implementata in MRI utilizza una serie di acquisizioni 1-D con gradienti in differenti direzioni ed è detta back-projection. La sequenza relativa a questa metodo è riportata in fig 1.15.

Notiamo come, applicando gradienti 1-D lungo x e y simultaneamente, e variandone i valori ad ogni tempo di ripetizione, otteniamo un gradiente 1-D ad un angolo θ=tan-1(Gx/Gy). In questo modo abbiamo diverse proiezioni dell’oggetto da differenti angoli. RF Pulse NMR Signal t t t 90° 90° (1.68)

(23)

Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI) Gx Gx TR G = G_x2 +G_y2 _       = − y y G G 1 tan θ

Figura 1.15 - Sequenza per back-projection

Dopo aver visto la tecnica di back-projection, analizziamo il metodo di acquisizione più comune utilizzato in MRI, noto come spin-warp imaging.

La sequenza utilizzata è mostrata in fig 1.16.

Questa è costituita da una serie di impulsi ripetuti con differenti valori di gradiente lungo y per ogni eccitazione RF (ad intervalli TR). Il gradiente lungo x, come già detto in precedenza, effettua la codifica in frequenza e x è conosciuta come direzione di frequenza. Il gradiente lungo y è attivo prima ma non durante la fase di acquisizione dei dati. In questo modo, il gradiente lungo y effettua una distribuzione della fase dipendente spazialmente che rimane fissata durante il processo di codifica in frequenza; in altre parole, il gradiente lungo y codifica la

RF Pulse t

NMR Signal t

90° 90°

t

(24)

posizione spaziale tramite la fase della magnetizzazione (la direzione del vettore

M), e per questo si parla di codifica di fase, mentre y è detta direzione di fase.

Gx Gy Data Aquisition TR

Figura 1.16 - Sequenza per Spin-Warp imaging

In termini delle quantità introdotte nella descrizione dell’ultima sequenza, possiamo definire diversi parametri di interesse nello spazio acquisito. L’ampiezza e la distanza tra i campioni del k-space sono [2] :

RF Pulse t t NMR Signal t t t 90° 90° Tread Tread ∆t ∆Gy Ty

(25)

Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI) y y y y k read x x x k y y y x x T G k N W T G k N W T G k t G k y x max , 2 2 2 2 2 π γπ γ π γπ γ = ∆ = = ∆ = ∆ = ∆ ∆ = ∆ Wkx

In precedenza abbiamo parlato del campionamento dell’oggetto e del suo effetto sullo spettro. Vediamo ora, invece, l’effetto del campionamento nel dominio di Fourier e le conseguenze sull’oggetto ricostruito: quello che si ottiene è una serie di repliche dell’immagine distanziate di (1/∆kx,1/∆ky). Le immagini replicate non si sovrapporranno all’immagine originale se la più alta posizione spaziale in x è xmax≤ 1/2∆kx e la più alta posizione spaziale lungo y è ymax≤ 1/2∆ky; nel caso contrario si verificherà aliasing. Il campo di vista (Field Of View) di un’acquisizione è definito tipicamente come

y y x x k FOV k FOV ∆ = ∆ = 1 1

e non ci sarà aliasing se risulterà

y x FOV y FOV x 2 1 2 1 max max ≤ ≤

Generalmente, per la ricostruzione dell’oggetto, si effettua una 2D-FFT su una griglia rettilineare di N×N punti del k-space. Le relazioni tra la risoluzione spaziale e il campo di vista saranno infine (vedi anche fig 1.17):

ky kx Wky ∆kx=γ/2πGx∆t ∆ky=γ/2π∆GTy (1.69) (1.70)

(26)

Principi fisici di Risonanza Magnetica Nucleare e tecniche di imaging in NMR (MRI) x k x x W x k FOV ∆ = ∆ ∆ = 1 1 . 1 1 y k y y W y k FOV ∆ = ∆ ∆ =

Figura 1.17 - k-space e immagine

Il tempo complessivo T necessario all’acquisizione dei dati per una singola immagine di risonanza magnetica è espresso dalla formula

acq RNn T T =

dove

TR = tempo di ripetizione della sequenza

N = numero di punti da campionare lungo l’asse di codifica di fase

nacq = numero di acquisizioni del segnale ripetute per ridurre l’errore di misura. Questa tecnica di acquisizione dei dati mediante la duplice codifica in frequenza e in fase presenta diverse variazioni nelle sequenze di impulsi RF che tendono a privilegiare come proprietà di discriminazione o la magnetizzazione longitudinale (T1) o la magnetizzazione trasversale (T2) o la densità protonica; tra queste ricordiamo la sequenza di spin-echo imaging e quella di gradient-echo imaging, riportate nelle fig 1.18 e 1.19.

e e k-space immagine Wky FOVy FOVx (1.71) (1.72) Wky

(27)

Figura 1.18 - Sequenza per spin-echo imaging

Figura 1.19 - Sequenza per gradient-echo imaging

RF Pulse NMR Signal t t α t t t α TE TR Gz Gy Gx RF Pulse NMR Signal t t 90° 180° t t t 90° TE TR Gz Gy Gx

(28)

In conclusione, ricordiamo che l’immagine ottenuta è la rappresentazione bidimensionale dell’intensità di una delle tre proprietà magnetiche dei nuclei sopra elencate in funzione della sua distribuzione nello spazio.