CAP 2 - STUDIO IDROLOGICO

CAP 2 - STUDIO IDROLOGICO

Premessa

Si vuole realizzare in località Capriola un impianto ad acqua fluente e nasce quindi la necessità di uno studio idrologico dettagliato diretto ai seguenti scopi:

- Conoscere l’ entità delle portate naturali e quindi valutare e dimensionare i dispositivi atti a garantire la continuità biologica del corso d’acqua.

- Una volta nota l’ entità delle portate disponibili si dimensiona l’ impianto idroelettrico, ovvero si determina la portata massima da derivare. Questa scelta nasce oggigiorno da considerazioni non solo strettamente ideologiche ma anche topografiche ed economiche.

- Lo studio delle portate disponibili consente di fare una previsione delle condizioni di funzionamento.

La caratteristica del deflusso fluviale che diventa estremamente interessante per i nostri scopi è dunque la “curva annua di durata delle portate”; La “durata” di una portata viene definita come la frazione di anno in cui si sono verificate portate uguali o maggiori di tale portata.

2.1 - LA CURVA DI DURATA

La curva di durata è solitamente riferita alle portate medie giornaliere e si è soliti rappresentare la curva in un piano cartesiano avente in ascissa la durata, in giorni, ed in ordinata la portata corrispondente. Se sono a disposizione i dati relativi ad una stazione di misura la curva sperimentale è ricavata direttamente dall’ istogramma di frequenza assoluta delle portate facendo la frequenza cumulata di tali portate ordinate in ordine decrescente; La curva di durata sperimentale è in realtà una spezzata congiungente i diversi valori di cumulata e può essere utilizzata per via grafica o tramite apposite tabelle che forniscono le portate con durata convenzionale stabilita (10, 91, 182, 274 e 355 giorni). Questa è per esempio la modalità più recente di rappresentazione dei dati adottata dal S.I.M. La rappresentazione delle curve di durata fluviali è fatta anche mediante espressioni analitiche. Queste, secondo la loro origine, sono distinte in formule empiriche o rappresentazioni statistiche. Entrambe bene si adattano ai dati

sperimentali e la loro distinzione a un preciso significato pratico, che riguarda il calcolo delle costanti arbitrarie. Le formule empiriche sono usate con semplici adattamenti (fitting) della loro forma (p.e. tramite l’uso dei minimi quadrati) alla curva delle durate sperimentale, mentre le rappresentazioni statistiche dispongono di metodi di calcolo potenti e fecondi in diretta connessione con i metodi probabilistici.

Metodi probabilistici

Consideriamo la portata di un corso d’ acqua come una variabile x suscettibile di assumere con continuità tutti i valori in un dato intervallo (finito o infinito) in conseguenza di un certo complesso di cause, delle quali rinunciamo a conoscere la natura, l’entità e gli effetti singoli. Sotto tale aspetto il valore che assume di volta in volta la portata diventa un evento aleatorio, la cui variabilità viene studiata con le “curve di frequenza” dette anche di “distribuzione di probabilità”. Si chiama curva di frequenza nella variabile x la curva y= ϕ(x) che soddisfa alla seguente proprietà: l’infinitesimo y⋅dx= ϕ(x)⋅dx misura la probabilità elementare che nelle osservazioni statistiche rappresentate dalla curva di frequenza, la variabile si riscontri compresa fra x e x+ dx. Come immediata conseguenza, la probabilità che x risulti compreso entro un certo intervallo finito X1-X2 vale

∫

ϕ ⋅

1 X 2 X dx ) x ( ; in altre parole se N è il numero delle osservazioni, e n il numero di volte in cui si è trovato

2 X x 1

X ≤ ≤ , deve essere, comunque siano scelti X1 e X2, N n dx ) x ( 1 X 2 X = ⋅ ϕ

∫

se estendiamo l’ integrale agli estremi dell’ intervallo di variabilità di x avremo (x) dx 1 sup E inf E = ⋅ ϕ

∫

che dice che la probabilità che x ricada nell’ intervallo in cui è definita è pari a 1, ovvero ne abbiamo la certezza.

Una curva di frequenza ha solitamente una forma a campana più o meno regolare e le seguenti caratteristiche:

- nulla agli estremi e con tangente orizzontale.

- andamento crescente fino al punto N detto norma o moda. - decresce poi fino ad annullarsi all’ estremo superiore.

Altri punti di interesse sono la mediana M e la media A. La prima divide la curva di frequenza in due parti di aree uguali fra loro (e quindi pari a 0,5), la seconda è pari all’ area compresa fra la curva e l’ asse delle x divisa per l’intervallo di definizione della variabile; in termini idrologici è il volume complessivo defluito diviso per il periodo di deflusso.

La forma delle curve di frequenza e descritta da diversi parametri. Definiti υ2 e 3

υ i momenti del 2° e 3° ordine si ha: A 2 Cd= υ coefficiente di dispersione 3 3 _Cd A 3 Ca ⋅ υ = coefficiente di asimmetria

Le curve di frequenza relative alle portate dei corsi d’acqua sono limitate verso sinistra dato che la variabile non può essere inferiore a zero; per quanto riguarda il ramo destro, è difficile assegnare una portata che certamente non sarà superata, e molto spesso le curve si considerano asintotiche all’ asse delle ascisse. Di regola la forma è asimmetrica, con “norma” inferiore alla “mediana”, e questa a sua volta inferiore alla “media”. Data una distribuzione di frequenza la curva

∫

ϕ ⋅ = Φ sup E x dx ) x ( ) x

( misura la probabilità che la variabile sia maggiore di x e prende il nome di curva di durata delle x, ovvero delle portate.

Nella nostra indagine statistica avremo a disposizione un campione sperimentale di misure di portata assegnate ad intervalli discreti di tempo. I dati saranno elaborati per ottenere delle curve di frequenza assoluta di classe, curve di frequenza relativa di classe e curve di frequenza cumulata di classe e sulla base di tali campioni sarà fatta una stima dei parametri delle distribuzioni statistiche di volta in volta scelte per meglio descrivere il fenomeno.

Fra le moltissime forme interpolari di carattere statistico utilizzate in idraulica fluviale noi utilizzeremo quella log-normale tramite il metodo detto della traslazione o di Edgeworth-Kapteyn.

2.2 - PREMESSA STUDIO IDROLOGICO

Nella sezione di interesse non esiste una stazione di misura delle portate e non siamo quindi in possesso della reale curva di durata delle portate, questa può invece essere desunta con l’utilizzo dei mezzi propri dell’ idrologia, ovvero con metodi di stima diretti di tipo statistico; abbiamo, infatti, a disposizione i valori di alcune grandezze idrologiche o ad esse riferibili che possono essere il valido punto di partenza per una stima della curva di nostro interesse. All’ interno del sottobacino o nelle sue immediate vicinanze sono oggi presenti diverse stazioni di misura pluviometriche ed una idrometrica gestite dal neo-costituito Centro funzionale della regione Toscana, che si occupa della gestione delle stazioni di misura di proprietà del Servizio Idrografico e Mareografico, dell’ Autorità di bacino del Serchio e dell’ Arsia. E’ inoltre a nostra disposizione tutta una serie di misure sia pluviometriche, che idrometriche e di portata eseguite nel bacino del Serchio in passato da diversi enti competenti pubblici (Servizio Idrografico e Mareografico) e privati (compagnie idroelettriche) anche per periodi di tempo prolungati e significativi.

Ecco un elenco delle stazioni ad oggi funzionanti e di quelle che hanno funzionato in passato, si veda a proposito anche l’Allegato 3 con la distribuzione spaziale di tali stazioni:

Stazioni pluviometriche esistenti del Centro funzionale: stazione quota(mslm) inizio-attività

Passo Pradarena 1579 1996 Capanne Sillano 1041 1996 Monte Castellino 1810 1996 Orto di Donna 1100 1996 Orecchiella 950 1996 Piazza al Serchio 650 1994 Vagli sotto 600 1996 Villa Collemandina 500 1995 Careggine 1047 1996

Stazioni pluviometriche funzionanti in passato del S.I.M : stazione quota(mslm) periodo-attività

Sillano 642 24-42,45-46,51-82 Vagli Sotto 562 54-99 Isola Santa 585 52-2000 Torrite 302 58-92,95 Pontecosi 334 22-41,51-2000 Villa Collemandina 500 24-26,30-42,44-46,51-99 Gramolazzo 614 54-2000 Orto di Donna 1100 24-41,51-64,96-2000 Stazioni idrometriche esistenti (senza scala di deflusso):

stazione quota(mslm) inizio-attività Camporgian

o 378.89 20/10/99

Stazioni idrometriche funzionanti in passato del S.I.M (con scala di deflusso aggiornata periodicamente):

stazione quota(mslm) periodo-attività

Filicaia 314,08 32-35

Borgo a Mozzano 86,14 23-43,46-51

Un discorso particolare va fatto per i dati fornitici da ENEL Produzione. Sotto alcune ipotesi in linea teorica una stima diretta della portata di un corso d’acqua può essere fatta anche sulla base della misura di energia prodotta, laddove le sue acque sono derivate per tale scopo. Si utilizza il concetto di “coefficiente energetico dell’ impianto” che è definito come il rapporto fra l’ energia prodotta in un dato intervallo di tempo e il volume di acqua turbinato; si deduce immediatamente come esso dipenda esclusivamente dalle caratteristiche geometriche e meccaniche dell’ impianto:

noto H= salto netto

η = rendimento globale impianto γ = peso specifico acqua

si ha:

3600 H η Ce= γ ⋅ ⋅

Con alcune ipotesi di applicabilità che specificheremo in seguito esso può essere ritenuto costante e consente quindi nota la produzione (Etot, in Kwh) in un dato

intervallo di tempo (espresso in ore) di ricavare la portata media (Qm, in mc/s) su tale intervallo di tempo che ha attraversato la turbina:

) ore n ( 3600 Ce Etot Qm ° ⋅ ⋅ =

Nel nostro caso abbiamo a disposizione i dati della produzione media mensile della centrale di Castelnuovo Garfagnana servita dall’ invaso di Pontecosi che come abbiamo gia detto si trova 4,6 Km più a valle della nostra sezione di studio. Metodologie utilizzate

Nel nostro caso si è deciso di perseguire tre distinte vie di ricerca della curva di durata della portata:

-

1) Determinazione con misure di campo della scala di deflusso per la

stazione di misura idrometrica di Camporgiano; Calcolo delle portate relative alle misure di altezza idrometrica a nostra disposizione (dal 99’ in poi) e tracciamento delle curve di durata annuali.

-

2) Applicazione al nostro sottobacino di una formula di regionalizzazione

parametrica delle curve di durata delle portate sviluppata dal Prof. Ing. Cavazza.

-

3) Utilizzo delle misure di portata media mensile desunte dalla produzione

ENEL e loro elaborazione con gli strumenti propri della statistica idrologica.

2.3 - CURVA DI DURATA SPERIMENTALE

introduzione

Si hanno a disposizione le altezze idrometriche della stazione di misura di Camporgiano (in funzione dal 99’). Nota la scala di deflusso per tale sezione è possibile ricavare le corrispondenti portate e tracciare le curve di durata sperimentali annuali. Utilizzando un metodo probabilistico si può dare anche una espressione analitica di tali curve.

2.3.1 - DATI SPERIMENTALI

caratteristiche stazione

All’ interno del nostro bacino di interesse esiste una stazione di misura delle altezze idrometriche di proprietà dell’ autorità di bacino del Serchio e gestita dal Centro funzionale della Regione Toscana. Le caratteristiche della stazione sono:

stazione quota(mslm) inizio-attività Camporgian

o 378.89 20/10/99

Essa è localizzata vicino all’ abitato di Camporgiano sul ponte della strada provinciale che ivi attraversa il corso del Serchio collegando il comune di Camporgiano in sponda destra a quello di San Romano in sponda sinistra. E’ costituita da uno strumento di misura ad ultrasuoni ancorato al parapetto del ponte. L’asta idrometrica è posizionata verticalmente ed addossata alla spalla del ponte in diva destra. La quota dello zero idrometrico è pari a 378.89 m sul livello medio mare. Un sistema di trasmissione dati lo collega agli uffici del Centro Funzionale e a quelli dell’ Autorità di Bacino del Fiume Serchio ai quali trasmette ogni 15 minuti la lettura effettuata. I dati archiviati dall’ Autorità di Bacino hanno inizio con il 1 Gennaio del 2000 e ci sono stati forniti in formato EXCEL, come nel seguente esempio, dove sono visualizzate le misure della prima ora del 2004:

La stazione di misura sottende la parte più alta del nostro sottobacino per un totale di 51.223 Kmq. L’afflusso medio annuo su tale area (nel periodo 1951-1981) ottenuto dalla carta delle isoiete trentennali è pari ha 1486 mm.

Scala deflusso

Consideriamo una sezione geometrica di un alveo percorso da una corrente a pelo libero; si definisce “scala di deflusso” la relazione analitica tra l’ altezza “h” del pelo libero, rispetto ad uno zero di riferimento, e la corrispondente portata “Q” che transita attraverso la sezione bagnata. Una funzione che in idraulica ben si adatta alle caratteristiche delle scale di deflusso fluviali è del tipo:

1 a 0 h a ) h ( Q = ⋅

Con una campagna di misure di portata eseguite a partire dal 23 marzo fino al 2 maggio 2005 è stato possibile ricavare la scala di deflusso per la sezione dove è ubicato lo strumento di misura delle altezze idrometriche. Per la descrizione della campagna di misure si rimanda all’ appendice, qui ci limitiamo a considerarne i risultati. Sono state eseguite 6 misure di portata in corrispondenza di 6 diverse altezze idrometriche ottenendo i seguenti risultati:

H idrometrica (m) Portata (l/s) 0.995 545 1.036 1025 1.053 1150 1.07 1356 1.085 1495 1.1 1784

Le altezze idrometriche sono misurate rispetto allo zero dell’ asta idrometrica della stazione di misura. Il valore di h ad esse associato è pari a: h=H-x0

dove x0 è un valore legato alle caratteristiche geometriche dell’ alveo in

prossimità della sezione; esso dipende dalla posizione altimetrica dello zero idrometrico rispetto a quella della sezione di controllo del deflusso. Nel nostro caso abbiamo x₀ = −0.43; la nostra scala di deflusso dipende comunque molto debolmente da tale parametro. a0 ed a1 sono invece due parametri arbitrari che

nostro caso utilizzando la funzione “genfit” del programma di calcolo Mathcad 11 si sono ottenuti i seguenti valori:

346 . 21 a₀ = 206 . 6 a₁ =

La scala di deflusso è quindi: _{Q(h)= 21.346⋅h}6.206

Con h espresso in metri e Q in mc/s. Vedi grafico 2.3.1.1 seguente:

grafico 2.3.1.1

Il coefficiente di correlazione è pari a 0.993. Note sull’ utilizzo dei dati

Le misure di altezza idrometrica archiviate dall’ autorità di bacino hanno origine con il gennaio 2000. Purtroppo nel 2003 le caratteristiche della sezione sono state perturbate e modificate dai lavori di rifacimento del ponte mentre con l’estate del 2005 si è stata eseguita una risagomatura dell’ alveo per consentire un maggiore

luce di deflusso. In sostanza gli unici dati a nostra disposizione sono quelli relativi all’ anno 2004.

Il 2004 può essere considerato con buona approsimazione un anno idrologico tipo ma si deve comunque tenere di conto di alcune anomalie.

Caratterizzazione pluviometrica del 2004

Come già detto la pioggia annua media ragguagliata all’ intera area del nostro bacino di studio è pari a 1586 mm. Tra le stazioni di misura più longeve dell’ alto bacino del Serchio quella che meglio può rappresentare la pluviometria del nostro bacino è sicuramente Villa Collemandina; La sua pioggia media annua su quasi 80 anni (1924-2004) ininterrotti di attività è pari a 1425.9 mm distribuiti su poco più di 100 giorni piovosi all’ anno. Per rappresentare le piogge del 2004 utilizziamo invece la vicina stazione di Piazza al Serchio che presenta per il 2004 una pioggia di 1322.2 su ben 144 giorni piovosi. L’ andamento temporale per le piogge giornaliere è il seguente: h piogge (mm) 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 1 31 61 91 121 151 181 211 241 271 301 331 361 progressiva giorni

Un confronto sull’ andamento pluviometrico del 2004 rispetto all’ anno idrologico medio può essere condotto sulla base dei due seguenti grafici che riportano le piogge aggregate su base mensile e stagionale per Piazza nel 2004 e per Villa nel periodo 1924-2004:

Distribuzione mensile piogge (mm) 0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0 Genn aio Febb raio mar zo

Aprile _Maggio _Giugno _Lugli o Agos to Sette mbr e Otto bre Nove mbr e Dice mbr e Piazza 2004 Villa 1924-2004

Confronto h pioggia stagionale (mm)

375.6 350.0 137.6 459.0 354.2 286.5 240.9 544.3 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0

Inverno Primavera Estate Autunno

Piazza 2004 Villa 1924-2004

Il 2004 si presenta a livello stagionale nei valori medi per l’ inverno e la primavera mentre è evidenta la carenza di afflussi del periodo estivo, in particolar modo in luglio ed agosto; per quanto riguarda l’ autunno si deve notare come a fronte di un valore stagionale vicino alla media si abbia una forte disomogeneità fra il picco di

ottobre e i due bassi valori di novembre e dicembre. Tutto questo va senz’ altro a discapito dei deflussi che hanno risentito indubbiamente del periodo secco estivo e delle scarse piogge di ottobre e novembre. Anche l’ andamento delle piogge giornaliere è negativo al fine dei deflussi: con 144 giorni piovosi, valore questo ben sopra la media, caratterizzati da pochi eventi importanti e da una miriade di piccole piogge (<20 mm).

2.3.2 - ELABORAZIONE STATISTICA SPERIMENTALE

Introduzione al metodo di traslazione o di Edgeworth-Kapteyn

Consideriamo la portata di un corso d’ acqua come una variabile aleatoria x suscettibile di assumere con continuità tutti i valori in un dato intervallo (finito o infinito). Esistono numerose funzioni di “distribuzione di probabilità” o “densità di probabilità” atte a descrivere tale fenomeno; La funzione più comune secondo cui si distribuisce una variabile casuale è senza dubbio la curva a campana di Gauss-Laplace. Essa è simmetrica e si estende indefinitamente a destra e sinistra dell’ asse di simmetria e ha per equazione: y 1 e z

2

− ⋅ π

=

mentre la probabilità che la variabile risulti maggiore di di un dato valore z è data da:

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = z dz z e 1 ) z ( P 2

Ma la portata di un corso d’ acqua ammette solitamente una distribuzione di tipo non simmetrico. Dunque la variabile portata “x” non obbedisce alla legge di Gauss, ma esisterà certamente una funzione di x, diciamo z= f(x) tale da risultare essa , invece che la x, distribuita secondo la curva di Gauss. Una volta determinata tale funzione, tutte le distribuzioni vengono riportate ad un tipo unico di curva di frequenza, la curva di Gauss. La funzione z= f(x) definisce il cambiamento di variabile, o la traslazione nella valutazione delle x (da cui il nome del metodo), che riporta alla curva di Gauss. La curva di frequenza delle x viene di conseguenza definita dalla espressione:

) x ( 'f z e 1 ) x ( ⋅ − 2⋅ π = ϕ

Resta ora solo da specificare, caso per caso, la funzione f(x), col solito criterio pratico di ridurre al minimo il numero dei parametri arbitrari. La seguente trasformazione proposta dal Gibrat e dal Grassberger: z= a⋅log₁₀(x− x₀)+ b

contiene tre soli costanti arbitrarie e quindi ne permette una facile determinazione, ma si dimostra contemporaneamente adatta a rappresentare con fedeltà qualsiasi regime fluviale. x0 ha il significato di portata di massima magra in quanto per

0

x

x= è z= − ∞ , e quindi la frequenza ϕ(x) risulta nulla e la durata uguale all’ unità. Per quanto riguarda a e b, si utilizzerà un adattamento “fitting” di tale funzione ai dati sperimentali disponibili. Dalle osservazioni si ha una serie di valori di x, con le corrispondenti durate sperimentali: per ciascuna durata P(z) si

determina, in base alla funzione

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = z dz z e 1 ) z ( P 2 il corrispondente valore di z. Tracciamo un sistema di assi ortogonali aventi in ascisse i log₁₀(x− x₀) e in ordinate le z, e riportiamo i punti rappresentativi delle determinazioni sperimentali: se la trasformazione di Gibrat è adatta questi punti devono trovarsi approssimativamente su una retta, la cui ordinata all’ origine fornisce il valore di b, e il coefficiente angolare quello di a.

Applicazione del metodo di traslazione o di Edgeworth-Kapteyn

La fedeltà dei nostri dati sperimentali è limitata dal campo di validità della scala di deflusso utilizzata. Questa, come già visto, è limitata inferiormente all’ altezza di 99 cm sullo zero idrometrico pari a 0,559 mc/s senza possibilità di estrapolazioni verso il basso. Il limite superiore consente invece un’ estrapolazione fino all’ altezza di 121 cm pari a 4,628 mc/s in corrispondenza della quale si ha poi un brusco cambiamento di sezione che invaliderebbe qualsiasi ulteriore estrapolazione. A tali valori della scala di deflusso a Camporgiano corrispondono per la nostra sezione rispettivamente le portate di 0,928 mc/s e 7,680 mc/s. In conclusione faremo utilizzo di 164 portate giornaliere che vanno da quella di durata 203 giorni (pari a 0,928 mc/s) a quella di durata 40 (7,680 mc/s).

I valori di portata giornalieri alla sezione di interesse sono ottenuti dal quelli di Camporgiano tramite la relazione:

SCamp int S PCamp int P QCamp int Q = ⋅ ⋅ dove:

- Pint: pioggia media annua sul bacino chiuso dalla sezione di interesse. - Sint: superficie totale del bacino chiuso dalla sezione di interesse.

- Pcamp: pioggia media annua sul bacino chiuso dalla sezione di Camporgiano.

- Scamp: superficie totale del bacino chiuso dalla sezione di Camporgiano.

Tali valori di portata hanno il seguente istogramma di frequenza, con ampiezza delle classi di portata pari a 150 l/s:

s mc 489 . 2 media= ⋅

momento secondo ordine: varianza= 2.143 momento terzo ordine: 4.911

scarto quadratico medio: σ = 1.464 coefficienete di dispersione: Cd= 0.586 coefficiente di asimmetria: Ca= 1.584

Si ordina il campione di dati in ordine crescente. Si assegna la posizione i-esima ad ogni portata partendo dalla posizione 164 per la portata di 928 l/s fino ad arrivare alla posizione 327 per quella di 7680 l/s. Le durate probabili sperimentali sono date dalla formula:

1 366 i 1 ) i( W + − =

per “i” che va da 164 a 327.

Si trova quindi la “z” corrispondente ad ogni durata sperimentale risolvendo

l’equazione che lega le due grandezze:

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = = z dz z e 1 ) i( W ) z ( P 2

per ogni valore di “i” c’è dunque un corrispondente valore di “z” soluzione della suddetta equazione. Tali soluzioni sono rappresentate nel grafico 2.3.2.1 sottostante:

grafico 2.3.2.1

Fissato il valore di x0 in 0.300 mc/s si traccia il sistema di assi cartesiani con in

ascissa i log₁₀(x− x₀) ed in ordinata i valori di z e si riporta i punti relativi ai dati sperimentali, con x pari al valore di portata associato ad ogni “i” e z il valore trovato precedentemente; tali punti stanno approssimativamente su una retta come evidenziato dal grafico 2.3.2.2. I parametri a e b di tale retta sono stati determinati a mezzo della funzione “linfit” del programma Mathcad 11 che consente il massimo coefficiente di correlazione possibile.

grafico 2.3.2.2

Il coefficiente di correlazione vale 0.99.

La funzione logaritmica vale: z(x)= 1.021⋅log₁₀(x− x₀)+ 0.068 la curva di frequenza diventa:

0 x x ) e ( Log 021 . 1 ) x ( z e 1 ) x ( 2 − ⋅ ⋅ − ⋅ π = ϕ con (x) 1 4 . 0 = ϕ

∫

∞ ed ha il seguente grafico 2.3.2.3.

grafico 2.3.2.3

La curva di durata che si identifica con la funzione o curva di probabilità diviene:

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = z dz z e 1 ) z ( P 2

avendo cura di computare la z che compare all’ estremo inferiore di integrazione a mezzo della: z(x)= 1.021⋅log₁₀(x− x₀)+ 0.068. La sua rappresentazione grafica è quella del grafico 2.3.2.4.

2.3.3 - TEST STATISTICO DI PEARSON

Introduzione al test statistico di Pearson

Il test di Pearson si adopera per controllare che la distribuzione dalla quale un dato campione è stato estratto coincida con una distribuzione assegnata oppure, più semplicemente, che sia di un dato tipo (normale, log-normale etc...). Consideriamo ora il secondo caso, nel quale il tipo di legge probabilistica è assegnato a priori mentre i valori dei parametri sono calcolati dalle osservazioni. Sia “x” una variabile casuale, distribuita secondo un certo tipo di legge di probabilità, senza che i valori dei parametri siano noti. Supponiamo di estrarre dalla distribuzione un campione di N osservazioni e di stimare i valori degli “s” parametri con uno dei metodi a disposizione.

Suddividiamo il campo di esistenza della “x” in “k” intervalli che si escludono a vicenda e indichiamo con Pi la probabilità che un’ osservazione qualsiasi ricada

nell’ i-esimo intervallo, P_i = P(x_i+1)− P(x_i)

Prendiamo ora le N osservazioni e indichiamo con Ni il numero delle osservazioni

che ricadono nel medesimo intervallo. Consideriamo quindi la grandezza statistica:

[

]

∑

= − = Χ k 1 i i 2 i i 2 Np Np N

Questa grandezza è, naturalmente, ancora una variabile casuale; La sua distribuzione asintotica al crescere di N non è, però, esattamente conosciuta: si può dire soltanto che è compresa fra quella di un _Χ 2 _{con k-1 gradi di libertà e}

quella di un _Χ 2 _{con k-s-1 gradi di libertà (che sono per altro tanto più vicine fra}

loro quanto più elevato è il numero degli intervalli). Su questo risultato si basa il test di Pearson per controllare l’ ipotesi che il campione costituito da un certo insieme di osservazioni provenga da un dato tipo di distribuzione.

Nell’ eseguire il test si segue generalmente per la suddivisione in classi la regola dell’ equiprobabilità suggerita da Gumbel p1=p2=...=pk e la regola empirica di definire le classi in modo da rispettare la disuguaglianza Np_i ≥ 5.

Applicazione del test statistico di Pearson

Vogliamo provare che la distribuzione log-normale da noi adottata ben si adatta a rappresentare la variabilità delle portate oggetto di studio. Essa vale:

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = z dz z e 1 ) z ( P 2

avendo cura di computare la z che compare all’ estremo inferiore di integrazione per mezzo della: z(x)= 1.021⋅log₁₀(x− x₀)+ 0.068.

Considerate le nostre 164 osservazioni di portata, e fissato Np_i = 6 si assume un numero di intervalli pari a 27<164/6=27.3 con un conseguente valore di Pi pari a

0.036585.

L’ estremo superiore xi della i-esima classe si ricava dalla relazione:

0 i 1.021 x 068 . 0 Z 10 x i + = −

dove zi è la variabile ridotta della distribuzione di Gauss, che si ottiene risolvendo

in zi l’ equazione data da:

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = z i e z dz 1 ) x ( P 2

Le soluzioni della suddetta equazione sono rappresentate nel grafico di 2.3.3.1. Le zie le xi sono rappresentate nelle tabelle 2.3.3.2.

I valori di Ni ovvero le frequenze assolute delle nostre osservazioni nelle classi

delimitate dalle xi sono rappresentate nell’ istogramma 2.3.3.3.

Avendosi Np_i = 6 si ha:

[

]

36.666 Np Np N k 1 i i 2 i i 2 ₌ − ₌ Χ

∑

=

Se supponiamo che l’ipotesi da provare sia stata avanzata indipendentemente dalla conoscenza del campione, la grandezza _Χ 2 _{sarà distribuita}

approssimativamente come un _Χ 2 _{con k-1 gradi di libertà, ovvero 26 gradi di}

libertà. Assumiamo un livello di significatività uguale a 0.05. Dalla tabella seguente (distribuzione del _Χ 2_{) si ricava che per questo valore del livello di significatività la}

di _Χ 2_{. Poichè il valore di Χ} 2 _{calcolato nell’ esempio è 36.666, l’ ipotesi risulta}

accettabile al livello di significatività scelto.

tabelle 2.3.3.2

2.4 - APPLICAZIONE DELLA FORMULA REGIONALE

PARAMETRICA DI CAVAZZA

Introduzione alla formula

La curva di durata delle portate è in genere espressa con valori decrescenti delle portate giornaliere. Essa è descritta in base ai valori sperimentali se disponibili, ma più sinteticamente può essere rappresentata da un’ appropriata legge di variazione continua delle portate, i cui parametri in sostanza esprimono un indice di irregolarità, o di variabilità, delle portate stesse. Nel caso usuale delle curve di durata delle portate giornaliere estese al periodo di un anno, la crescita della probabilità cumulata in cui nell’ anno si possono prevedere portate decrescenti varia con sensibile gradualità, perciò i parametri della variabilità possono essere trovati sperimentalmente con buona approssimazione mediante un campionamento estremamente ridotto rispetto alla totalità dei 365 valori. Il Chow propone di calcolare l’ indice di variabilità in funzione di un campione di 10 valori di portata corrispondenti a intervalli temporali del 10% dell’ anno. Non a caso lo stesso Servizio Idrografico usa definire la curva di durata dei corsi d’ acqua per punti, riportando negli annali idrologici i valori delle portate corrispondenti alle durate di 1, 10, 30, 60, 91, 135, 182, 274, 355, 365 giorni.

Nell’ ambito dello studio di regionalizzazione è assunto il seguente indice di

variazione:

(

)

Qmed Q Q₁₀ − ₃₅₅ =

∆ in cui compaiono le portate di durata 10 e 355 giorni e quella media annua.

Per regionalizzare le curve di durata è dunque sufficiente definire il criterio di regionalizzazione di ∆ . Nella ricerca di Cavazza con l’ utilizzo di tecniche multiregressive è stato individuato il legame tra l’ indice ∆ e un certo numero di parametri che caratterizzano il regime delle piogge e la trasformazione afflusso-deflusso operata dal complesso fisico dei bacini. I parametri adottati sono 1 di tipo climatico e 5 fisiografici. Essi sono:

- Indice di aggressività climatica: C= p2_Ptot

dove: p = totale mensile di pioggia nel mese più piovoso. Ptot = totale annuo di pioggia.

- S: superficie dei bacini imbriferi sottesi dalla sezione di interesse.

- K: coefficiente di forma di Gravelius, noto anche come coefficiente di compattezza o di uniformità, nella forma K= 0.28⋅ L _S

in cui: L = perimetro del bacino imbrifero di superficie S.

K è il rapporto tra L e la circonferenza del cerchio di superficie equivalente a

quella S del bacino.

- M: coefficiente orografico proposto da Fournier come prodotto dell’ altezza media del bacino _H− , riferita alla quota della sezione di interesse, per il “coefficiente di massività”

S

H− , che è a sua volta un indice della pendenza

media del bacino. Si ha pertanto:

S H M 2 − =

Tale coefficiente cresce con l’ accentuazione del rilievo e tende a zero nei bacini di pianura.

- G: indice di permeabilità del terreno pari alla percentuale dei terreni permeabili sul totale S del bacino.

- B: indice della copertura vegetale riflettente le caratteristiche di regolazione dei deflussi; è dato dalla percentuale della superficie ricoperta da boschi, pascoli e prati rispetto alla superficie totale S.

Il legame multiregressivo fra l’ indice ∆ e i parametri innanzi descritti e dunque del tipo: ∆ = a₀ + a₁⋅S+ a₂⋅C+ a₃⋅G+ a₄⋅B+ a₅⋅M+ a₆ ⋅K

La ricerca di cavazza è stata estesa a tutto il territorio italiano ed ha portato ai risultati delle tabelle allegate.

Applicazione

Per trovare la curva di durata in una data sezione occorre avere a disposizione la curva di durata per almeno un’ altra sezione ricadente all’ interno dell’ area omogenea; si opera nel seguente modo:

- In base alla prima tabella è possibile determinare il valore di ∆ .

- Con l’ ausilio di un’ altro adeguato metodo di regionalizzazione si ricava la portata media QNmed nella sezione di chiusura di interesse.

- Dette Qi e QSmed rispettivamente la portata di durata i-esima e quella media annua riportate negli annali per le stazioni note dell’ area omogenea, si calcola i rapporti Qi/QSmed per ogni stazione e si trova poi i valori medi fra la stazioni, in modo da costruire una curva di durata adimensionale per l’ intera area.

- Per associare questa curva alla sezione di interesse caratterizzata dal ∆ e dalla QNmed predeterminati si stabilisce la scala dei rapporti Qi/Qmed in base ai valori che tale rapporto assume per i = 10 e 355 giorni, la cui differenza è pari proprio a ∆ , e da essa si passa poi alla scala delle portate in base alla portata media annua.

In sostanza, avendo una sola stazione a disposizione, dette QNi la portata incognita di durata i-esima e QNmed la portata media annua nota relativa alla sezione di interesse si ha che la scala dei rapporti adimensionali vale:

K QNi QNmed Qsmed QSi QNmed QNi QSmed QSi = ⋅ =

Tale rapporto si mantiene costante per tutte le portate e dunque anche per quelle di durata 10 e 355 giorni per le quali e nota però anche la relazione

(

)

− − = ∆ Q Q Q_{10 355}

già definita. Risolvendo il sistema dato da queste 3 equazioni si ricava i valori di QN10, QN355 e K. Avremo a sistema:

K QN QNmed Qsmed QS 10 10 _{⋅ =} K QN QNmed Qsmed QS 355 355 _{⋅ =}

(

)

Qmed QN QN₁₀ − ₃₅₅ = ∆

Sviluppando il sistema si ottiene in particolare

∆ ∆ = S

dove ∆S è il valore di ∆ per la stazione nota, ovvero

(

)

QSmed QS QS S₌ 10− 355 ∆ .

Ogni generica portata incognita sarà dunque data da

K QS QSmed QNmed QN i i = ⋅ o meglio QNi = α ⋅QSi dove K QSmed QNmed ⋅ = α

Ricavata così per la stazione di misura la curva di durata in forma analitica si ricava anche per la sezione incognita la curva di durata delle portate in forma analitica.

I dati relativi alla stazione di misura delle portate di Borgo a Mozzano del S.I.M attiva nei periodi 1923-1943 e 1946-1951 sono:

Caratteristiche della stazione:

bacino di dominio: 1061 Kmq (parte permeabile 30%, alluvionale 2%). altitudine max : 2053 mslm.

zero idrometrico: 86.14 mslm. distanza dalla foce 50 Km circa. portata media: 43.4 l/s Kmq

afflusso meteorico medio sul bacino: 1946 mm coefficiente deflusso: 0.7

durata delle portate giorni mc/s 10 197 91 53.6 182 29.5 274 14.4 355 6.5

Si è deciso di rappresentare analiticamente tale curva con una forma empirica esponenziale del tipo di Coutagne: Q(x)= P0⋅xP1 + P2

I parametri P0, P1, P2 sono determinati per mezzo di un adattamento di tale tipo di

curva ai valori misurati eseguito con un’ apposita funzione (denominata powerfit) del programma di calcolo Mathcad 11. Tale funzione consente il miglior coefficiente di correlazione possibile.

Individuato il vettore dei parametri:

          − − = 893 . 73 338 . 0 665 . 589 P si ha la funzione Q(x)₌ 589.665_⋅x−0.338 ₋ 73.893 con il seguente grafico 2.4.1:

dove Y e X sono le coppie sperimentali portata-durata. Si evidenzia l’ottimo adattamento della funzione prescelta al campione sperimentale come dimostrato dal coefficiente di correlazione: corr(Q(x),Y)= 1

La portata media vale: QSmed= 46.047⋅mc/s la portata che dura 10 giorni: QS₁₀ = 196.950⋅mc/s quella che dura 355 gironi: QS₃₅₅ = 7.187⋅mc/s e per il parametro ∆S si ha:

(

)

QSmed QS QS S₌ 10 − 355 ∆ ovvero ∆S= −4.121 Calcolo indice ∆

Passiamo adesso a determinare l‘ indice ∆ per il nostro sottobacino di interesse. Secondo la regionalizzazione di Cavazza il sottobacino ricade nell’ area omogenea n° 8, che comprende i bacini tirrenici tra Frigido e Serchio, e per la quale valgono i corrispondenti coefficienti di regressione:

25628 . 27 a₀ = − 00440 . 0 a₁ = − 80951 . 0 a₂ = 03523 . 0 a₃ = −

Mentre sono nulli i coefficienti relativi ai parametri di forma (K), orografico (M), di copertura vegetale (B); il che sta a significare che questi sono parametri che nell’ ambito della nostra area omogenea esercitano un’ influenza costante su tutte le stazioni di misura o che hanno un’ influenza esigua rispetto ad altri parametri dominanti. Questa interpretazione è pienamente validata dalle diversità climatiche e geologiche e dalle similitudini geomorfologiche e vegetazionali che caratterizzano l’ area omogenea in questione.

Per ricavare ∆ basta quindi determinare i parametri corrispondenti ai coefficienti diversi da zero, ovvero S, C e G conformemente a quanto espresso dalla:

K a M a B a G a C a S a a₀ + ₁⋅ + ₂⋅ + ₃⋅ + ₄⋅ + ₅⋅ + ₆⋅ = ∆ si ha: Kmq 233 . 82 S= ⋅ 3793 . 27 C= 1709 . 0 G=

46 . 5 − = ∆

Stima portata media Serchio alla sezione interesse

Consideriamo i dati del S.I.M relativi alle stazioni di misura di portata di Filicaia e Borgo a Mozzano. I dati sono relativi al triennio 32-34 ma sono estremamente significativi:

anno Filicaia Borgo M.

32 1817.8 1884.3

33 1713.2 1815.5

34 2373.7 2210.4

media 1968.2 1970.1

pioggia annua (mm)

anno Filicaia Borgo M. rapporto

32 38.8 45 0.862

33 33.5 37.8 0.886

34 47.5 54.9 0.865

media 39.9 45.9 0.871

portata specifica (l/s Kmq)

Si nota come a fronte di un modulo pluviometrico praticamente identico si abbia un deflusso medio diverso; questo è dovuto alle differenti caratteristiche dei bacini sottesi dalle stazioni di misura che influiscono sul regime dei deflussi. Tali deflussi sono comunque in rapporto pressoché costante con valore medio di 0.871. Tale regolarità di comportamento ci consente di estendere la proporzionalità al periodo di tempo più ampio di misura delle portate al Borgo (1923-1943 e 1946-1951) con portata media specifica di 43.4 l/s Kmq e concludere che su tale periodo la portata media specifica a Filicaia è stata 0.871*43.4 ovvero 37.8 l/s Kmq.

Il bacino chiuso dalla stazione di Filicaia è di 259 Kmq e comprende al suo interno il nostro sottobacino di interesse di 82 Kmq; la permeabilità dei due bacini e molto simile (pari circa il 20% di aree permeabili), cosi come la pendenza media dei versanti e l’ uso del suolo; unica diversità è data dal modulo pluviometrico che sul sottobacino vale 1536 mm annui. Si può quindi concludere che la portata media specifica alla sezione di interesse è ragionevolmente uguale a quella di Filicaia a meno di un fattore di correzione pluviometrico pari al rapporto fra gli afflussi medi annui. La portata media con S=82.233 Kmq sarà:

S 1946 1536 8 . 37

QNmed= ⋅ ⋅ ovvero QNmed= 2.453⋅mc_s

Conclusione: Il coefficiente α è allora: ∆ ⋅ ∆ ⋅ = α QSmed S QNmed ovvero α = 0.068539

Trovato α allora la curva di durata per la sezione di interesse è: ) P x P ( ) x ( Q P ₂ 0⋅ 1 + ⋅ α =

Con il vettore P dei parametri uguale a quello per la stazione di Borgo a Mozzano. Tale funzione ha il grafico 2.3.2.

Volendola rappresentare come curva di probabilità cumulata in cui nell’ anno si possono prevedere portate decrescenti avremo in ascissa la portata ed in ordinata la corrispondente durata adimensionale; utilizziamo la seguente conversione:

[

]

P1 1 0 2 P ) P ( d 365 1 ) Q ( S ⋅ α ⋅ α − ⋅ = Ed avremo il grafico 2.3.3.

2.5 - CURVA DURATA RICAVATA DALLA PRODUZIONE ENEL

Circa 4,6 km più a valle della nostra sezione di interesse in località Pontecosi si trova un invaso di proprietà ENEL a servizio di una centrale idroelettrica sita in località Castelnuovo di Garfagnana. Tale invaso raccoglie direttamente le acque del Serchio e quelle in uscita dalla centrale di Corfino, che sfrutta il corso del torrente di Corfino e di quello di Castiglione; a queste va aggiunto il recupero delle acque di scarico, nel Castiglione, della centrale ad acqua fluente del Sillico, che utilizza le acque dei torrenti Sillico e Ceserana, effettuato tramite un canale derivatore fino a Pontecosi. Le caratteristiche dei 3 impianti sono:

CENTRALI dati generali impianto “Corfino” (a

Pontecosi) Sillico

Castelnuovo G. Anno costruzione 1914 (rifatta nel

1966) - 1925

Potenza efficiente (kW) 15000 1200 17000

Portata max derivabile (mc/s) 9,75 3 16

Salto utile max (m) 191,72 51 48,2

Prod. med. annua (GWh) 25,82 2,19 14,36

coeff. energetico medio

(kWh/mc) 0,4 0,1 0,09

DIGHE o PRESE

dati generali impianto Villa Collemandina Sillico Pontecosi

Bacino sotteso serbatoio (Kmq) 24 127,8

Bacino allacciato da derivaz.

(Kmq) 28 73,8

Bacino totale (Kmq) 52 31 201,6

Quota max regolazione (mslm) 502,72 - 311

Vol. utile regolazione attuale

l(mc) 468.000 - 1.144.000

Utilizzando il concetto di “coefficiente energetico dell’ impianto” e facendo alcune ipotesi, in linea teorica una stima diretta della portata di un corso d’acqua può essere fatta anche sulla base della misura di energia prodotta, laddove le sue

acque sono derivate per tale scopo. Il coefficiente energetico è definito come il rapporto fra l’ energia prodotta in un dato intervallo di tempo e il volume di acqua turbinato:

noto H= salto netto

η = rendimento globale impianto γ = peso specifico acqua

si ha:

3600 H η Ce= γ ⋅ ⋅

esso può essere ritenuto costante e consente quindi nota la produzione (Etot, in Kwh) in un dato intervallo di tempo (espresso in ore) di ricavare la portata media (Qm, in mc/s) su tale intervallo di tempo che ha attraversato la turbina:

) ore n ( 3600 Ce Etot Qm ° ⋅ ⋅ =

Noi abbiamo a disposizione i valori medi mensili delle produzioni delle 3 centrali in questione per un periodo di 34 anni che va dal 1964 al 1998, come evidenziato dalla tabella allegata. In sostanza, ammesso il funzionamento degli impianti come descritto sopra, la produzione mensile di Corfino esprime la somma delle portate mensili dei torrenti Corfino e Castiglione alle sezioni di captazione; la produzione di Sillico esprime le analoghe portate dei torrenti Sillico e Ceserana; la produzione di Castelnuovo esprime invece la portata mensile somma di quelle precedenti più quella data dal bacino diretto sotteso dal serbatoio di Pontecosi e da quello allacciato dalla derivazione sul Castiglione.

Il bacino diretto sotteso dalla diga di pontecosi, più la piccola parte allacciata del Castiglione, è di particolare interesse: si estende per 116,6 kmq, comprende interamente il nostro bacino di 82,233 Kmq chiuso alla Capriola, ed ovviamente ha delle caratteristiche spiccatamente simili. Le sue portate mensili sono ricavabili dalla portate turbinate dalle centrale di Castelnuovo meno quelle turbinate dalle centrali di Corfino e Sillico. Si otterranno dunque i risultati della tabella seguente. Premessa:

gli impianti in questione sono impianti a serbatoio con regolazione dei deflussi. Tale regolazione ha le seguenti caratteristiche:

- livello di interrimento elevato dei serbatoi, con capacità dimezzate in più di 80 anni di attività.

- necessità di mantenere livelli idrici elevati nel periodo turistico estivo.

Tali aspetti fanno sì che la regolazione non consenta assolutamente un compenso stagionale o mensile dei deflussi; la sua efficacia è piuttosto legata ad un compenso sicuramente settimanale e giornaliero, oltre a garantire condizioni ottimali di impiego dei macchinari in centrale, in termini di carico il più possibile costante e portata prossima ai valori di massimo rendimento.

L’ ipotesi di applicabilità di tale metodo è:

- coefficiente energetico costante. In realtà variabile con H e η. Tale ipotesi è confortata dalla seguenti considerazioni:

- Il coefficiente energetico è funzione del salto H, variabile con il livello idrico nel serbatoio e quindi con la portata. In linea teorica non potrebbe essere costante. Ma nella fattispecie avendosi la regolazione dei deflussi premessa si può ragionevolmente pensare che il salto si mantenga prossimo a quello max o comunque oscilli di poco.

- Il coefficiente energetico è funzione del rendimento η variabile con la portata. In linea teorica non potrebbe essere costante. Ma nella fattispecie avendosi la regolazione dei deflussi premessa anche il rendimento può ritenersi abbastanza costante. Si consideri inoltre che nella centrale di Castelnuovo sono presenti ben 3 turbine identiche con conseguente vantaggio di flessibilità nelle operazioni di ottimizzazione del rendimento; - Il valore assegnato al coefficiente energetico è comunque un valore medio. Le ipotesi di validità di tale metodo ai fini di una caratterizzazione del regime dei deflussi naturali sono:

- bassa influenza dei serbatoi sul regime dei deflussi.

- buona rappresentatività delle portate derivate, ovvero è necessario che le portate derivate rientrino un campo abbastanza ampio di quelle effettivamente defluenti; il problema riguarda in particolare le portate elevate che sopra certi valori sono captate solo parzialmente.

Tali ipotesi sono convalidate rispettivamente dalle seguenti considerazioni:

- Si consideri il Volume utile del serbatoio di Pontecosi pari a 1.144.000 mc di acqua; tale quantità di acqua ha un contenuto energetico, rispetto all’ asse

delle turbine di Castelnuovo, dato da

470 H V

E= ⋅ con H in metri e pari a circa 117000 kWh ovvero 0,17 GWh. Si confronti tale valore con le produzioni mensili della tabella e si noti la sua bassa incidenza. A maggior ragione questo avviene per il piccolo serbatoio di Villa Collemandina che ha un contenuto energetico di 0,19 GWh a fronte di una produzione massima in aprile di 3,9 GWh e minima in agosto di 0.46 GWh.

- Le portate captate e turbinate sono piuttosto consistenti e ben superiori ai valori medi di bacino. Corfino può turbinare fino a 9,75 mc/s pari a 187 l/s Kmq, Sillico fino a 3 mc/s pari a 96 l/s Kmq e Castelnuovo fino a 16 mc/sec pari a 79,4 l/s Kmq. Volendo fare un confronto approssimativo si consideri che la portata specifica di durata 91 giorni, ricavata dalla curva di durata media del Serchio a Borgo a Mozzano, vale 50,51 l/s Kmq. Si può comunque sin da ora premettere che i risultati ottenuti elaborando i dati ENEL porteranno ad un’ inevitabile sottostima dei valori di durata delle portate maggiori; e ciò andrà tenuto a debito conto.

Volendo elaborare i dati delle portate medie mensili della tabella si può pensare di utilizzare per esse ancora una volta il metodo della traslazione. Omettendo in questa esposizione i passaggi applicativi del metodo, peraltro identici a quelli già esposti per le elaborazioni delle misure di Camporgiano, si fornisce direttamente la curva di durata adimensionale delle portate. La sua equazione è:

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = z dz z e 1 ) z ( P 2

avendo cura di computare la z che compare all’ estremo inferiore di integrazione a mezzo della: z(x)= 2.032⋅log₁₀(x− x₀)− 0.154. Va segnalato che per un buon adattamento del metodo si è assunta una portata di massima magra x0pari a 200

l/s.

figura 2.5.1

I limiti di tale applicazione sono evidenti dal confronto dei risultati con quelli degli altri due metodi, come vedremo nelle conclusioni.

I fattori limitanti sono due: il primo, cui si è già accennato riguarda il fatto che le portate più elevate non sono ben considerate poiché derivate solo in parte; il secondo riguarda la questione di come una curva di durata che utilizza i valori medi mensili possa rappresentare le durate giornaliere con precisione. Tale questione è piuttosto problematica e qui ci riserviamo di fare solo alcune considerazioni utili per la gestione dei risultati. Il campione dei 12 valori a nostra disposizione rispetto ai 365 valori delle portate giornaliere non è estratto casualmente, ma questi valori sono le medie dei 365 presi a “pacchetti” di circa 30 valori per volta. All’ interno di ogni mese o pacchetto avrò una qualche distribuzione di probabilità per le diverse portate giornaliere, distribuzione che avrà la media nota. Non conosciamo però le caratteristiche di tali distribuzioni che sono sicuramente diverse fra loro e più o meno disperse, più o meno asimmetriche. Consideriamo ora il classico comportamento di andamento annuale dei deflussi:

questo e sicuramente caratterizzato da una serie di mesi ad elevata variabilità di portata, ovvero quelli da ottobre a giugno, e da mesi in cui i deflussi, ad eccezione di rari picchi hanno il caratteristico andamento a “curva di esaurimento”, ovvero i mesi da giugno a settembre. Se ne deduce come per tali mesi la distribuzione interna al mese delle portate giornaliere possa essere ragionevolmente ipotizzata poco dispersa e parecchio simmetrica attorno al valore medio e che gran parte dei valori giornalieri di portata di un mese sia maggiori di quello successivo. In sostanza i valori di luglio sono maggiori di quelli di agosto. Conseguenza immediata è che le portate medie sono rappresentative non solo dell’ entità delle portate nel periodo mediato ma anche della loro durata. Per esempio non sarebbe sbagliatissimo pensare che la portata media di agosto abbia una durata di 350 giorni, quella di luglio di 320.

Se ammettiamo valido questo ragionamento ben si inquadra il buon allineamento delle curva di durata dei dati ENEL con le altre due precedentemente trovate per i valori di portata inferiori a 1 mc/s.

2.6 - CONCLUSIONI

Sono state ricavate 3 distinte curve di durata che riassumiamo in breve: - Curva di durata ottenuta dalla formula di regionale di Cavazza: Q(x) (P xP P₂) 0⋅ 1 + ⋅ α = con α = 0.068539           − − = 893 . 73 338 . 0 665 . 589 P

- Curva di durata ottenuta elaborando le misure di portata dell’ anno 2004:

La curva di durata che si identifica con la funzione o curva di probabilità.

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = z dz z e 1 ) z ( P 2

avendo cura di computare la z che compare all’ estremo inferiore di integrazione

per mezzo della: z(x)= 1.021⋅log₁₀(x− x₀)+ 0.068. - Curva di durata ottenuta di dati ENEL.

La sua equazione è:

∫

+ ∞ ⋅ − ⋅ π = z dz z e 1 ) z ( P 2

avendo cura di computare la z che compare all’ estremo inferiore di integrazione a

mezzo della: z(x)= 2.032⋅log₁₀(x− x₀)− 0.154.

Volendole confrontare le rappresentiamo su uno stesso grafico (grafico 2.6.1). Si evidenzia come:

- la curva tratteggiata sia affetta dai limiti della caratterizzazione pluviometrica del 2004, già visti nel relativo paragrafo. In sostanza una scarsità di piogge estive ed autunnali che comporta un aumento di durata delle portate minori.

- la curva continua potrebbe invece portare ad una sovrastima delle portate minori poiché è ottenuta sì con la formula regionale e sulla base dei

parametri di bacino, ma a partire dalla curva di durata di Borgo a Mozzano, ovvero di un bacino ben più ampio del nostro (1061 Kmq contro 82). I deflussi minori sono influenzati dalla presenza di sorgenti, numerose nell’ ampio bacino del Borgo ma scarse all’ interno del nostro.

grafico 2.6.1

- la curva punteggiata, ovvero quella ottenuta dalla produzione ENEL, ha i limiti già descritti nella parte ad essa dedicata; qui si vuole sottolineare la validità del suo tratto iniziale che, visti i limiti delle precedenti curve, si configura come la stima più attendibile della durata delle portate più basse. Tale curva la riterremo attendibile fino alla portata di 1,77 mc/s,

corrispondente a quella media di giugno, con durata di circa 0,4 e pertanto utilizzeremo solo questa parte iniziale.

Tutte le tre curve sono ritenute ugualmente attendibili e si considera una sorta di curva media delle tre. Si opera nel seguente modo:

- si fissano 10 valori di portata pari a: Q (mc/s) 0.6 0.7 0.85 1.17 1.5 2 2.5 3 4 6 8 10

- per le prime 4 portate si calcola la corrispondente durata con ognuno delle tre formule, per le successive non si utilizza più la curva di durata da ENEL.

- si fa la media delle tre o due durate ottenute e si associa alla corrispondente portata.

- si trasforma la durata media in giorni moltiplicandola per 365; avremo: durata (giorni) portata (mc/s) 313.4 0.6 293.9 0.7 266.7 0.85 217.6 1.17 184.3 1.5 148.0 2 121.8 2.5 101.9 3 74.4 4 44.5 6 29.5 8 21.0 10

- si adatta una forma esponenziale alla serie di coppie durata-portata ricavando una forma analitica per la curva di durata.

L’ operazione di adattamento è stata eseguita tramite la funzione “powerfit” del programma di calcolo Mathcad 11 ottenendo la funzione:

) P x P ( ) x ( Q P ₂ 0⋅ 1 + = con           − − = 496 . 2 521 . 0 124 . 61 P

che ha il seguente grafico (grafico 2.6.2):

grafico 2.6.2

con un coefficiente di correlazione pari a 1.

La funzione trovata è la curva di durata che assumeremo a base della progettazione dell’ impianto ad acqua fluente in località Capriola.