CHIARIMENTI SU ALCUNI ASPETTI TEORICI ALLA BASE DEL MODELLO DI SCARICA ADOTTATO AA

CHIARIMENTI SU ALCUNI ASPETTI TEORICI

ALLA BASE DEL MODELLO DI SCARICA

ADOTTATO

A.1 Introduzione

Nel presente appendice vengono chiariti alcuni aspetti teorici e i vari passaggi che hanno portato alla formulazione definitiva delle equazioni utilizzate nel modello fisico-matematico illustrato nel capitolo 6 del presente lavoro di tesi.

A.2 Equazione del flusso termico

Prima di procedere, si rende necessario ricavare l’espressione per il flusso termico per le varie specie di particelle. Se le funzioni di distribuzione delle velocità disordinate sono quasi maxwelliane ed inoltre l’energia del moto diretto è molto inferiore a quella del moto disordinato ( ), l’equazione per il flusso termico (in assenza di campi magnetici) assume la foma:

α α αu T m 2 /2<< t q T m T n t q δ δ _α α α α α α r r r = ∇ + ∂ ∂ 2 5 (A.1)

) ( 2 3 ) 87 . 1 ( _{ea ei e e ei e i} e _{q nT u u} t qr _{r r r} − + + − = ν ν ν δ δ (A.2) ) )( ( 8 5 4 1 5 4 4 3 n i n i in i i in n i i ii in i _{q n T T u u} n n q t qr _{r r r r} − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − = ν ν ν ν δ δ (A.3) ) )( ( 8 5 4 1 4 1 4 3 i n i n ni n i ni i n n nn ni n _{q n T T u u} n n q t qr _{r r r r} − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − = ν ν ν ν δ δ (A.4)

A.3 Il termine collisionale dell’equazione di bilancio della

quantità di moto

Si procede di seguito ad esplicitare il termine collisionale presente nell’equazione della quantità di moto nel caso di urto elastico tra le varie particelle del plasma:

(

∑

+ = β αβ αβ α α _δ δ _T R R ur v v

)

t m (A.5)

Esso viene considerato nel caso di urti di tipo elastico tra elettroni-ioni, ioni-neutri ed elettroni-neutri.

Nella descrizione delle collisioni tra particelle si definisce frequenza collisionale la seguente quantità:

) (v v t aβ nβ sαβ

ν = (A.6) dove è la sezione d’urto per urti elastici e rappresenta l’area della superficie (perpendicolare alla velocità relativa) da cui le particelle vengono diffuse, a seguito di un urto, sotto un angolo qualsiasi.

t

A.3.1 Urti elettroni-ioni

Per una distribuzione quasi maxwelliana della velocità il termine collisionale è: > ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − < + − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e e e e t ei e e i e ei ei e T m T m nT q u u t u 5 v v 3 ) ( 4 2 ν ν δ δr _{r r} r (A.7)

Le medie delle frequenze collisionali per gli elettroni, nel caso di plasma fortemente ionizzato, sono date da:

∫

∞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ >= < = 0 2 2 / 5 4 2 dv 2 v exp v 3 / 2 4 v 3 e e e e e e t ei e e ei T m T m L m ne T m _{ν π} π ν 2 / 3 2 0 4 ) 4 ( 3 2 4 e e e T m L ne πε π = (A.8) × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ >= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − < 2 / 5 2 2 4 2 2 / 2 4 v v e e e e e e e e t ei T m m neL T m T m π _π ν ei e e e e T m T m _ν 5 9 2 v exp v 5 v 0 2 3 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ×

∫

∞ (A.9)

Infatti se si considerano urti elastici la sezione d’urto è la sezione d’urto di trasporto e la frequenza collisionale è la frequenza d’urto di trasporto. Se si sostituisce il termine collisionale (A.2) in (A.1), si ricava l’espressione del flusso termico per gli elettroni nel caso stazionario:

) ( 87 . 1 2 3 ) 87 . 1 ( 2 5 i e ei ea e ei e ei ea e e e u u nT T m nT qr r r −r + + ∇ + − = ν ν ν ν ν (A.10) ossia u u nT g T K qr_e =− _e∇r _e + _{T e}(r_e− r_i) (A.11) dove e sono rispettivamente il coefficiente di scambio termico e il coefficiente termico per gli elettroni

e

m K ei ea e e e ) 87 . 1 ( 2 ν + ν = ei ea ei T g ν ν 1.87 2 + =

Per cui, sostituendo la (A.11) e la (A.9) in (A.7), elaborando si ricava:

e ei ea e ei i e ei ei ea ei ea ei e T m u u t u ∇ + − − + + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r _{r r} r ) 87 . 1 ( 2 3 ) ( 87 . 1 97 . 0 ν ν ν ν ν ν ν ν δ δ (A.12) ) ( _{e i} ei e ei m u u Rr =− ν r −r (A.13) e T T ei g T Rr =− ∇r (A.13b) dove _ei ei ea ei ea ei _{ν ν} ν ν ν ν 87 . 1 97 . 0 + +

= e sono rispettivamente la frequenza d’urto efficace e il coefficiente termico per gli elettroni.

T

g

Entrambi dipendono non soltanto dalla frequenza delle collisioni elettroni-ioni ν_ei, ma anche dalla frequenza delle collisioni tra elettroni-neutri ν_ea. I valori sopra riportati tengono conto dell’effetto degli urti elettrone-elettrone ed elettrone-ione.

A causa della forte dipendenza della frequenza di collisione elettrone-ione dalla velocità, il contributo principale alla velocità media viene dato dagli elettroni veloci, per i quali la frequenza d’urto è molto più piccola che per gli elettroni lenti. Di conseguenza, la frequenza d’urto efficace è notevolmente inferiore alla frequenza media. Negli urti elettrone-elettrone si ha uno scambio di energia tra particelle veloci e particelle lente, fatto questo che attenua l’effetto in esame.

La forza termica è dovuta alla dipendenza della frequenza d’urto dalla velocità, cioè al fatto che gli elettroni che si muovono lungo il gradiente di temperatura (dalla regione caratterizzata da una frequenza più bassa) collidono con gli ioni meno frequentemente di quanto non facciano le particelle che si muovono nella direzione contraria.

Gli urti elettrone-elettrone ed elettrone-neutro attenuano questo effetto poiché, a causa della variazione di direzione della velocità in tali urti, le particelle che si muovono nella stessa direzione ed in direzione opposta al gradiente, si mescolano tra loro dando come risultato un valore più basso del coefficiente termico.

A.3.2 Urti ioni-neutri

Nel caso di collisioni tra ioni ed atomi, le forze che governano la loro interazione possono essere suddivise in due tipi: uno dovuto ad una sovrapposizione degli strati elettronici e l’altro connesso alla polarizzazione.

Le forze associate all’effetto di sovrapposizione si smorzano e praticamente si annullano a distanze confrontabili con le dimensioni atomiche. Di conseguenza la sezione d’urto associata a tale interazione è dell’ordine relativo πr_a2 (dove ra è il raggio atomico di Bohr).

A distanze maggiori del raggio atomico l’interazione è connessa con la polarizzazione. In questo caso la sezione d’urto è dell’ordine di grandezza di r_a2

(

m_ee4 _h2

)

K_i .

Essendo l’energia cinetica K_i << m_ee4 2 ≈10eV

h , l’interazione di polarizzazione alla sezione d’urto è molto maggiore dell’influenza dell’interazione connessa con la sovrapposizione degli strati elettronici ione e atomo. In questo caso la sezione d’urto è

e s in d t μ α v 10 ≅ (A.14) dove il termine 3 2 2 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = e m r e a d h χ χ α

rappresenta la polarizzabilità dell’atomo (1<χ <300). Sostituendo la (A.14) nella (A.6) si ricava:

in d n

in n e α μ

ν =10 (A.15)

A.3.3 Urti elettroni-neutri

Per quanto riguarda le collisioni tra elettroni ed atomi si vede come per le alte energie, , la sezione d’urto per lo Xeno è una funzione che decresce approssimativamente come

eV K_e >15

v

A.4 Equazione di bilancio dell’energia

Si prende ora in considerazione l’equazione di bilancio dell’energia e si ricavano le espressioni differenziali della temperatura per le particelle delle varie specie. L’equazione di bilancio dell’energia è:

− ⋅ ∇ − ⋅ ∇ − = ∇ ⋅ + ∂ ∂ α α α α α α α α α u 3 2 q 3 2 ur rT r r n T r r n t T n t T n δ δ π α α α α ⋅∇ + − u 3 2 r _r (A.16)

dove il termine collisionale è dato da

2 2 2 ) u u ( ) ( 3 2 ) ( _{α αβ α β} β α β α β α αβ α αβ α α _δ χ ν ν δ _{r −r} + + − − = n m m m m T T n t T n (A.17)

Il primo termine a secondo membro della (A.17) determina lo scambio di energia del moto disordinato nelle collisioni, dove la quantità

) ( 2 β α β α αβ χ m m m m + =

è il coefficiente di trasferimento di energia, mentre il secondo termine rappresenta la variazione dell’energia diretta.

È facile vedere che l’ultimo termine si annulla per ur =α urβ, cioè

quando le due componenti del plasma sono mediamente in quiete l’una rispetto all’altra e non esiste attrito. Quindi sostituendo la (A.17) nella (A.16), si ricavano l’equazioni di bilancio per gli elettroni e per le particelle pesanti, nell’ipotesi di stazionarietà e di assenza di effetti viscosi e trascurando, nel caso di particelle pesanti (ioni e neutri), le quantità relative al moto disordinato nel termine collisionale:

+ − − = ⋅ ∇ + ⋅ ∇ + ∇ ⋅

∑

β β β β ν χ ( ) u 3 2 q 3 2 u T nT n T T n_e r_e r _e r r_{e e e}r r_{e e e e e}

∑

− + β β β ν 2 ) u u ( 3 2 _{r r} e e e en m (A.18)

∑

− − = ⋅ ∇ + ⋅ ∇ + ∇ ⋅ β αβ β α β α α α α α α α α u χ ν ( ) 3 2 q 3 2 u T n T n T T n e r r r r r r _(A.19)

Sostituendo la (A.11) nella (A.18), nel caso di plasma fortemente ionizzato, si ricava: = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− + −} dz dn u T dz dT nu u u nT g dz dT K dz d e e e i e e T e e 3 2 ) ( 3 2 e 2 ) ( 3 2 ) ( e i e ei e i ei ei T T nm u u n − + − − = χ ν ν (A.20)

dove si è utilizzata le relazione ricavata dall’equazione di continuità

dz dn n u dz du n _e = ⇒ e =− e ∇r( ur ) 0

Esplicitando i vari termini si ottiene:

= + − − − dz dn en T j dz dT e j dz dT e j g dz dT T dz d L e m g _{e T 0 e e e e e} e e e qe 3 2 3 2 ) ( 2 4 ) 4 ( 5 _{5/2 0 0} 4 2 0 π πε 2 0 2 / 3 2 0 2 2 2 / 3 2 0 4 ) 4 ( 9 2 8 51 . 0 ) ( ) 4 ( 3 2 8 j T L e m T T n T m L e m e e e i e e i e e πε π πε π ⋅ + − − = (A.21)

dove si è tenuto conto che

en j u u_e− _i =− 0 e j u n nu_e = _{0 e0} =− e0 e per plasmi fortemente ionizzati

2 m_eν_ei

Per cui sviluppando la (A.21), si ottiene l’equazione differenziale della temperatura elettronica: + − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = _{2 5/2} 1 0 0 2 / 5 1 0 0 2 2 2 3 2 3 ) 5 2 ( 2 5 e e i in in e e e T e e e nT e c j j dz dT eT c j j g dz dT T dz T d μ ν 4 1 3 2 4 1 2 _{( )} e i e e cT c T T n T c c − − + (A.20) con e e q L e m g c e 4 2 0 1 2 ) 4 ( 4 5 π πε = ₂ 0 4 2 ) 4 ( 3 2 8 πε π i e e m L e m c = _{2 0}2 0 2 3 ) 4 ( 9 2 8 51 . 0 j L e m c e e πε π ⋅ =

e avendo utilizzato l’equazione differenziale per la densità (4.10), [Cap. 4]:

e io in in e e eT j dz dT T n dz dn μ ν − − =

Le equazioni di bilancio dell’energia nel caso di ioni e neutri sono date da: ) ( 2 1 ) ( 3 2 n i in e i ei ei i i i i n T T n T T dz dn u T dz dT u n − =− χ ν − − ν − (A.21) e i ne n e i n ni n n n n n n n T m n m T T n u T n T u n ν ( ) 2 ν 2 3 2 + − − = ⋅ ∇ + ∇ ⋅r r r r _(A.22)

in cui si sono trascurati i termini relativi al flusso termico e nella (A.22) si è trascurata la rispetto alla . I coefficienti di conducibilità termica sono, infatti, trascurabili rispetto a quello degli elettroni in quanto funzioni della temperatura e quindi del moto disordinato delle particelle. Sostituendo i vari termini e sviluppando si ha, per gli ioni:

n

) ( 2 ) ( ) 4 ( 3 2 8 3 2 0 0 2 / 3 2 0 2 4 n i i in i e i e i e e i i T T j en j T T e T m n L e m dz dn n T dz dT − − − − = ν πε π (A.23)

Dalla (A.23), utilizzando la (6.10), si ottiene l’equazione differenziale della temperatura ionica: ) ( 2 ) ( 3 2 3 2 0 2 2 / 3 0 2 0 n i i in e i e i e i i in in e e i i _{T T} j en T T n T j e c enT T j dz dT T T dz dT − − − − − − = μ ν ν (A.24)