DINAMICA
Principi di conservazione:
1) del momento 2) della massa 3) dell’energia
Forze che influenzano i moti atmosferici:
1) forza del gradiente di pressione 2) forza gravitazionale
3) attrito 3) attrito
Forze apparenti nel caso di sistema di riferimento ruotante (non inerziale):
- forza centrifuga
- forza di Coriolis
Forza del gradiente di pressione (pressure gradient force)
z x y
x p p
F
z x y
x p p
F
BX AX
δ δ δ
δ δ δ
∂
− ∂
=
∂ + ∂
−
=
2 2
0 0
F
X=F
AX+F
BXp
F 1 ∂
x p m
F
X∂
− ∂
= ρ 1
m p
F = − ∇
ρ
1 r
La forza non è proporzionale alla pressione
ma al gradiente di pressione
Forza gravitazionale
−
≈
−
=
= r
r a
GM r
r r
g GM m
F r g r r
2
* 2
Forza d’attrito viscoso
z u z
u A
F
z
zx
∂
= ∂
=
=
→µ
δ µ δ τ lim
δ 0τ zx
componente dello stress che deriva dallo shear verticale (z) della= cost.
z y z x
x z y
x z z y
X τ
zxτ z
zxδ δ δ τ
zxτ
zxδ δ δ τ
zxδ δ δ
∂
= ∂
∂
− ∂
−
∂ + ∂
2 : 2
2
1
21
z u z
u z
z
zx
∂
= ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂ µ ν
ρ τ
ρ
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
22 22 22z
u y
u x
F
rxν u
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
22 22 22z
v y
v x
F
ryν v
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
22 22 22z
w y
w x
F
rzν w
τ zx
dallo shear verticale (z) della componente x della velocitàν= coeff. di viscosità cinematico
Sistemi di riferimento non inerziali
Sistemi di riferimento inerziali principio della dinamica
Sistemi di riferimento non inerziali forze apparenti (centrifuga e Coriolis)
Forza Centripeta e Centrifuga
forza centripeta diretta verso il centro di rotazione forza centrifuga è uguale ed opposta
dt r v
d r r
ω
2−
=
Forza di gravità
Ω =2 π /86164=7.292 10
-5rad/s
g* diretta verso il centro della terra g perpendicolare alla superficie
R g
g
r r
r 2
* + Ω
=
dz g g ⇒ d =
−
=
∇ φ r φ
Forza di Coriolis
Moto lungo un circolo di latitudine
R R R u
R R u
R R
u r r r r
2 2 2
2 2
Ω + +
Ω
=
Ω +
forza
centrifuga forza deviante
R R Ω u r
2 forza di Coriolis per un oggetto in moto lungo un circolo di latitudine
dv
φ φ cos
2
sin 2
dt u dw
dt u dv
Ω
=
Ω
−
=
Una particella che si muove verso est subisce una deviazione verso sud, mentre una particella che si muove verso ovest viene deviata verso nord (nell’emisfero nord). In entrambi i casi la deviazione è sulla destra rispetto alla direzione del moto.
La componente verticale è normalmente trascurabile rispetto alla forza gravitazionale e causa solo variazioni minime nel peso della particella in moto.
Forza di Coriolis per un oggetto in moto lungo un meridiano
( )
22
R R
R R
R u
vR δ
δ
δ +
+ + Ω
= Ω
=
φ φ φ
φ δφ
δ δ
sin 2
sin 2
sin 2
2
0
0
dt v a d dt
du
a R
u
Co
Ω
= Ω
=
Ω
= Ω
−
=
R
u δ
δ = − 2 Ω
Per un moto meridionale
Questo incremento δu può essere dovuto sia da un moto meridionale che verticale (vedi fig)
Conservazione del momento angolare
dt dt
Co
φ sin 2 Ω
=
f = parametro di Coriolis per un moto verticale:
Quindi l’espressione completa che descrive la variazione della velocità zonale diventa:
φ cos dt 2 w
du = − Ω
φ φ
φ 2 cos 2 cos
sin
2 v w fv w
dt
du = Ω − Ω = − Ω
φ cos 2
dw dt fu dv
w dt fv
du
−
=
Ω
−
=
Quindi anche per moti meridionali/verticali l’effetto della forza di Coriolis è di produrre una deviazione verso destra (nell’emisfero nord).
L’espressione completa in 3D della forza di Coriolis risulta:
φ cos 2 u
dt
dw = Ω
OSS1: la forza di Coriolis agisce sempre perpendicolarmente al moto, quindi non fa lavoro sulla particella in moto. Può cambiarne la direzione, ma non la velocità.
OSS2: la forza di Coriolis non è importante per moti a piccola scala come, ad esempio, la dinamica di una cella temporalesca. E’ essenziale nella descrizione dei moti a larga scala (sinottica e planetaria) anche ad esempio nel calcolo delle traiettorie dei missili a lungo raggio.
