Se vogliamo minimizzare (col metodo dei  minimi quadrati) la distanza di un punto da  una retta

Se vogliamo minimizzare (col metodo dei  minimi quadrati) la distanza di un punto da  una retta 

∑

d_i=

∑

∣^y_i^−ax_i^b∣

^1a2

d_i=∣^y_i^−ax_i^b∣

^1a2

Minimizzare le distanze equivale a 

∑

∣^y_i^−ax_i^b∣²

1a² min

∂

∂ a

∑i=1 n

[ y_i−ax_ib]²

1a² =0

−2

1a² ∑

i=1 n

[ y_i−ax_ib]−x_i∑

i=1

n [ y_i−ax_ib]²−12a

1a²² =0 ecc...

∂

∂ b

∑i=1 n

[ y_i−ax_ib]²

1a² =0 −2

1a² ∑

i=1 n

[ y_i−ax_ib]−1=0

ecc...

La Faber Jackson per un campione di 856  ellittiche in rosso il risultato del fit

In blu del   log ₀ versus log L_B log L_B versus log ₀

Il coefficiente di correlazione indica la bonta'  del fit. Deve essere “legato” alla dispersione  dei dati

r²= SS²_xy SS_xx SS_yy SS_xx=

∑

i=1 n

 x_i−x ² SS _yy=

∑

i=1 n

 y_i− y²

SS_xy=

∑

i=1 n

 x_i−x

∑

i=1 n

 y_i− y

SS_xx=n ²_xx SS _yy=n ²_yy

SS_xy=n _xy

r²= n²²_xy n ²_xx n²_yy

r²= SS²_xy SS_xx SS_yy

SS_xx=

∑

i=1 n

 x_i−x ² r²= ²_xy

_xx² ²_yy

SS_xx=

∑

i=1 n

x_i²−2

∑

i=1 n

x_i x

∑

i=1 n

x²

SS_xx=

∑

i=1 n

x_i²−2n x²n x²

SS_xx=

∑

i=1 n

x_i²−n x² SS _yy=

∑

i=1 n

y_i²−n y²

SS_xy=

∑

i=1 n

 x_i−x

∑

i=1 n

 y_i− y

SS_xy=

∑

i=1 n

x_i y_i−

∑

i=1 n

x_i y−

∑

i=1 n

x y_i

∑

i=1 n

x y

SS_xy=

∑

i=1 n

x_i y_i− y

∑

i=1 n

x_i−x

∑

i=1

y_in x y

SS_xy=

∑

i=1 n

x_i y_i− y n x−x n yn x y SS_xy=

∑

i=1 n

x_i y_i−n y x

r²= SS²_xy SS_xx SS_yy

r²=



∑

i=1 n

x_i y_i−n y x²



∑

i=1 n

x_i²−n x²

∑

i=1 n

y_i²−n y²

a=

∑

x_i y_i−n x y

∑

x_i²−n x²

(6) a= SS_xy SS_xx

r²=



∑

i=1 n

x_i y_i−n y x²



∑

i=1 n

x_i²−n x²

∑

i=1 n

y_i²−n y² a=

∑

x_i y_i−n x y

∑

x_i²−n x²

(6)

r²=a a '

 Se invece di fittare una retta del tipo

Y = ax + b avessimo fittato una retta x= a'y + b' Scambiando in pratica la x con la y

a '=

∑

x_i y_i−n x y

∑

y_i²−n x²

 Se la retta e' la stessa a '= 1

a r²=1

m_B−M _B=255 log d_Mpc

v_r=H₀d_Mpc M_B=m_B−25−5 log v_r5 log H₀

 Quanto sono simili due distribuzioni?

 Il test di Kolmogorov Smirnov (KS) permette di Verificare se due distribuzioni sono 

significativamente diverse o se si possono  considerare figlie della stessa popolazione

 Il test del 

Permette di confrontare due distribuzioni e 

verificare se sono compatibili ma lavora su classi

²

Per esempio : supponiamo che un certo  ambiente sia caratterizzato da questa  popolazione morfologica

10 % Ellittiche, 20 % S0, 30 % S early, 40 % S late E che io abbia 3 campioni di 240, 277 e 262

Galassie con la morfologia

Campione 1 :  18 E, 35 S0, 83 S early 104 Slate

Totale 240 ( E 8%, S0 15%, S early 34%, S late 43%)

Campione 2 :  27 E, 50 S0, 80 S early 120 Slate Totale 277 ( E 10%, S0 18%, S early 29%, S late  43%)

Campione 3 :  12 E, 20 S0, 100 S early 130 Slate Totale 262 ( E 4%, S0 8%, S early 38%, S late 50%) Le distribuzioni dei 3 campioni sono compatibili Con quella aspettata ?

²=

∑

O_i− A_i² A_i

K e' il numero delle classi , k=4

I gradi di liberta' sono 3

=k−m−1

Poiche' m= 0 (nessun parametro e'  stato stimato dai dati del campione

 Devo calcolare il valore del      per ciascun  campione e confrontarlo coi valori tabulati.

Accetteremo l'ipotesi di verosimiglianza se 

²

²_0.05² _0.05² =3=7.815