Breve riepilogo su quanto fatto fino ad ora: ­ Utilizzo e comprensione di randomn e randomu ­ Distribuzioni continue e discrete

Breve riepilogo su quanto fatto fino ad ora:

­ Utilizzo e comprensione di randomn e randomu

­ Distribuzioni continue e discrete

N media sigma media sigma

10 0.30 0.79 -0.04 1.27

100 0.10 1.05 -0.21 1.01

1000 0.02 1.04 0.02 0.98

10000 0.01 1.00 0.01 1.00

     Risultato delle simulazioni  Randomn       seme 1       seme 8

N media sigma media sigma

10 0.52 0.28 0.48 0.32

100 0.51 0.29 -0.21 0.30

1000 0.50 0.28 0.49 0.29

10000 0.50 0.29 0.50 0.29

      Random u

K = m

 X Coefficiente di estinzione 

(assorbimento in mag su masse  d'aria)

l=x cos z

x= l cos z

x=sec z

sec z= 1

sin sin cos  cos cos HA

 x

 l

Definizione di massa d'aria

Relazione massa d'aria coordinate (astronomiche e  del luogo)

r²=0.80

funzione dell'arimass, la retta tratteggiata fittando airmass verso V

Coefficiente di correlazione

Il metodo dei minimi quadrati

Dato un insieme di punti sperimentali

 x

y

 x

y

 x

y

 ... x

, y



(Least squares fitting)

Consente di trovare la funzione che meglio  approssima i punti

∑

 y

− f  x



 min

f  x

= ax

b

∑

 y

− ax

 b

 min

∂

∂ a ∑

i=1 n

 y

− ax

 b

= 0

∂

∂ b ∑

i=1 n

 y

− ax

 b

= 0

[1]

[2]

∂

∂ b ∑

i=1 n

 y

− ax

 b

= 0 ^[2]

−2 ∑

i=1 n

 y

− ax

 b=0

∑

y

− ∑

i=1 n

ax

− ∑

i=1 n

b=0

∑

y

− ∑

i=1 n

ax

−n b=0

n b= ∑

i=1

y

− ∑

i=1

ax

b=

∑

y

− ∑

i=1 n

ax

n

b=

∑

y

−a ∑

i=1 n

x

n ^[3]

∂

∂ a ∑

i=1 n

 y

− ax

 b

= 0 _[1]

−2 x

∑

i=1 n

 y

− ax

b=0

∑

x

y

− ∑

i=1 n

ax

− ∑

i=1 n

bx

=0

b=

∑

y

−a ∑

i=1 n

x

n ^[3]

∑

x

y

− ∑

i=1 n

ax

− ∑

i=1 n

x

∑

y

−a ∑

i=1

x

n = 0

∑

x

y

− ∑

i=1 n

ax

−

∑

x

∑

i=1 n

y

n 

a ∑

i=1 n

x



n =0

∑

ax

−

a ∑

i=1 n

x



n = ∑

i=1 n

x

y

−

∑

x

∑

i=1 n

y

n

a=

∑

x

y

−

∑

x

∑

i=1 n

y

n

∑

x

−

 ∑

i=1 n

x



n

a=

n ∑

i=1 n

x

y

− ∑

i=1 n

x

∑

i=1 n

y

n ∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x



[4]

a=

n ∑

i=1 n

x

y

− ∑

i=1 n

x

∑

i=1 n

y

n ∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x



[4]

b=

∑

y

−a ∑

i=1

x

n

b=

∑

y

n −

n ∑

i=1 n

x

y

− ∑

i=1 n

x

∑

i=1 n

y

n ∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x



∑

x

n

[3]

b=

∑

y

n −

n ∑

i=1 n

x

y

∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x



∑

i=1 n

y

nn ∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x



 b=

∑

y

n −

n ∑

i=1 n

x

y

− ∑

i=1 n

x

∑

i=1 n

y

n ∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x



∑

x

n

b=

n

∑

i=1 n

y_i

∑

i=1 n

x_i²−

∑

i=1 n

x_i²

∑

i=1 n

y_i−n

∑

i=1 n

x_i y_i

∑

i=1 n

x_i

∑

i=1 n

x_i²

∑

i=1 n

y_i

nn

∑

i=1 n

x_i²−

∑

i=1 n

x_i²

b=

n ∑

i=1

y

∑

i=1

x

−n ∑

i=1

x

y

∑

i=1

x

nn ∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x





b=

∑

y

∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x

y

∑

i=1 n

x

 n ∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x





b=

∑

y

∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x

y

∑

i=1 n

x

n

∑

x

−

 ∑

i=1 n

x



n

b=

y ∑

i=1 n

x

− x ∑

i=1 n

x

y

∑

x

−n x

a=

n ∑

i=1

x

y

− ∑

i=1

x

∑

i=1

y

n ∑

i=1 n

x

− ∑

i=1 n

x



a=

∑

x

y

−

∑

x

∑

i=1 n

y

n

∑

x

−

 ∑

i=1 n

x



n

a=

∑

x

y

−n x y

∑

x

− n x

[4]

[6]

Col metodo dei minimi quadrati posso 

“fittare” qualsiasi funzione ai miei dati

Per esempio un polinomio

f  x

= a

a

 a

x

 a

x

....a

x

∑

 y

− a

 a

x

 a

x

... a

x



 min

∑

 y

− f  x



 min

∂

∂ a

∑

i=1

 y

− a

 a

x

a

x ...a

x  = 0

∂

∂ a

∑

i=1 n

 y

− a

a

x

 a

x

... a

x



=0

∂

∂ a

∑

i=1 n

 y

− a

 a

x

 a

x

... a

x



=0

∂

∂ a

∑

i=1 n

 y

− a

 a

x

 a

x

... a

x



=0

...

O anche una “gaussiana”  

f  x= A e

−x−x₀² 2 ²

∂

∂ A ∑

i=1 n

 y

− A e

−x−x₀²

2 ²



=0

∂

∂  ∑

i=1 n

 y

− A e

−x−x₀²

2 ²



=0

∂

∂ x

∑

i=1 n

 y

− A e

−x−x₀²

2²



= 0

polinomio

r²=0 99.

r²=0.74

in rosso 

In blu del   _{log LB∝4 log } log  ∝0.33 log L_B

Se vogliamo minimizzare (col metodo dei 

minimi quadrati) la distanza di un punto da 

una retta 

∑

d

=

∑

∣ ^y

^{− ax}

^{ b} ∣

 ^1a

d

=

 ^1a

Minimizzare le distanze equivale a 

∑

∣ ^y

^{− ax}

^{ b} ∣

1a

 min

∂

∂ a

∑

[ y

− ax

 b]

1a

= 0

−2

1a

∑

i=1 n

[ y

− ax

 b]−x

 ∑

i=1

n

[ y

− ax

 b]

−12a

 1a



=0

∂

∂ b

∑

[ y

− ax

 b]

1a

= 0 −2

1a

∑

i=1 n

[ y

− ax

 b]−1=0

ecc...

dispersi sono i dati Il coefficiente di correlazione  definito come 

r

r

= SS

SS

SS

SS

= ∑

i=1 n

 y

− y

SS

= ∑

i=1 n

 x

− x 

SS

= ∑

i=1 n

 x

− x ∑

i=1 n

 y

− y

SS

= ∑

i=1 n

 x

− x 

SS

= ∑

i=1 n

 y

− y

SS

= ∑

i=1 n

 x

− x y

− y 

SS

= n 

SS

= n 

SS

=n



r

= n



n 

n

r

= SS

SS

SS

SS

= ∑

i=1 n

 x

− x 

r

=





SS

= ∑

i=1 n

x

− 2 ∑

i=1 n

x

x ∑

i=1 n

x

SS

= ∑

i=1 n

x

− 2n x

 n x

SS

= ∑

i=1 n

x

−n x

SS

= ∑

i=1 n

y

−n y

SS

= ∑

i=1 n

 x

− x y

− y 

SS

= ∑

i=1 n

x

y

− ∑

i=1 n

x

y− ∑

i=1 n

x y

 ∑

i=1 n

x y

SS

= ∑

i=1 n

x

y

− y ∑

i=1 n

x

− x ∑

i=1

y

 n x y

SS

= ∑

i=1 n

x

y

− y n x−x n yn x y SS

= ∑

i=1 n

x

y

−n y x

r

=

SS

SS

r

=

 ∑

i=1 n

x

y

−n y x

 ∑

i=1 n

x

− n x

 ∑

i=1 n

y

−n y



a=

∑

x

y

−n x y

∑

x

− n x

(6) a= SS

SS

r

=

 ∑

i=1 n

x

y

−n y x

 ∑

i=1 n

x

− n x

 ∑

i=1 n

y

−n y

 a=

∑

x

y

−n x y

∑

x

− n x

(6)

r

= a a '

 Se invece di fittare una retta del tipo

y= ax + b avessimo fittato una retta x= a'y + b' (scambiando in pratica la x con la y)

a'=

∑

x

y

− n x y

∑

y

−n y

 Se la retta e' la stessa a '= 1

a r

=1