Calcolo 2 per Chimici, II Appello Sess. E, 7/07/2014 1 Usando lo sviluppo di McLaurin della funzione
sin(x2) calcolare
Z
√π
0
x sin(x2)dx
controllando il risultato mediante integrazione diretta.
R:R
√π
0 x sin(x2)dx =R
√π 0 xP∞
n=0 (−1)n
(2n+1)!x4n+2dx =P∞ n=0
(−1)n (2n+1)!
R
√π
0 x4n+3dx = 1/2P∞
n=0 (−1)n
(2n+2)!π2n+2 = −1/2P∞ n=1
(−1)n
(2n)! π2n = −1/2(cos π − 1) = 1, usando nel penultimo passaggio il ben noto sviluppo in serie di Mclau- rin: cos x = P∞
n=0 (−1)n
(2n)!x2n. D’altra parte, con una facile integrazione R
√π
0 x sin(x2)dx = −1/2(cos π − 1) = 1.
2 Studiare la funzione
f (x, y) = −x3 + xy2+ x2− y2
determinandone max e min assoluti nel dominio triangolare T di es- tremi (0, 0), (1, −1), (1, 1) (distinguere i punti interni da quelli di fron- tiera !).
R: Risulta che f `e nulla sui lati di T , e positiva nell’interno, dove
∇f = (0, 0) solo sul punto (2/3, 0), dove f vale 4/27; esso `e quindi il punto di max assoluto, per la conclusione non sarebbe necessario lo studio di D2f (2/3, 0) (che risulta comunque def. negativo); il min `e pari a 0, e si raggiunge sui lati di T .
3 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:
y0 = y sin x; y(0) = 1 e determinarne i max e min assoluti.
R:
y(x) = exp(1 − cos x); D = R
ymin = y(nπ) = 1, n intero pari, ymax = y(nπ) = exp 2, n intero dispari.
4 Per ogni intero positivo n, determinare il valore del parametro α per cui il campo vettoriale F (x, y) = (αxnyn, xn+1yn−1), definito su R2, sia conservativo. Per tali valori αn calcolare il potenziale Vn(x, y).
R: αn= n+1n , Vn(x, y) = n1xn+1yn+ c.
1
2
5 Dato il campo F (x, y, z) = (x, 2y, 3z) definito nel cubo unitario K1 = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}, calcolarne il flusso uscente da ∂K1, verificando il risultato mediante la formula di Green-Gauss.
R: div F = 1 + 2 + 3 = 6, quindi (Gauss) l’integrale di volume d`a 6vol(K1) = 6, mentre il flusso si riduce agli integrali sulle facce delle appropriate componenti: RR
∂K1
F · ~~ N dσ =RR
Φ+x Fxdydz−RR
Φ−x Fxdydz+
.., dove le sei facce sono rappresentate da Φ±x, Φ±y, Φ±z; gli integrali superficiali nonnulli valgono 1, 2, 3 la cui somma d`a 6.
