Algebra 2
Esercizi 5 - 8 novembre 2019
1. Sia φ : Q[x] −→ Q l’omomorfismo di valutazione che valuta x in 7, cio`e φ `e dato da φ(a) = a per a ∈ Q e φ(x) = 7 (ed esteso nell’unico modo possibile). Calcolare ker(φ).
2. Sia φ : Q[x] −→ Q[x] l’omomorfismo di valutazione che valuta x in x2, cio`e φ `e dato da φ(a) = a per a ∈ Q e φ(x) = x2. Calcolare anche in questo caso ker(φ).
3. Sia φ : Q[x] −→ R l’omomorfismo di valutazione che valuta x in √ 2.
Calcolare ker(φ).
4. Il teorema di unicit`a di quoziente e resto nella divisione di un polinomio g per un polinomio f in A[x] richiede che il coefficiente direttivo di f sia invertibile. Si considerino ora i seguenti polinomi in Z8[x]: f = 2x + 1, g = 4x + 1. Scrivere g = qf + r in due modi diversi (con deg(r) < deg(f )) (ovviamente in questo caso il coefficiente direttivo di f non `e invertibile).
5. Provare che il polinomio 23x3+ 31x2+ 41 ∈ Z[x] `e irriducibile.
6. Sia fa = x5+ (a4− 1)x4− 5ax + 3a2+ 2a, con a ∈ Z. Provare che fa `e irriducibile per infiniti valori di a.1
1Suggerimento: primo numero l be un e 5` numero Il
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