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Algebra 2 Esercizi 5 - 13 novembre 2020 1. Provare che il polinomio x

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Academic year: 2021

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Algebra 2

Esercizi 5 - 13 novembre 2020

1. Provare che il polinomio x5+ 15x4+ 30x2+ 45 ∈ Z[x] `e irriducibile.

2. Sia F : Q[x] −→ Q[x] data da F (a) = a per ogni a ∈ Q e F (x) = 2x (e poi estesa in unico modo ad omomorfismo di anelli). Dimostrare che F `e un isomorfismo dell’anello Q[x]. Provare a generalizzare il risultato.

3. Provare che il polinomio 8x3+ 16x2+ 12x + 2 `e irriducibile in Z[x].

4. Sia f ∈ Z[x] non costante. Provare che per un numero infinito di interi n, f (n) non `e un numero primo.

5. Provare che x11+ 10 `e irriducibile in Q[x].

6. Sia p un numero primo e sia π : Z −→ Zp la proiezione canonica e sia φ : Z[x] −→ Zp[x] l’estensione di π tale che φ(x) = x. `E vero che se f ∈ Z[x] `e tale che φ(f ) `e irriducibile in Zp[x], allora f `e irriducibile in Z[x]?

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