Stage di Parma - Teoria dei Numeri
Esercizi di Teoria dei Numeri
1. **Determinare tutte le soluzioni di interi relativi a,b: 𝑎3+ 𝑏3= 91 2. **Determinare tutte le coppie tali che A) 𝑛2− 2𝑚 = 1 B) 𝑛2− 2𝑚= −1 3. **Determinare tutte le terne di interi x,y,z tali che 45𝑥𝑦2= 8𝑧3, 𝑥𝑦𝑧 < 1000
4. *I numeri 𝑎, 𝑏 sono interi positivi. Qual è il minimo valore positivo di 𝑎 + 𝑏 affinche 21𝑎𝑏2e 15𝑎𝑏 siano entrambi quadrati perfetti?
5. ***Determinare tutti i valori di n,m e p tali che 𝑝𝑛+ 144 = 𝑚2
6. **Determinare tutte le coppie di interi positivi (n,m) tali che 1𝑛+𝑚1 −𝑛𝑚1 =25
7. **Trovare il più piccolo intero positive che si può scrivere come somma di 5,6,7 interi consecutivi 8. **Sia n un quadrato perfetto non multiplo di 3 la cui espressione decimale termina con 4. Calcolare
il resto di n modulo 15
9. **Dimostrare che l’equazione 3𝑥2− 2𝑦2= 1998 non ha soluzioni intere
10. **Per ogni intero positivo 𝑛, sia 𝑑𝑛 il massimo comun divisore tra 100 + 𝑛2 e 100 + (𝑛 + 1)2 Determinare il massimo valore possibile per 𝑑𝑛.
11. *Determinare tutti gli interi n per cui 𝑛2 − 7𝑛 + 19 è divisibile per 𝑛 – 3 12. **Determinare tutte le coppie (m, n) di interi positivi tali che 𝑚3 +5
𝑛= 1
13. **Sia x il numero di zeri con cui termina 2000! quando è scritto in base 5, e y il numero di zeri con cui termina 2013! quando è scritto in base 10. Calcolare x - y. (Ricordiamo che il numero n!, per n intero positivo, è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a n.)
14. **Quante sono le coppie di interi ordinate (x; y) tali che 𝑥𝑦 = 4(𝑦2 + 𝑥) ?
15. ***Sia n un intero positivo. Una pulce si trova sulla retta reale ed effettua una sequenza di n salti di lunghezza 1,2,3,. . . ,n. La pulce può scegliere l'ordine delle lunghezze dei salti e per ogni salto può decidere se saltare verso destra o sinistra. Per quali n può ritornare al punto di partenza?
16. **Dato un qualsiasi intero positivo n, chiamiamo ciclostilato di n il numero che si ottiene concatenando 2012 scritture di n (in base 10). Per esempio il ciclostilato di 314 è 314314314 . . . 314, dove le cifre “314” si ripetono 2012 volte. Determinare tutti gli interi positivi m tali che il ciclostilato di m sia multiplo di 9 e di 11.
17. **Determinare se esistono terne (𝑥, 𝑦, 𝑧) di numeri interi tali che 𝑧2= (𝑥2− 1)(𝑦2+ 1) + 2007
*Facile
**Medio
***Difficile o non trattato a lezione
