11.2
(1) Sia f (z) analitica in una regioneR e si supponga che in tutti i punti di un arco di curva P Q in R sia f(z) = 0. Dimostrare che f(z) = 0 in tutta la regioneR.
R
P Q
(2) Data per valida l’identit`a sin2z +cos2z = 1 per tutti i valori reali di z, sulla base della nozione di prolungamento analitico, dimostrare che l’identit`a deve valere per tutti i valori complessi di z.
(3) Sia
F1(z) = Z ∞
0
t3e−ztdt
(a) Dimostrare che F1(z) `e analitica in tutto il semipiano destro Re(z) > 0.
(b) Dimostrare che F1(z) pu`o essere prolungata analiticamente nel semi- piano sinistro Re(z) < 0.
(4) Usare le relazioni di Kramers-Kroning per derivare il profilo dell’indice di rifrazione di un mezzo che ha un profilo di assorbimento somma di due lorentziane
f (ω)∝ a1
a21+ (ω− ω1)2 + a2 a22+ (ω− ω1)2
1
