(1) Dimostrare che f

(1)

Tutorato di Geometria 3 del 30-10-2012 (P. Salvatore)

(1) Dimostrare che f

1

× f

2

: X

1

× X

2

→ Y

1

× Y

2

definita da (f

1

× f

2

)(x

1

, x

2

) = (f

1

(x

1

), f

2

(x

2

))

`

e continua se e solo se lo sono f

1

: X

1

→ Y

1

e f

2

: X

2

→ Y

2

.

(2) Dimostrare o confutare con esempi se la compattezza di uno spazio topo- logico si mantiene passando a una topologia pi´ u o meno fine.

(3) Dimostrare che l’operatore di chiusura commuta con i prodotti, ovvero Q

i

A

_i

= Q A

i

in Q

i

X

_i

per A

_i

⊂ X

_i

.

(4) Dimostrare che l’interno di A × B in X × Y ` e il prodotto degli interni di A in X e di B in Y , e la frontiera soddisfa la propriet´ a F r(A × B) = (F r(A) × B) ∪ (A × F r(B)).

(5) Dimostrare che uno spazio metrico compatto ` e limitato.

(6) Dimostrare che ogni successione di interi 2-adici in ˆ Z

²

ammette una sotto- successione convergente. Trovare una successione di numeri 2-adici in ˆ Q

2

che non verifica questa propriet´ a e dire se ˆ Q

2

` e compatto.

(7) Dimostrare che la box topology su R

^[0,1]

, la cui base ` e composta di prodotti di aperti di R, `e pi´ u fine della topologia della convergenza uniforme e meno fine della topologia discreta.

(8) Dimostrare che la funzione g : R → S

¹

g(t) = e

^2πit

induce un omeomorfismo R/Z ∼ = S

¹

per l’azione di gruppo di Z su R definita dall’addizione.

(9) Si dica se la proiezione R → R/Q sul quoziente per l’azione del gruppo Q su R definita dall’addizione `e aperta, chiusa, e se il quoziente `e di Hausdorff e compatto.

(10) Dimostrare che vale un omeomorfismo Z ˆ

^p

∼ = {0, 1, . . . , p − 1}

^N

tra gli interi p-adici e il prodotto numerabile di {0, . . . , p−1} con la topologia discreta.

(11) La topologia sull’unione disgiunta X ` Y = (X × {0}) ∪ (Y × {1}) `e la

topologia pi´ u fine che rende le inclusioni i : X → X ` Y, i(x) = (x, 0), e j :

Y → X ` Y, j(y) = (y, 1), continue. Dimostrare la propriet´ a distributiva

(X ` Y ) × Z ∼ = (X × Z) `(Y × Z).