1. Sia f olomorfa in un aperto Ω e sia ¯ B r (z 0 ) ⊂ Ω. Per 0 < |ζ|

1. Sia f olomorfa in un aperto Ω e sia ¯ B r (z 0 ) ⊂ Ω. Per 0 < |ζ| < r mostrare che f (z 0 + ζ) − f (z 0 )

Condividi "1. Sia f olomorfa in un aperto Ω e sia ¯ B r (z 0 ) ⊂ Ω. Per 0 < |ζ| < r mostrare che f (z 0 + ζ) − f (z 0 )"

(1)

Analisi 4 - Scritto del 23/07/2012

1. Sia f olomorfa in un aperto Ω e sia ¯ B _r (z ₀ ) ⊂ Ω. Per 0 < |ζ| < r mostrare che f (z ₀ + ζ) − f (z ₀ )

ζ = 1

2πi Z

∂B

(z

)

f (ξ)

(ξ − z ₀ )(ξ − z ₀ − ζ) dξ . Dedurre che

f ⁰ (z ₀ ) = 1 2πi

Z

∂B

(z

)

f (ξ) (ξ − z ₀ ) ² dξ .

2. Sviluppare in serie di Taylor attorno all’origine la funzione h(z) = (z − 1)

(z + 1)(z − i) . Stabilire il raggio di convergenza.

3. Siano u _n : (0, +∞) → R definite da u n (x) = sen _nx ¹ . Studiarne la convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura e in L ¹ .

4. Sia µ ^∗ una misura esterna in Ω. Sia ν ^∗ : P(Ω) → [0, +∞] definita da

ν ^∗ (E) =

( 0 se E = ∅

µ ^∗ (E) + 1 altrimenti.

Verificare se ν ^∗ ` e una misura esterna. Verificare che (in generale) non ` e σ-additiva. Determinare la σ-algebra dei misurabili (secondo la costruzione di Caratheodory).

Tempo a disposizione: 2 ore

1. Sia f olomorfa in un aperto Ω e sia ¯ B r (z 0 ) ⊂ Ω. Per 0 < |ζ| < r mostrare che f (z 0 + ζ) − f (z 0 )

Analisi 4 - Scritto del 23/07/2012

1. Sia f olomorfa in un aperto Ω e sia ¯ B r (z 0 ) ⊂ Ω. Per 0 < |ζ| < r mostrare che f (z 0 + ζ) − f (z 0 )

ζ = 1

2πi Z

∂B

(z

)

f (ξ)

(ξ − z 0 )(ξ − z 0 − ζ) dξ . Dedurre che

f 0 (z 0 ) = 1 2πi

Z

∂B

(z

)

f (ξ) (ξ − z 0 ) 2 dξ .

2. Sviluppare in serie di Taylor attorno all’origine la funzione h(z) = (z − 1)

(z + 1)(z − i) . Stabilire il raggio di convergenza.

3. Siano u n : (0, +∞) → R definite da u n (x) = sen nx 1 . Studiarne la convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura e in L 1 .

4. Sia µ ∗ una misura esterna in Ω. Sia ν ∗ : P(Ω) → [0, +∞] definita da

ν ∗ (E) =

( 0 se E = ∅

µ ∗ (E) + 1 altrimenti.

Verificare se ν ∗ ` e una misura esterna. Verificare che (in generale) non ` e σ-additiva. Determinare la σ-algebra dei misurabili (secondo la costruzione di Caratheodory).

Tempo a disposizione: 2 ore

1. Sia f olomorfa in un aperto Ω e sia ¯ B _r (z ₀ ) ⊂ Ω. Per 0 < |ζ| < r mostrare che f (z ₀ + ζ) − f (z ₀ )

(ξ − z ₀ )(ξ − z ₀ − ζ) dξ . Dedurre che

f ⁰ (z ₀ ) = 1 2πi

f (ξ) (ξ − z ₀ ) ² dξ .

3. Siano u _n : (0, +∞) → R definite da u n (x) = sen _nx ¹ . Studiarne la convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura e in L ¹ .

4. Sia µ ^∗ una misura esterna in Ω. Sia ν ^∗ : P(Ω) → [0, +∞] definita da

ν ^∗ (E) =

µ ^∗ (E) + 1 altrimenti.

Verificare se ν ^∗ ` e una misura esterna. Verificare che (in generale) non ` e σ-additiva. Determinare la σ-algebra dei misurabili (secondo la costruzione di Caratheodory).