Esercitazioni di Algebra e Geometria
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Testo completo
(2) Matrice Una matrice m x n a coefficienti in un campo K è una ‘tabella’ con: m righe n colonne i cui elementi, detti entrate, appartengono al campo K. Esempi di campi sono: Q il campo dei numeri razionali, R il campo dei reali, C il campo dei numeri complessi. Esempio. −3 0 2 . 4 √2. è una matrice 2x3 a coefficienti reali.. 2. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(3) La notazione oppure ║…║.. (…). è. equivalente. a. […]. Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente:. , ,. =
(4) ⋮ ,. , , ⋮ ,. ⋯ , ⋯ , ⋱ ⋮ ⋯ ,. Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola. In forma più sintetica è:. = , ,…, ,…,. dove , è l’elemento che si trova in posizione (i,j) cioè sulla i-esima riga e j-esima colonna.. 3. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(5) Nell’esempio precedente:. −3 0 2 =. 4 √2. , = −3 , = ⋯. , = ⋯ , = ⋯. , = ⋯ , = ⋯. con , ∈ R e gli indici " = 1,2 e $ = 1,2,3.. L’insieme delle matrici di dimensioni % × ' sullo stesso campo K è indicato con Km,n . Qm,n ha per oggetti le matrici % × ' a entrate razionali, Rm,n ha per oggetti le matrici % × ' a entrate reali, Cm,n ha per oggetti le matrici % × ' a entrate complesse. Casi particolari:. a) % = 1 si ottengono matrici riga dimensioni 1 × ' a coefficienti in K. 4. = * ,. ,. ⋯. , + ∈ K1,n. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012. di.
(6) b) ' = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni % × 1 a coefficienti in K.. , , =
(7) ∈ Km,1 ⋮ ,. c) ' = % si ottengono matrici quadrate di dimensioni ' × ' a coefficienti in K. Il numero n è detto ordine della matrice quadrata.. 0, 0, / , = . 0 , ⋮ -0,. 0, 0, 0 , ⋮ 0,. 0, 0, 0, ⋮ 0,. ⋯ 0, ⋯ 0, 3 ⋯ 0 , ∈ Kn,n, 2 ⋱ ⋮ ⋯ 0, 1. ma di solito tale insieme si indica Mn(K).. Ovviamente ' = % = 1 è una matrice con un’unica entrata 4 = 5, . 5. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(8) = 6−. Esempi. 0. . 7. √. √6 49 ∈ R1,5. è una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali.. −2 / −1 3 < = .; 2 ∈ R5,1 3 - 0 1. è una matrice coefficienti reali. 0 3 /7 2 . √ ,=. > .1. -− . 1 5 −5 √6 3 0. 0 1 4 −3 √5 4. con. colonna 0 6 0. −5 −√5. 2 0 = √3 5 0 1. 5. entrate. 0 2 3 −1 2 4 2 ∈ M6(R) 22 01. è una matrice quadrata di ordine 6 con 6 × 6 = 36 entrate coefficienti reali. 6. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(9) Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A, B due matrici di Km,n. Indichiamo A+B una matrice di Km,n così definita:. Quindi la matrice A+B ha in posizione (i,j) l’elemento ottenuto sommando ai,j e bi,j in K:. Osservazioni: 1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso 7. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(10) numero di righe e lo stesso numero di colonne. 2) La matrice O di Km,n con entrate tutte nulle oi,j=0 per ogni i=1,…,m e j=1,…,n funge da elemento neutro rispetto alla somma di Km,n ed è detta matrice nulla di Km,n: O+A=A+O=A. Esercizio Date le seguenti matrici:. Calcolare, ove sia possibile, A+B, B+C, A+D, A+A, B+(B+B) e (B+C)+C. a) A+B: l’operazione non è definita in quanto… b) B+C: l’operazione è definita e la matrice somma è:. 8. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(11) c) A+D: l’operazione non è definita in quanto… d) A+A: l’operazione è definita. e) B+(B+B) le operazioni sono definite:. 9. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(12) f) (B+C)+C le operazioni sono definite:. Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice. è possibile calcolare. e così via.. 10. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(13) Possiamo generalizzare e definire:. Il prodotto tra uno scalare e una matrice Siano A una matrice di Km,n e λ∈ K uno scalare. Indichiamo λA una matrice di Km,n così definita:. Esempio. Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (i,j) l’elemento ai,j moltiplicato per lo scalare λ in K. 11. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(14) Esercizi da svolgere. Si eseguano, quando possibile, le seguenti operazioni con le matrici: A+B, C+D, A+C; A - B, C – D, B – C; -A, 2B, -3C, -2D; A – 2B, 2C + D , 2A+3D.. 12. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(15) Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per. prodotto tra matrice riga e matrice colonna. Siano A, matrice riga di K1,n, e B, matrice colonna di Kn,1; indichiamo con A·B un elemento di K così definito:. Osservazione: il prodotto è definito solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Esempio. 13. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(16) mentre. non è definito.. Allora, date A ∈ Km,n e B ∈ Kn,p, definiamo il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B:. Osservazione: il prodotto è definito perché il numero delle colonne di A è n per ipotesi uguale al numero di righe di B. Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B può essere così scritto:. 14. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(17) Esempio Date. il prodotto tra una riga di A e una colonna di C è sempre definito. Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C è:. Attenzione: il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non è definito.. 15. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(18) Definiamo ora il prodotto tra due matrici:. date due matrici A ∈ Km,n e B ∈ Kn,p, definiamo il prodotto AB una matrice di Km,p il cui elemento in posizione (i,j) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B:. Osservazioni: 1) Il prodotto AB è definito solo se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B. Se il prodotto AB è definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B. 2) Se è definito AB, non è detto che lo sia BA: per esempio A matrice di R3,2 e B matrice di. R2,1. 16. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(19) 3) Se sono definiti AB e BA non è detto che AB=BA: esempio A matrice di R2,1 e B matrice di R1,2.. Esempi. Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC.. 17. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(20) Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A ∈ Mn(K) è possibile definire ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r ∈N, r≥2 . b) Date A, B ∈ Mn(K) è sempre possibile calcolare AB e BA (in genere matrici diverse). c) Indicata con In =(ik,j)k,j=1,…,n la matrice così definita: ik,j =0 se k≠j ik,j =1 se k=j allora A In = In A =A qualsiasi A ∈ Mn(K). In è la matrice che funge da unità (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di ordine n su K ed è detta matrice. identica.. 18. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(21) Esempio. Esercizio da svolgere Date le matrici. determinare, quando possibile, AB, BA, CD, DC; A2 , BC, BD; A2 – I3, A(A2-3B).. 19. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(22) Osservazione: due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe, lo stesso numero di colonne e hanno le stesse entrate in K: date. A=B se e solo se 1) m=p 2) n=q 3) ai,j=bi,j ∈ K per ogni i=1,…,m e j=1,…,n. Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano queste “operazioni”.. 20. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(23) Somma di matrici Per ogni , , , ∈ Km,n valgono le seguenti proprietà: 1) Proprietà associativa * + + + , = + * + ,+ Dimostrazione:…. 2) Esistenza dell’’elemento neutro. Esiste B ∈ Km,n tale che + B = B + = , dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente. Da dimostrare.. 3) Esistenza dell’opposto Esiste la matrice C ∈ Km,n tale che. C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi ai,j , allora la matrice ha in posizione (i,j) l’elemento - ai,j. Da dimostrare.. 21. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(24) Una struttura algebrica (G,+) che soddisfa le tre proprietà precedentemente elencate si definisce gruppo: quindi (Km,n, +) è un gruppo. 4) Proprietà commutativa. Da dimostrare.. + = +. Ne segue che (Km,n, +) commutativo (abeliano).. è. un. gruppo. Dimostrazione…. 22. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(25) Prodotto di uno scalare per una matrice Per ogni , ∈ Km,n e per ogni D, E ∈ K valgono le seguenti proprietà: 1) *D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare);. 2) D ∙ * + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare);. 3) *D ∙ E+ ∙ = D ∙ *E ∙ + (dimostrata di seguito); 4) 1 ∙ = (da dimostrare).. Dimostrazione: …. 23. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(26) Prodotto tra matrici 1) Proprietà associativa Siano ∈ Km,n , ∈ Kn,p e , ∈ Kp,q * +, = * ,+ (da dimostrare) 2) Proprietà distributive Siano ∈ Km,n , , , ∈ Kn,p. * + , + = + , (da dimostrare). Siano ∈ Kp,m , , , ∈ Kn,p * + , + = + , (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro / destro Siano ∈ Kp,m e GH ∈ Kp,p: IJ K = K. Siano ∈ Kp,m e G ∈ Km,m:. KIL = K. 24. (da dimostrare) (da dimostrare). Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(27) Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna; le tre proprietà qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto. Attenzione: rispetto al prodotto non possibile garantire, per ogni matrice, l’esistenza della matrice inversa. Quindi in generale data una matrice ∈ Mn(K) non e detto che esista C tale che. C G C . Ne segue che (Mn(K),+) è un gruppo commutativo, ma (Mn(K) , · ) non è un gruppo. Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale la legge dell’’annullamento del prodotto:. eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto è la matrice nulla. 25. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(28) La matrice trasposta Sia ∈ Km,n una matrice di entrate ai,j: si. definisce trasposta di K, la si indica con. N. K, O. oppure P , una matrice di Kn,m di entrate aj,i. Per esteso. Con notazione sintetica t. 26. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
(29) Per costruire la matrice trasposta, trascrivo la i-esima riga di nella i-esima colonna di O , (scambio le righe con le colonne) o viceversa. Esempi. 27. Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2011 / 2012.
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