Minori di una matrice Sia A∈Km,n, si definisce

Minori di una matrice

Sia A∈K^m,n, si definisce minore di ordine p con p∈N, p<minimo{m,n}, estratto da A una matrice ottenuta togliendo da A m-p righe ed n-p colonne.

Osservazioni:

1) è evidente che un minore di ordine p è una sottomatrice quadrata di ordine p estratta da A in quanto rimangono esattamente p righe e p colonne.

2) In generale esistono più minori di ordine p estratti in quanto è possibile togliere da A righe e le colonne differenti.

Esempio

Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

6 , 4

0 3 1 0

1 0

0 2 5

0 0

0

0 1 3

0 1 0

3 0 2

1 1 0

E ∈R





















−

−

−

−

=

p=3, m=4 e n=6:

dobbiamo togliere m – p = 4 - 3=1 righe e n – p = 6 – 3 = 3 colonne.

a) togliendo la prima riga, la seconda, la quarta e la quinta colonna si ottiene:

) ( 0

0 0

0 0 0

0 0 0

3

1 M R

M ∈

















=

b) togliendo la seconda riga , la prima, la terza e la quarta colonna si ottiene:

) ( ...

...

...

...

...

...

...

...

...

3

2 M R

M ∈

















=

I minori di ordine 3 sono numerosi…

Casi particolari: i minori di ordine 1 che si possono estrarre da E sono 4×6=24 e quelli di ordine 4 sono …..

Data una matrice A∈M_n(K) quadrata di ordine n, indichiamo con A_i,j il minore di ordine n-1 di A ottenuto togliendo da A la i-esima riga e la j-esima colonna.

Esempio 1

) a (

a

a

A a ₂

2,2 2,1

1,2

1,1 ∈M K







= 

Per i,j=1,2 i minori estratti di ordine 1 sono i quattro A_i,j∈M₁(K):

A_1,1=(a_2,2), A_1,2=(a_2,1), A_2,1=(a_1,2) e A_2,2=(a_1,1).

Esempio 2

) (

A ₃

3 , 3 2

, 3 1

, 3

3 , 2 2

, 2 1

, 2

3 , 1 2

, 1 1

, 1

K M

a a

a

a a

a

a a

a

∈

















=

Per i, j=1,2,3 i minori estratti di ordine 2 sono i nove A_i,j∈M₂(K):

) a (

a

a

A a ₂

3,3 3,2

2,3 2,2

1,1 ∈M K







= 

) a (

a

a

A a ₂

3,3 3,1

2,3 2,1

1,2 ∈M K







= 

) a (

a

a

A a ₂

3,2 3,1

2,2 2,1

1,3 ∈M K







= 

) a (

a

a

A a ₂

3,3 3,2

1,3 1,2

2,1 ∈M K







= 

…

Il determinate di una matrice quadrata

Sia A∈M_n (K) una matrice quadrata di ordine n, definiamo determinate di A e lo indichiamo con detA o A, l’elemento di K definito ricorsivamente nel seguente modo:

Se n=1 allora la matrice è del tipo A=(a1,1) e detA:=a_1,1.

Se n>1, supponendo di saper calcolare i determinanti delle matrici quadrate di qualsiasi ordine k con k<n-1, definiamo per ogni coppia di indici (i,j) con i,j=1,…,n il complemento algebrico di a_i,j come lo scalare ΓΓΓΓ_i,j

ΓΓ

ΓΓ_i,j:= (-1) ^i+j det A_i,j e il determinante come:

detA:= a_1,1ΓΓΓΓ_1,1+ a_1,2ΓΓΓΓ_1,2 +…+a_1,nΓΓΓΓ_1,n

(sviluppo del determinante seguendo la I riga di A).

Calcolo del determinante di matrici quadrate di ordine 2

Data la matrice:

) a (

a

a

A a ₂

2,2 2,1

1,2

1,1 ∈M K







= 

Γ_1,1:= (-1) ¹⁺¹ det A_1,1= + a_2,2 Γ_1,2:= (-1) ¹⁺² det A_1,2= - a_2,1

allora det A = a1,1ΓΓΓΓ_1,1+ a_1,2ΓΓΓΓ_1,2= a_1,1 a_2,2- a_1,2 a_2,1

Esercizio 1

) 3 (

1 -

1

A 2 ∈M₂ R







= 

Γ_1,1:= (-1) ¹⁺¹ det A_1,1= …..

Γ_1,2:= (-1) ¹⁺² det A_1,2= - (-1)=…..

allora det A = a_1,1ΓΓΓΓ_1,1+ a_1,2ΓΓΓΓ_1,2= ………..

Esercizio 2

Prima di cercare una formula per il determinante delle matrici quadrate di ordine 3 calcoliamolo per

) ( 2

1 1 1

0 1

3

3 0

2

B ∈M₃ R















 −

=

detB:= b_1,1ΓΓΓΓ_1,1+ b_1,2ΓΓΓΓ_1,2 +b_1,3ΓΓΓΓ_1,3 detB= 2·Γ_1,1+ 0·Γ_1,2 +(-3)·Γ_1,3 d’altra parte:

Γ_1,1:= (-1) ¹⁺¹ det B_1,1= (+1)(1·(1/2)- 0·1)=1/2 Γ_1,2:= (-1) ¹⁺² det B_1,2= (-1)(3·(1/2)- 0·1)=-3/2 Γ_1,3:= (-1) ¹⁺³ det B_1,3= (+1)(1·3 - 1·1)=2

Quindi:

det B= 2·…+ 0·…..+(-3)·…..= ……

Calcolo del determinante di matrici quadrate di ordine 3

) ( a

a a

a a

a

a a

a

A ₃

3,3 3,2

3,1

2,3 2,2

2,1

1,3 1,2

1,1

K

∈M

















=

Γ_1,1:= (-1) ¹⁺¹ det A_1,1 Γ_1,2:= (-1) ¹⁺² det A_1,2 Γ_1,3:= (-1) ¹⁺³ det A_1,3 ma

3,2 2,3 3,3

2,2 3,3

3,2

2,3 2,2

1,1 a a -a a

a a

a det a

detA  =







= 

3,1 2,3 3,3

2,1 3,3

3,1

2,3 2,1

1,2 a a -a a

a a

a det a

detA  =







= 

3,1 2,2 3,2

2,1 3,2

3,1

2,2 2,1

1,3 a a -a a

a a

a det a

detA  =







= 

Γ_1,1:= (-1) ¹⁺¹ det A_1,1= a_2,2 a_3,3- a_2,3 a_3,2

Γ_1,2:= (-1) ¹⁺² det A_1,2= -(a_2,1 a_3,3- a_2,3 a_3,1) Γ_1,3:= (-1) ¹⁺³ det A_1,3= a_2,1 a_3,2- a_2,2 a_3,1 infine

det A:= a_1,1 ΓΓΓΓ_1,1+ a_1,2 ΓΓΓΓ_1,2 +a_1,3 ΓΓΓΓ_1,3 = a_1,1 (a_2,2 a_3,3 + - a_2,3 a_3,2) - a_1,2 (a_2,1 a_3,3- a_2,3 a_3,1) + a_1,3 (a_2,1 a_3,2 + - a_2,2 a_3,1)=

=a_1,1 a_2,2a_3,3 + a_1,2 a_2,3a_3,1 +a_1,3 a_2,1a_3,2 + - (a^1,1 a_2,3 a_3,2 + a_1,3 a_2,2a_3,1 +a_1,2 a_2,1a_3,3 )

Per ricordarsi si può utilizzare il seguente grafico:

a a

a

a a

a

a a

a - a

a a

a a

a

a a

a

3,3 3,2

3,1

2,3 2,2

2,1

1,3 1,2

1,1

3,3 3,2

3,1

2,3 2,2

2,1

1,3 1,2

1,1

































È possibile utilizzare questo metodo (di Sarrus) ricordandosi che vale solo ed esclusivamente per il calcolo di determinanti di matrici al massimo di ordine 3.

Esercizio 3

Calcolare il determinante di

) ( 0

1 2

2

2 0

1 0

0 0

0 2

2 1

0 1

4 R

M

C ∈





















−

−

−

=

Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la I riga:

detC:= c_1,1ΓΓΓΓ_1,1+ c_1,2ΓΓΓΓ_1,2 + c_1,3ΓΓΓΓ_1,3 +c_1,4ΓΓΓΓ_1,4=

= 1·ΓΓΓΓ_1,1+ 0·ΓΓΓΓ_1,2 + (-1)·ΓΓΓΓ_1,3 +(-2)·ΓΓΓΓ_1,4

0 0

1 2

2 0 1 -

0 0 0

det detC

(-1)² _1,1

1,1 =

















=

= Γ

) 4 ( 0

1 2

2 0 0

0 0 2 det detC

(-1)³ _1,2

1,2 = − −

















−

=

= Γ

8 - 0

2 2

2 1 0

0 0

2 det detC

(-1)⁴ _1,3

1,3 =

















−

=

= Γ

2 1

2 2

0 1 0

0 0

2 det detC

(-1)⁵ _1,4

1,4 =

















−

−

=

= Γ

det C= …..+ ….. + …… +…… = …..

Primo teorema di Laplace

Data una matrice A∈M_n (K) quadrata di ordine n il determinante di A è:

det A= a_i,1ΓΓΓΓ_i,1+ a_i,2ΓΓΓΓ_i,2 +…+a_i,nΓΓΓΓ_i,n=

K a

n

h

h i h

i Γ ∈

=

∑

=1

, ,

(I teorema di Laplace, primo enunciato)

per ogni i=1,…,n fissato (sviluppo secondo la i-esima riga)

det A= a1,jΓΓΓΓ_1,j+ a_2,jΓΓΓΓ_2,j +…+a_n,jΓΓΓΓ_n,j= K

a

n

h

j h j

h Γ ∈

=

∑

=1

, ,

(I teorema di Laplace, secondo enunciato) per ogni j=1,…,n fissato (sviluppo secondo la j-esima colonna).

Conseguenze importanti

1) Potendo scegliere una qualsiasi riga (o colonna) di una matrice quadrata converrà selezionare quella con il maggior numero di zeri.

2) Se una riga o una colonna contiene tutti zeri, allora la matrice avrà determinante nullo.

Esercizio 4

Calcolare il determinante di

) ( 0

1 0

2

2 0

1 0

0 0

3 0

3 1

0 1

4 R

M

D ∈





















−

−

−

=

Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la II riga perché contiene il maggior numero di zeri:

det D:= d_2,1ΓΓΓΓ_2,1+ d_2,2ΓΓΓΓ_2,2 + d_2,3ΓΓΓΓ_2,3 +d_2,4ΓΓΓΓ_2,4

ma l’unico complemento algebrico che vale la pena di calcolare è quello di d_2,2 : ΓΓΓΓ_2,2

...

...

...

....

...

...

....

...

....

....

det D

det

(-1)^... _...

2,2 =

















=

= Γ

Allora det D:=0·Γ_2,1+ …….+ 0·Γ_2,3 +0·Γ_2,4= ….

Esercizio 5

Calcolare il determinante di

) ( 0

1 2

0 0

1 2

1 0

0

2 2

0 1

0

1 3

0 1 2

1 1

1 0

0

5 R

M

E ∈





















−

−

−

−

=

Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la I colonna perché contiene il maggior numero di zeri:

det E:= e_1,1ΓΓΓΓ_1,1+ e_2,1ΓΓΓΓ_2,1 + e_3,1ΓΓΓΓ_3,1 +e_4,1ΓΓΓΓ_4,1+e_5,1ΓΓΓΓ_5,1=

= ……..= ………





















−

−

− −

=

Γ ⁺

0 1 2

0

1 2

1 0

2 2

0 1

1 1

1 0 det )

1 ( ^{2 1}

1 , 2

Ora calcolo questo determinante sviluppandolo sulla I colonna (nuovamente perché contiene il maggior numero di zeri)

=

















−

⋅

−

=





















−

−

− −

=

Γ ^{+ +}

. . .

. . .

. . . det )

1 ( 1 0

1 2

0

1 2

1 0

2 2

0 1

1 1

1 0 det )

1

( ^{2 1 2 1}

1 , 2

=….

Dunque il determinante di E è …….

Esercizio 6

Calcolare il determinante di

) ( 2

0 0 0 0

1 2

0 0 0

2 2

1 0 0

1 3

0 1 0

1 1

1 0 3

5 R

M

F ∈





















−

−

−

=

Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la I colonna perché contiene il maggior numero di zeri:

detF:= f_1,1ΓΓΓΓ_1,1+ f_2,1ΓΓΓΓ_2,1 + f_3,1ΓΓΓΓ_3,1 +f_4,1ΓΓΓΓ_4,1+f_5,1ΓΓΓΓ_5,1=

= f_1,1ΓΓΓΓ_1,1= 3·ΓΓΓΓ_1,1

=

















−

−

−

⋅

−

=





















−

−

−

−

=

Γ ^{+ +}

2 0

0

1 2 0

2 2

1 det )

1 ( 1 2

0 0 0

1 2 0 0

2 2

1 0

1 3 0 1 det )

1

( ^{1 1 1 1}

1 , 1

continuando a sviluppare seguendo le I colonne che via via incontriamo si ottiene: Γ_1,1= (-1)·1·2·(-2)=4.

Dunque il determinante di F è 12.

Osservazione

Data una matrice A∈M_n(K) quadrata di ordine n triangolare superiore, il determinante di A è dato

dal prodotto degli elementi della diagonale principale: det A = a1,1 ·a_2,2… ·a_n,n.

Infatti continuando a sviluppare il determinante rispetto alla prima colonna si ottiene:

n n

n n

n

a a

a a

a a

a

A _{1,1 2,2 ,}

, , 2 2

, 2 1

1 1

,

1 ... ...

0 0

0 det )

1 (

det = =





















−

= ⁺

L O O M

O

Allo stesso risultato si perviene anche nel caso la matrice sia triangolare inferiore, sviluppando il determinante sulla prima riga.

Esercizio 7

Calcolare il determinante di

) ( 0

2 0

0 1

1 1

0 0 2

2 5

4 1 0

2 2

1 4 0

5 R M

G ∈

















−

−

=

Calcoliamo il determinante sviluppandolo seguendo la IV riga perché contiene il maggior numero di zeri: det G:=g_4,1ΓΓΓΓ_4,1+g_4,2ΓΓΓΓ_4,2+ g_4,3ΓΓΓΓ_4,3 +g_4,4ΓΓΓΓ_4,4+g_4,5ΓΓΓΓ_4,5=

= 1ΓΓΓΓ_4,1 -2 ΓΓΓΓ_4,4

...

) 0 1 2

5 4 1

2 1 4 det )

1 ( 1

1 1

2

2 4 1

2 1 4 det )

1 ( 1 ( 1

0 1 2

1 1 0 0

2 5 4 1

2 2 1 4 det )

1 (

4 3

3 3 4

1 1

, 4

=

















−

⋅ +

+

















−

−

⋅

−

=





















−

−

= Γ

+

+ +

= -(-33+24)= 9 mentre

...

1 0 0

2 4 1

2 1 4 det )

1 ( 2

1 1

2

2 4 1

2 1 4 det )

1 ( 2 1

1 2 2

1 0 0 2

2 4 1 0

2 1 4 0 det )

1 (

1 4

1 3 4

4 4

, 4

=

















− +

+

















−

−

−

=





















−

− −

= Γ

+

+ +

=-2(-33)+ (-2)(15)= 66-30=36

Infine

det G = 1ΓΓΓΓ_4,1 -2 ΓΓΓΓ_4,4= ………..= ……….. = ………

Esercizi da svolgere

Calcolare i determinanti di

) (

5 2 2

-

1 - 5

C , 8 - 2

4 3 - 1 B

, 2 1 -

4 3

A - ∈M₂ R













= −













 =







= 

) (

1 1 1

5 3 2

0 1 0

E , 0 1 1

6 3

3

2 1

1

3 R

M

D ∈

















−

=

















−

=

) ( 2

0 0

0

1 1

0 0

3 2

1 0

1 5

2 5

G , 0 0

1 2

1 0

1 3

0 0

1 1

3 1

1 0

4 R

M

F ∈





















−

−

−

=





















−

−

−

−

=