4. Prodotti di spazi topologici.

(1)

Richiami di Topologia ed Esercizi

§

1. Generalit` a.

In queste pagine propongo alcuni esercizi di topologia generale. Per ragioni di comodit`a e per fissare linguaggio e notazioni sporadicamente inserisco definizioni e risultati teorici (questi inserti sono contrassegnati da due barre alla loro sinistra).

Importante. Ci sono esercizi di tipi molto diversi tra loro, di conseguenza rivolti a pubblici distinti: alcuni esercizi concernono proprietà elementari e/o riguardano questioni più complesse, comunque sono rivolti a studenti che seguono il loro primo corso di topologia; altri, contrassegnati con un asterisco, sono di approfondimento e sono rivolti esclusivamente a chi abbia già una buona confidenza con i concetti fondamentali. (Generalmente, ma non necessariamente, i secondi sono più difficili dei primi, comunque possono -o meglio devono- essere saltati da chi rientra nella prima categoria di pubblico).

Notazione (che in questo paragrafo fisso una volta per tutte):

X ed Y denotano due spazi topologici, x ∈ X un punto.

Def. 1. N ⊆ X `e un intorno di x in X ⇐⇒ N contiene un aperto contenente x;

Def. 2. Un sottospazio W ⊆ X `e un sottoinsieme dotato della topologia indotta: gli aperti di W sono le intersezioni degli aperti di X con W (idem per i chiusi).

Esercizio 3. Sia U un sottoinsieme di X. Si provi quanto segue:

U `e aperto ⇐⇒ U `e un intorno di ogni suo punto;

Esercizio 4. Sia W ⊆ X un sottospazio. Si provi quanto segue:

a. la definizione (2) è ben posta, i.e. la famiglia ivi indicata costituisce una topologia su W ; b. se W è esso stesso aperto, allora i suoi aperti sono gli aperti di X contenuti in W ; c. se W è chiuso, i suoi chiusi sono i chiusi di X contenuti in W ;

d. W ed X inducono la stessa topologia su un sottoinsieme Z ⊆ W (detto in altri termini, vedere un tale sottoinsieme Z come sottospazio di W equivale a vederlo come sottospazio di X ).

Def. 5. Una funzione f : X −→ Y si dice

(5.1) continua ⇐⇒ la preimmagine (:= immagine inversa) di ogni aperto `e un aperto;

(5.2) continua in x ⇐⇒ f⁻¹(M ) `e un intorno di x, per ogni intorno M di f (x) . Esercizio 6. Sia f : X −→ Y una funzione. Si provi quanto segue:

a. la composizione di funzioni continue `e continua;

b. f `e continua ⇐⇒ la preimmagine di ogni chiuso `e un chiuso;

c. f `e continua in x ⇐⇒ f⁻¹(M ) `e un intorno di x, per ogni intorno aperto M di f (x);

Esercizio 7. Si provi che la continuità in un punto è una proprietà locale, precisamente:

data una funzione f : X −→ Y , fissato un intorno N di x ∈ X, si ha che f `e continua in x ⇐⇒ la restrizione f |_N `e continua x

Naturalmente, affinché abbia senso parlare di continuità della restrizione f|_N, l’insieme N è da intendersi dotato della topologia di sottospazio di X (cfr. def. 2).

(2)

Esercizio 8. Sia W un sottospazio di X . Si provi quanto segue:

a. l’inclusione W ֒→ X `e una funzione continua;

b. la topologia di W `e la topologia meno fine per la quale l’inclusione W ֒→ X `e continua.

Per definizione, “meno fine” significa “meno ricca di aperti”. Quindi, al punto b si chiede di provare che se τ_W è la topologia di W (quella indotta dall’ambiente X) ed ω_W è un’altra topologia definita su W per la quale l’inclusione di W in X è continua, allora ogni aperto di τ_W è un aperto di ω_W.

Proposizione 9. f : X −→ Y `e continua ⇐⇒ `e continua in ogni punto x ∈ X ;

Dimostrazione. Proviamo “=⇒”: se x ∈ X e V `e un intorno aperto di f(x), si ha che f⁻¹(V ), in quanto aperto contenente x, `e un intorno di x;

Proviamo “⇐=”: se V ⊆ Y è aperto ed x ∈ f⁻¹(V ), essendo f continua in x e V un intorno di f (x), si ha che f⁻¹(V ) deve essere un intorno di x. Poiché ciò vale per ogni x ∈ f⁻¹(V ), lo stesso f⁻¹(V ) deve essere un intorno

di ogni suo punto. Ne segue che f⁻¹(V ) `e aperto (cfr. esercizio 3).

Per quel che riguarda l’implicazione “⇐=”, andando al punto dell’argomento senza invocare l’esercizio (3), possiamo scrivere:

f⁻¹(V ) = ∪

x ∈ f⁻¹(V )U_x, U_x aperto soddisfacente la condizione x ∈ Ux ⊆ f⁻¹(V ) (V ⊆ Y `e un aperto). Di conseguenza, in quanto unione di aperti, f⁻¹(V ) `e anch’esso aperto.

Esercizio 10. Sia f : X −→ Y una funzione continua e W ⊆ X un sottospazio. Si provi che (^♣) la restrizione f |_W : W −→ Y `e anch’essa una funzione continua

usando direttamente le definizioni (2) e (5.1).

In alternativa, (♣) pu`o essere provata usando il fatto che la composizione di funzioni continue `e continua (esercizio 6.a):

la restrizione f|_W si ottiene componendo l’inclusione W ֒→ X (continua per l’esercizio 8.a) con f (continua per ipotesi).

Prop. 11. Sia X = ∪ U_α un ricoprimento aperto, X = Sn i= 1

C_i un ricoprimento finito chiuso.

Allora

f : X −→ Y `e continua ⇐⇒ le restrizioni f_α := f |_U

α sono continue

⇐⇒ le restrizioni f_i := f |_C

i sono continue.

Un ricoprimento aperto `e un ricoprimento in insiemi aperti. Un ricoprimento chiuso `e un ricoprimento in insiemi chiusi. L’aggettivo finito indica che gli insiemi del ricoprimento in questione sono in numero finito.

Dimostrazione. Se f `e continua, le varie restrizioni sono tutte continue (cfr, esercizio 10).

Assumendo che le restrizioni f|_U_α siano continue e che V ⊆ Y sia aperto, si ha che f⁻¹(V ) = ∪ fα⁻¹(V ) `e aperto.

Infatti, per ogni α, si ha che fα⁻¹(V ) è aperto in U_α per la continuità di fα e, essendo U_α stesso aperto, è aperto in X (ciò segue dall’esercizio 4.b).

Analogamente, se le restrizioni f|_C_i sono continue e W ⊆ Y `e chiuso, abbiamo che f⁻¹(W ) = Sⁿ

i = 1

f_i⁻¹(W ) `e chiuso (i vari f_i⁻¹(W ) sono chiusi nei rispettivi Ci, che siano chiusi in X segue dall’esercizio 4.c).

Per quel che riguarda il primo dei due “⇐⇒”, una dimostrazione alternativa a quella appena vista `e la seguente:

f `e continua ⇐⇒

(Prop. 9)

f `e continua in x , ∀ x ∈ X ⇐⇒

(Eser. 7)

f_α `e continua in x , ∀ x ∈ Uα, ∀ α ⇐⇒

(Prop. 9)

f_α `e continua,∀ α

(si osservi che l’argomento proposto non funziona per il ricoprimento chiuso: nell’esercizio 7, utilizzato al centro, l’insieme N deve essere un intorno di x, ovvero deve contenere un aperto contenente x).

(3)

Come corollario immediato della proposizione (11) si deduce il cosiddetto lemma di incollamento : Lemma 12(di incollamento). Se X = ∪ Uα `e un ricoprimento aperto,

f_α : Uα → Y

` e una collezione di funzioni che si raccordano bene, allora

∃ ! funzione continua f : X −→ Y

f |_U_α = f_α, ∀ α . Inoltre, un risultato analogo vale per i ricoprimenti finiti chiusi.

Nota. Richiedere che le funzioni si raccordino bene significa richiedere che risulti f_α|_U_α_∩U_β = f_β|_U_α_∩U_β, ∀ α, β.

Esercizio 13. Si provi, dando un controesempio, che la tesi del lemma di incollamento non vale per ricoprimenti chiusi arbitrari.

Suggerimento: Si pensi ad un qualsiasi spazio infinito i cui punti sono chiusi.

Def. 14. Dato un sottoinsieme W ⊆ X si definiscono W = “chiusura di W ” = T

Kchiuso K⊇ W

K , W = “interno di W ” =^◦ S

Uaperto U⊆ W

U .

∂ W = “frontiera di W ” = W ∩ X r W Esercizio 14.1. Sia W ⊆ X un sottoinsieme.

Provare che W ha frontiera vuota se e solo se `e sia aperto che chiuso in X .

Esercizio 14.2. Sia W ⊆ X un sottoinsieme. Si provino le tre uguaglianze indicate di seguito z = W}| {

(♣) X = W^◦ S· ∂ W S· (X rW )^◦

| {z }

= X rW

dove scrivere “... ∪· ... ∪· ... ” significa dire che l’unione `e disgiunta, i.e. che gli insiemi indicati hanno a due a due intersezione vuota (n.b. c’`e un piccolo abuso di notazione e linguaggio!)

Nota. Come accennato, c’è un abuso di notazione nel nostro uso in (♣) del simbolo di unione disgiunta (che in genere ha un significato differente: presi due insiemi A e B, con A∪·B si intende l’insieme costituito da una copia di A −i cui elementi saranno per questo etichettati− ed una copia di B, per cui, ad esempio, A ∪· A è l’insieme costituito da due copie di A). ...d’altronde l’abuso concerne solo l’uso del simbolo (per definizione, diciamo che una unione è disgiunta se l’unione usuale si identifica con l’unione disgiunta) ed il rischio di un’interpretazione errata della formula (♣) è nullo!

Esercizio 15. Sia f : X −→ Y una funzione. Provare quanto segue f `e continua ⇐⇒ f W

⊆ f (W ) , ∀ W ⊆ X

Nota 15.1. Questo esercizio è importante perché caratterizza la continuità in termini che a mio avviso combaciano con l’idea intuitiva di continuità. Infatti, ci dice che la continuità di una funzione f è caratterizzata dalla proprietà che segue:

se x è vicino a W , allora f (x) è vicino a f (W ) , ∀ W ⊆ X dove il significato formale di “è vicino a” è “appartiene alla chiusura di”.

(4)

Esercizio 15.2. Sia f : X −→ Y una funzione. Provare, sia dandone dimostrazioni dirette che utilizzando l’esercizio (15), le affermazioni che seguono

• se X ha la topologia banale, allora f `e continua se e solo se {y} ⊇ Imf , ∀ y ∈ Imf ;

• se X ha la topologia discreta, allora f `e necessariamente continua;

• se Y ha la topologia banale, allora f `e necessariamente continua;

• se Y ha la topologia discreta, allora f `e continua se e solo se le sue fibre sono sia aperte che chiuse.

Ricordiamo che la topologia banale è quella dove gli unici aperti sono il vuoto e tutto lo spazio, la topologia discreta è quella dove ogni sottoinsieme è aperto. Le fibre di una funzione sono le immagini inverse dei punti del codominio.

Esercizio 16. Sia f : X −→ Y una funzione, x ∈ X un punto. Si provi quanto segue:

f `e continua in x ⇐==⇒ f (x) ∈ f (W ) , ∀ W

x ∈ W

(i.e., nel linguaggio della nota 15.1, “f (x) `e vicino a f (W ), ∀ W vicino ad x”).

Suggerimento: “=⇒”. Fissato un insieme W la cui chiusura contiene x, si consideri l’insieme I := Y r f(W ) (il complementare della chiusura dell’immagine di W ). Se, per assurdo, f (x) 6∈ f(W ), si ha che I è un intorno di f(x) e, essendo f continua in x per ipotesi, la sua immagine inversa dovrà essere un intorno di x. Da ciò si deduca una contraddizione.

“⇐=”. Fissato un intorno aperto I di f(x), si ponga W := X r f⁻¹(I). A questo punto, se per assurdo f⁻¹(I) non fosse un intorno di x, si avrebbe x ∈ W . Applicando l’ipotesi si deduca la condizione f(x) ∈ Y rI , condizione incompatibile col fatto che I `e un intorno di f (x).

Esercizio 17. Sia J un insieme e P(J) l’insieme delle parti di J . Si considerino funzioni ι : P(J) −→ P(J)

soddisfacenti le propriet`a che seguono:

0. ι(J) = J; 1. ι(A) ⊆ A, ∀ A ∈ P(J) ; 2. ι ◦ ι = ι ; 3. ι(A ∩ B) = ι(A) ∩ ι(B) , ∀ A, B ∈ P(J) . Verificare che dare una funzione ι come sopra equivale a dare una topologia su J, precisamente:

i) la collezione τ := A

ι(A) = A

`e la collezione degli aperti di una topologia su J ;

ii) se J `e uno spazio topologico, l’operatore di interno ι(A) := A, ∀ A soddisfa le propriet`a 0, 1, 2, 3;^◦ iii) le funzioni “a ι si associa τ ” e “ad una topologia si associa l’operatore di interno” sono l’una

l’inversa dell’altra.

Nota. La i) può essere provata senza utilizzare la 2: data una funzione ι che soddisfi le proprietà 0, 1, 3, gli elementi che sono fissati da ι cioè gli A ∈ P(J) per i quali risulta ι(A) = A

sono gli aperti di una topologia. Ciononostante la 2 non è ridondante, un esempio di funzione che soddisfa le proprietà 0, 1, 3 ma non soddisfa la 2 è il seguente:

J = {a, b, c}, ι(∅) = ∅, ι({a}) = ι({b}) = ∅, ι({a, b}) = {a}, ι({c}) = ι({a, c}) = ι({b, c}) = {c}, ι(J) = J Gli insiemi fissati da ι, cio`e gli aperti della topologia τ associata a ι, sono gli insiemi ∅, {c}, J. Naturalmente, l’operatore di interno per questa topologia, che chiameremo ˜ι, soddisfa anche la propriet`a 2; pertanto ι ed ˜ι sono operatori distinti (che definiscono la stessa topologia), in effetti ι({a, b}) = {a} mentre ˜ι({a, b}) = ∅ (su tutti gli altri sottoinsiemi di J coincidono). N.b.: schematizzando ι τ ˜ι6= ι (“ ” := “associamo”), i.e. senza usare la 2 non vale la iii).

Esercizio 17.1. Provare quanto affermato nella nota, cio`e provare la i) senza utilizzare la 2 e verificare che l’esempio fornito soddisfa le propriet`a 0, 1, 3 ma non soddisfa la 2.

Esercizio 17.2. Si provi un risultato analogo per l’operatore di chiusura: dare una topologia su un insieme J equivale a dare una funzione

κ : P(J) −→ P(J) soddisfacente le propriet`a che seguono:

0. κ(∅) = ∅; 1. κ(A) ⊇ A, ∀ A ∈ P(J) ; 2. κ◦ κ = κ ; 3. κ(A∪ B) = κ(A) ∪ κ(B) , ∀ A, B ∈ P(J) .

(5)

Def. 18. Sia X uno spazio topologico, B una collezione di aperti. Diciamo che B `e una base per la topologia se ogni aperto di X `e unione di aperti in B.

Esercizio 18.1. Sia J un insieme, B una collezione di sottoinsiemi. Provare che B `e una base per una qualche topologia su J se e solo se

B `e un ricoprimento di J , ogni intersezione B₁∩ B₂ di elementi in B `e unione di elementi in B.

Esercizio 18.2. Sia X uno spazio topologico, B una collezione di sottoinsiemi aperti. Provare che B `e una base per la topologia su X

per ogni aperto U e ogni punto x ∈ U , esiste B ∈ B tale che x ∈ U ⊆ B .

Def. 18.3. Sia X uno spazio topologico, p ∈ X un punto. Diciamo che

X `e primo numerabile in p se p ammette un sistema di intorni numerabile, i.e.

∃ F =

V_i

i∈N famiglia di intorni di p

tale che ∀ U

intorno di p

∃ i con V_i ⊆ U ;

X `e primo numerabile se `e primo numerabile in ogni punto;

X `e secondo numerabile se ammette una base numerabile.

Osserviamo che se X è secondo numerabile, è automaticamente anche primo numerabile. Il viceversa è chiaramente falso: un qualsiasi spazio non numerabile avente la topologia discreta, è primo numerabile ma non è secondo numerabile.

Esercizio 18.4. Sia X uno spazio topologico, p ∈ X un punto. Provare che sostituendo “intorno”

con “intorno aperto” la definizione rimane immutata, precisamente:

X `e primo numerabile in p se e solo se

∃ F =

V_i

i∈N famiglia di intorni aperti di p

tale che ∀ U

intorno aperto di p

∃ i con V_i ⊆ U ;

(6)

§

2. Spazi Metrici.

Assumiamo che lo studente abbia un minimo di familiarità con le nozioni di spazio metrico e di spazio vettoriale reale normato. Per comodità e per fissare le notazioni facciamo un breve richiamo. Uno spazio metrico è un insieme X sul quale è definita una distanza d, quest’ultima è una funzione che ad ogni coppia di punti di X associa un numero reale, si richiede che sia simmetrica, assuma valori non negativi, che risulti d(a, b) = 0 se e solo se a = b ed infine che valga la disuguaglianza triangolare d(a, b) + d(b, c) ≥ d(a, c), ∀ a, b, c ∈ X . Uno spazio vettoriale reale normato

`e uno spazio vettoriale reale X sul quale `e definita una norma, ovvero una funzione X −→ R, x 7→ ||x|| che sia definita-positiva (||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0), omogenea (||λx|| = |λ|||x||, ∀ λ ∈ R, x ∈ X ), soddisfacente la disuguaglianza triangolare (||x|| + ||y|| ≥ ||x + y|| , ∀ x, y ∈ X). Si ha che gli spazi vettoriali normati sono spazi metrici:

si pone d(x, y) =||x − y|| (questa risulta essere una distanza, lo si verifichi per esercizio).

Per uno spazio metrico (X, d) usiamo le seguenti notazioni standard

Bo, r = “disco aperto di centro o e raggio r” := { x ∈ X | d(x, o) < r } (o ∈ X, r ∈ R) ; D_{o, r} = “disco (chiuso) di centro o e raggio r” := { x ∈ X | d(x, o) ≤ r } (o ∈ X, r ∈ R) ; S_{o, r} = “sfera di centro o e raggio r” := { x ∈ X | d(x, o) = r } (o ∈ X, r ∈ R) .

In ambito metrico si danno le seguenti definizioni di continuit`a: dati due spazi metrici (X, d) e (Y, d^′) f : X −→ Y si dice continua in x x0 ∈ X se ∀ ǫ > 0 ∃ δ | d(x, x0) < δ =⇒ d^′(y, y₀) < ǫ

(dove y = f (x), y₀ = f (x₀);

f : X −→ Y si dice continua se `e continua in ogni punto.

Gli spazi metrici sono spazi topologici: se (X, d) `e uno spazio metrico, lo si considera dotato della topologia definita dall’affermazione che segue:

gli aperti di X sono le unioni di dischi aperti (i.e. i dischi aperti costituiscono una base per la topologia).

Esercizio 21. Verificare che quella introdotta `e effettivamente una topologia (i.e. soddisfa gli assiomi di spazio topologico).

Esercizio 22. Provare che le definizioni di continuit`a e continuit`a in un punto date in ambito metrico coincidono con le corrispondenti definizioni date in ambito topologico (def. 5.1 e def. 5.2).

Suggerimento: Alla luce della Proposizione (9) `e sufficiente verificare che la definizione metrica di continuit`a in un punto coincide con quella topologica (cfr. Def. 5.2).

Lo spazio Rⁿ con la distanza Euclidea d(x, y) := p

(x₁−y₁)²+ ... + (xn−yn)², x = (x₁, ..., xn), y = (y₁, ..., yn)

`e uno spazio metrico, la corrispondente topologia viene detta topologia naturale.

Nota. In effetti Rⁿ `e uno spazio vettoriale reale normato: si pone ||x|| = q

x²₁+ ... + x²_n.

Esercizio 23. Si consideri Rⁿ con la topologia naturale.

a. Si verifichino le uguaglianze che seguono

S_{o, r} = ∂ D_{o, r} = ∂ B_{o, r} dove ∂ denota la frontiera, o ∈ Rⁿ `e un punto, r > 0.

b. In generale, i.e. per uno spazio metrico (X, d) arbitrario, quali delle sei possibili inclusioni

So, r ⊆ ∂ Do, r, So, r ⊇ ∂ Do, r, So, r ⊆ ∂ Bo, r, So, r ⊇ ∂ Bo, r, ∂ Do, r ⊆ ∂ Bo, r, ∂ Do, r ⊇ ∂ Bo, r

si verificano sempre?

(7)

Chi ha svolto l’esercizio precedente avr`a provato che le inclusioni ∂ D_{o, r} ⊆ So, r e ∂ B_{o, r} ⊆ So, r sono le “uniche che si verificano sempre”; inoltre, le due frontiere indicate sono sicuramente chiuse nel cerchio So, r. Dunque, in un certo senso l’esercizio (23.1) seguente ci dice che fatte salve le condizioni menzionate, prendendo sottospazi del piano (cio`e senza scomodare spazi metrici strani), i tre insiemi So, r, ∂ Bo, r, ∂ Do, r possono essere “scelti” in modo del tutto arbitrario.

Esercizio 23.1. Si consideri R², sia o l’origine. Sia A un sottospazio arbitrario di S¹ (cerchio unitario centrato in o), H e K due sottospazi chiusi di A. Si trovi un sottospazio X ⊆ R² tale che

o ∈ X , per lo spazio metrico X risulti So,1 = A , ∂ Bo,1 = H , ∂ Do,1 = K .

Esercizio 24. Sia (X, d) uno spazio metrico. Dati due sottoinsiemi A, B ⊆ X ed un punto x ∈ X , poniamo

dist(A, x) := inf

a∈ A

d(a, x)

, dist(A, B) := inf

(a, b) ∈ A×B

d(a, b)

Stabiliamo per convenzione che l’estremo inferiore su un insieme di valori vuoto sia uguale a +∞; in questo modo le distanze introdotte sopra sono definite anche quando qualcuno dei nostri insiemi `e vuoto.

Si verifichino le propriet`a che seguono:

a. i punti sono chiusi;

b. due punti p e q distinti ammettono intorni U_p ed U_q aventi intersezione vuota;

c. se C `e un sottoinsieme chiuso e p ∈ X rC un punto, allora dist(C, p) > 0 ; d. dato un sottoinsieme A di X , risulta A = {x ∈ X | dist(A, x) = 0} ; e. trovare due chiusi disgiunti¹ A , B ⊆ R² aventi distanza nulla;

f. X `e primo numerabile;

g. ∀ C, D chiusi disgiunti, ∃ U_C e U_D aperti disgiunti

C ⊆ U_C, D ⊆ U_D.

Suggerimento (per g): si considerino gli insiemi U_C :=

x ∈ X

d(x, C) < d(x, D)

, U_D :=

x ∈ X

d(x, C) > d(x, D) e si verifichi che: i) sono disgiunti; ii) U_C ⊇ C e U_D ⊇ D (cfr. punto c); iii) sono entrambi aperti.

Nota. La proprietà a ci dice che X è T1 (cfr. def. 57, esercizio 59.a), la proprietà b ci dice che X è T2 (cfr. def. 57), la proprietà g ci dice che X separa i chiusi (cfr. def. 68). In definitiva, gli spazi metrici sono T4 (cfr. def. 68).

Esercizio 25. Sia X uno spazio topologico, f , g : X −→ R due funzioni continue (R dotato della topologia naturale). Provare che il luogo dei punti

L^{f > g} :=

x ∈ X

f(x) > g(x)

`e aperto in X . Definiti i luoghi L^f^{6= g}, L^f^{≥ g}, L^f^{= g} in modo analogo, dedurre che il primo di essi `e aperto in X , secondo e terzo sono chiusi in X . Infine, verificare l’inclusione

L^f^{≥ g} ⊇ L^{f > g} e dare un controesempio per il quale non vale “=”.

Nota. I luoghi L^f^{6= g} e L^f^{= g} hanno perfettamente senso anche quando il codominio delle nostre funzioni `e uno spazio topologico Y arbitrario.

Esercizio 26. Siano f, g : X −→ Y funzioni continue tra spazi metrici,

verificare che il luogo L^f^{6= g} `e aperto ed il luogo L^f^{= g} `e chiuso.

Esercizio 27. Esibire esempi di funzioni continue f , g : X −→ Y (tra spazi topologici) tali che

• L^f^{= g} `e aperto ma non `e chiuso;

• L^f^{= g} non è né aperto né chiuso.

Nell’ipotesi che i punti di Y siano chiusi, stabilire se sia possibile dare analoghi esempi.

1Cio`e aventi intersezione vuota.

(8)

§

3. Spazi Quozienti.

Ricordiamo brevemente un fatto di insiemistica. Dato un insieme S , le tre nozioni che seguono

• relazioni d’equivalenza su S , • funzioni suriettive S −→ Z • partizioni di S , sono sostanzialmente la stessa cosa (di seguito, il simbolo ∪· denota che l’unione `e disgiunta):

ad una relazione d’equivalenza∼ si associa la proiezione π : S → S/ ∼ (S/ ∼ denota l’insieme delle classi d’equivalenza);

ad una funzione suriettiva f : S −→ Z si associa la partizione delle fibre di f (si scrive S = ∪·f⁻¹(z), z ∈ Z );

ad una partizione S = ∪·Ai si associa la relazione d’equivalenza ∼ definita dalla condizione a ∼ b ⇐⇒ ∃ i | a, b ∈ Ai.

Def. 31. Sia X uno spazio topologico, ∼ una relazione d’equivalenza su X , π : X −→ X/ ∼ la proiezione naturale. Lo spazio topologico quoziente, denotato con X/ ∼, `e l’insieme quoziente dotato della topologia definita dalle propriet`a che segue:

U ⊆ X/ ∼ `e aperto ⇐⇒ π⁻¹(U ) `e aperto in X

Nota 31.1. La topologia quoziente coincide con la topologia coindotta dalla proiezione (nozione pi`u generale che verr`a introdotta in seguito).

Esercizio 32.1. Si verifichi che quella introdotta `e effettivamente una topologia su X/ ∼ .

Esercizio 32.2. Si verifichi che X/ ∼ è dotato della topologia più fine (:= “più ricca di aperti”) per la quale la proiezione π è continua.

Notazione 33. Sia A un sottospazio di uno spazio topologico X . Denotiamo con X/A lo spazio ottenuto identificando tra loro i punti di A:

X/A := X/ ∼ , dove ∼ `e la relazione d’equivalenza “p ∼ q ⇐⇒ p = q oppure p, q ∈ A”.

Esercizio 34. Verificare che gli aperti di X/A sono le immagini tramite la proiezione naturale π : X → X/A degli aperti di X che non incontrano oppure contengono A, cio`e verificare che

V

V ⊆ X/A `e aperto

=

π(B)

B ⊆ X `e aperto, B ∩ A = ∅ oppure B ⊇ A Verificare inoltre che se B `e un sottoinsieme di X, vale la caratterizzazione che segue:

π(B) ⊆ X/A `e aperto ⇐⇒

(

oppure

( B ∩ A 6= ∅ e B ∪ A `e aperto) ( B ∩ A = ∅ e B `e aperto)

Esercizio 35. Provare che i seguenti spazi topologici sono omeomorfi tra loro

• Cerchio Unitario S¹ :=

x ∈ R²

||x|| = 1

;

• [0, 1]/{0, 1} (dove[0, 1] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1});

• Retta Proiettiva reale P¹_R := R²r{o} ∼ (o denota l’origine di R² e ∼ la relazione di proporzionalit`a);

• Toro reale T¹ := R/Z (quoziente di gruppi: si intende R/ ∼ , dove a ∼ b ⇐⇒ a − b ∈ Z).

Naturalmente, i vari R ed R² si intendono dotati della topologia naturale, i loro sottoinsiemi della topologia indotta.

Attenzione! Il Toro reale T¹ non va confuso col quoziente R/Z nel senso della notazione (33), spazio che risulta essere omeomorfo ad un bouquet numerabile di cerchi (cfr. definizione 38 seguente).

(9)

Def. 36. Se {Xi} `e una famiglia di spazi topologici, l’unione disgiunta X = ∪^·Xi viene dotata della topologia unione disgiunta, definita dalla propriet`a che segue:

U ⊆ X `e aperto se e solo se interseca ognuno degli X_i in un aperto di τ_i (τ_i denota la collezione degli aperti di X_i).

Esercizio 37. Siano {X_i} ed X come nella definizione (36). Si verifichino le propriet`a che seguono:

i) quella introdotta `e effettivamente una topologia su X ; ii) gli Xi sono sia aperti che chiusi (come sottoinsiemi di X );

iii) ogni inclusione Xi ֒→ X `e un omeomorfismo sull’immagine;

iv) X `e dotato della topologia pi`u fine per la quale le inclusioni Xi ֒→ X sono continue.

Esercizio 37.1. Verificare che la propriet`a “ii) + iii)” caratterizza la topologia unione disgiunta.

Def. 38. Il bouquet di spazi topologici puntati {(X_i, x_i)} `e lo spazio topologico W

i (X_i, x_i) := ∪^· X_i

∪ {xi}

(cfr. definizione 36 e notazione 33). Lo spazio introdotto si chiama anche “wedge sum”.

Uno spazio topologico puntato `e una coppia “spazio topologico X, punto x∈ X”. Nei casi in cui la scelta di xi ∈ Xi

`e sostanzialmente ininfluente, ad esempio se Xi = S¹ (per ogni coppia di punti p, q ∈ S¹ esiste un omeomorfismo di S¹ in se che manda il punto p nel punto q), per abuso di notazione il punto non viene indicato affatto (per cui, ad esempio, S¹∨ S¹ `e lo spazio ottenuto da due copie disgiunte di S¹, identificando un punto dell’una con un punto dell’altra).

Esercizio 38.1. Provare che il bouquet di due cerchi S¹∨ S¹ (cfr. sopra) `e omeomorfo al sottospazio di R² costituito dall’unione di due cerchi che si toccano in un punto.

(∗⁾Esercizio 38.2. Provare che il bouquet di una famiglia numerabile di cerchi X = W

i∈N S¹ non `e omeomorfo ad alcun sottospazio di Rⁿ.

Suggerimento: Si provi che X non `e primo numerabile (cfr. def.;18.3) nel vertice² del bouquet, mentre gli spazi metrici sono primo numerabili (cfr. esercizio 24.f).

Esercizio 39. Provare che i seguenti spazi topologici sono omeomorfi tra loro

• Retta Proiettiva complessa P¹_C := C²r{o} ∼

(dove o denota l’origine di C² e ∼ `e la relazione di proporzionalit`a);

• retta complessa ampliata Cb := C ∪^·{∞}

(il sostegno del nostro spazio `e l’unione disgiunta di C ed un punto, detto punto all’infinito e denotato con “∞”, gli aperti sono i sottoinsiemi U soddisfacenti le due propret`a che seguono:

• U ∩ C `e aperto; • se ∞ ∈ U, allora il complementare di U `e limitato (come sottoinsieme di C).

(Quella introdotta `e una topologia, lo studente se ne convinca). In particolare, C `e un sottospazio aperto di bC (i.e.

vale la quanto previsto dalla def. 2 ed inoltre C è aperto in bC) ed una base di intorni del punto all’infinito è data dai complementari in bC dei dischi chiusi in C; queste due proprietà caratterizzano la topologia di bC).

• Sfera Unitaria S² :=

x ∈ R³

||x|| = 1

;

Naturalmente, i vari C, C², R³ si intendono dotati della topologia naturale, i loro sottoinsiemi della topologia indotta.

2Nella notazione della definizione (38), il vertice del bouquet `e il punto cui si contrae ∪{xi} .

(10)

§

4. Prodotti di spazi topologici.

Sia {Xα}_α_{∈ S} una famiglia di insiemi. Si definisce il prodotto cartesiano ponendo X = ×

α∈ S

Xα :=

funzioni x : S −→ S•

Xα

x(α) ∈ Xα, ∀ α ∈ S

Ci sono delle proiezioni naturali

π_α : X −→ X_α x 7→ x_α ( x_α denota l’elemento x(α) ∈ X_α).

Il prodotto di spazi topologici, `e il prodotto insiemistico definito sopra dotato della topologia debole:

Def. 41. Sia {Xα}_α_{∈ S} una famiglia di spazi topologici. Il prodotto cartesiano X = ×

α∈ S

Xα

viene dotato della topologia meno fine per la quale le proiezioni π_α: X −→ X_α sono continue.

Nota 41.1. Ricordiamo che “meno fine” significa meno ricca di aperti (da qui l’uso dell’aggettivo debole). Dando la definizione implicitamente stiamo affermando che questa sia ben posta, cioè che esiste (unica) una topologia τ su X soddisfacente la proprietà che segue: per ogni topologia τ^′ per la quale le proiezioni sono continue, si ha che τ^′ è più fine di τ . Tutto ciò segue da un principio generale: data una famiglia S di sottoinsiemi di un insieme fissato si può considerare la topologia generata daS (definita considerando unioni di intersezioni finite di elementi di S), questa sarà la topologia meno fine contenente S. Tornando alla topologia prodotto, l’esercizio (42) seguente ce la descrive.

Nota 41.2. Quello della topologia prodotto è un esempio di topologia indotta: in generale, dato un insieme X ed una famiglia di funzioni fα: X → Wα, dove i Wα sono spazi topologici, si può dotare X della topologia meno fine per la quale le fα sono continue (questa, per definizione, è la topologia indotta dalla famiglia di funzioni data).

Esercizio 42. Sia X come sopra. Verificare che i sottoinsiemi del tipo

(♣) ×

j ∈ J

(finito)

U_j × ×

α∈ SrJX_α con gli U_j aperti dei corrispondenti X_j costituiscono una base (cfr. def. 18) per la topologia prodotto.

Siamo interessati al caso del prodotto di due spazi topologici (o comunque a prodotti finiti).

Notazione. Consideriamo il prodotto X× Y di due spazi topologici X e Y . Un sottoinsieme del tipo A× B (A ⊆ X, B⊆ Y ) lo chiamiamo rettangolo. Se A e B sono aperti, il rettangolo A×B è aperto (ci si convinca di ciò), per questa ragione lo chiamiamo rettangolo aperto; se A e B sono chiusi, A×B è chiuso e lo chiamiamo rettangolo chiuso.

Nel caso del prodotto X × Y di due spazi topologici X e Y , i rettangoli aperti costituiscono una base per la topologia prodotto (ce lo dice l’esercizio 42):

gli aperti del prodotto X × Y sono le unioni di rettangoli aperti.

Nel caso di prodotti finiti X₁×...×Xn di spazi topologici, i prodotti A₁×...×An (A_i⊆ X_i) li chiamiamo plurirettangoli.

Naturalmente valgono risultati analoghi a quelli concernenti il prodotto di due spazi (e, all’occorrenza, parleremo di plurirettangoli aperti, ovvero di plurirettangoli chiusi).

Le cose vanno diversamente nel caso di prodotti infiniti: pu`o accadere che un prodotto di aperti non sia un aperto per la topologia prodotto (cfr. esercizio 43).

(∗⁾Esercizio 43. Sia X come nella def. (41). Provare che nel caso di un prodotto “davvero infinito, non banale” (cfr. sotto), esistono prodotti di sottoinsiemi aperti che non sono aperti per la topologia prodotto. Dedurre che, in particolare, la topologia generata dai prodotti di aperti non coincide con la topologia prodotto (naturalmente, la prima è sempre più fine della seconda, pertanto nel caso in questione è strettamente più fine).

(Con la locuzione “davvero infinito, non banale” intendiamo “dove l’insieme degli α per i quali X_α non ha la topologia banale `e un insieme infinito”; n.b. ogni Xα che non ha la topologia banale deve contenere almeno due punti).

(11)

Esercizio 44. Verificare che la topologia naturale di Rⁿ coincide con la topologia prodotto.

Esercizio 45. Verificare che Rⁿ/Zⁿ (quoziente di gruppi: `e lo spazio Rⁿ/ ∼ dove a ∼ b se a − b ∈ Zⁿ, cfr. def. 9) `e omeomorfo al prodotto di n copie del toro T¹ (cfr. eserc. 35).

Esercizio 46. Siano X, Y, Z, W spazi topologici, f : X −→ Y , g : Z −→ W funzioni continue.

Provare che se f e g sono aperte (mandano aperti in aperti), allora anche f × g : X × Z −→ Y × W , (x, z) 7→ f (x), g(z)

`e aperta.

Esercizio 47.1. Si considerino le funzioni I : R −→ R, x 7→ x e π : R −→ R, x 7→ 0. Verificare che nonostante siano entrambe chiuse (convincersene), la funzione prodotto I × π non `e chiusa.

Si pu`o dare una variante con “f = g” dell’esempio dell’esercizio precedente:

Esercizio 47.2. Si consideri l’unione disgiunta R₁∪· R₂ di due copie di R (che abbiamo etichettato al fine di distinguerle). Verificare che la funzione

f : R₁∪^·R₂ −→ R definita ponendo

f (x) = x , se x ∈ R₁ f (x) = 0 , se x ∈ R₂

`e chiusa, ma la funzione prodotto f × f non lo `e.

Nota. Naturalmente possiamo sostituire il dominio R₁∪·R2 con (1, 2)∪(3, 4) (sottospazio di R, omeomorfo ad R1∪·R2), il codominio R con l’intervallo (1, 2) ed infine definire f (x) = x, se x < 2 , f (x) = 3/2, se x > 3.

Modificando un po’ l’esempio della nota si ottiene l’esempio dell’esercizio che segue.

Esercizio 47.3. Verificare che la funzione f : (0, 2) −→ (0, 1] ,

f (x) = x , se x ≤ 1

f (x) = 1 , se x ≥ 1 `e chiusa, ma la funzione prodotto f × f non lo `e.

(12)

§

5. Compattezza, Separazione, Connessione.

Def. 51. Uno spazio topologico X si dice compatto se da ogni ricoprimento aperto `e possibile estrarre un sottoricoprimento finito.

Valgono le propriet`a seguenti:

(51.1) X `e compatto se e solo se da ogni famiglia chiusa avente intersezione vuota³`e possibile estrarre una sottofamiglia finita avente intersezione vuota;

(51.2) l’immagine continua di un compatto `e compatta;

(51.3) un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto `e compatto;

(51.4) il prodotto X × Y di spazi compatti `e compatto.

Nota. La (51.2) ci dice che la (51.4) si inverte (a meno che uno dei due sia vuoto...):

X, Y non vuoti, X× Y compatto =⇒ X, Y compatti (in quanto immagini continue delle proiezioni).

Def. 52. Sia X un insieme, U = {U_α} un ricoprimento. Un raffinamento di U `e un ricoprimento V = {V_β} soddisfacente la propriet`a seguente: ∀ β ∃ α | V_β ⊆ Uα.

Nota. Non si fanno altre ipotesi (a priori, l’insieme dei β può avere cardinalità maggiore, ma anche minore, di quello degli α). Esempi: il ricoprimento ottenuto considerando più copie di ogni Uα è un raffinamento di U ; ogni sottoricoprimento di U è, in particolare, un suo raffinamento. L’esercizio (53.1) è un’utile applicazione del concetto di raffinamento.

Esercizio 53. Provare che uno spazio topologico X `e compatto se e solo se ogni ricoprimento aperto ammette un raffinamento aperto dal quale `e possibile estrarre un sottoricoprimento finito.

Esercizio 53.1. Usando il risultato dell’esercizio precedente, si provi la (51.4) secondo la linea indicata:

• modulo raffinamento, ci si riduca ad un ricoprimento U = {Aα× Bα}α∈ S in rettangoli aperti;

• si passi al raffinamento U^′ =

A(α, y)× B(α, y)

(α, y) ∈ S×Y A(α, y) := Aα, B(α, y) := Bα

;

• si passi ad un raffinamento V di U^′ dove i rettangoli con etichetta (∗, y) ricoprono X × {y}, sono in numero finito (qui si usi la compattezza di X) e, per y fissato, hanno tutti la “stessa altezza” (si intende “medesima proiezione su Y ”);

• si concluda la dimostrazione usando il fatto che le “altezze” ricoprono Y (che `e compatto).

Esercizio 54. Sia Y uno spazio topologico, f : [0, 1] −→ Y una funzione (arbitraria). Provare che f `e continua ⇐⇒ il grafico Γ_f `e compatto.

Naturalmente, il grafico Γ_f := {(t, f(t)}t ∈ [0, 1] ⊆ [0, 1] × Y , si intende dotato della topologia indotta dall’ambiente [0, 1]× Y , quest’ultimo dotato della topologia prodotto.

Spesso pu`o essere utile, ancorch´e non necessario, lavorare con ricoprimenti aperti numerabili (o meglio, parametrizzati da N) e, all’occorrenza, nidificati (dove ogni aperto contiene i precedenti).

Esercizio 55. Sia X uno spazio topologico. Si provi che se X è 2ô-numerabile (def. 18.3), allora da ogni ricoprimento aperto è possibile estrarre un sottoricoprimento numerabile

Si osservi che ad un ricoprimento numerabile U = {Uα}α∈ N si pu`o associare il ricoprimento V = {Vα}α∈ N dove i Vα

sono definiti ponendo Vα = U₀∪ U1∪ ... ∪ Uα. Chiaramente V risulta nidificato (ed eredita molte propriet`a di U , ad esempio ammette un sottoricoprimento finito se e solo se ci`o accade per U ).

Esercizio 56. Si verifichi che Rⁿ (e, di conseguenza, ogni suo sottospazio) `e 2^o-numerabile.

3Diciamo che una famiglia di insiemi ha intersezione vuota se l’intersezione di tutti gli insiemi della famiglia `e vuota.

(13)

Ricordiamo gli assiomi di separazione T1 e T2 (meglio noto come “di Hausdorff ”).

Def. 57. Uno spazio topologico X si dice

• T1 se ∀ p, q ∈ X ∃ intorni Up di p e U_q di q tali che q 6∈ U_p e p 6∈ U_q.

• di Hausdorff (o T2) se `e possibile separare i punti, i.e.:

∀ p, q ∈ X ∃ intorni Up di p e Uq di q aventi intersezione vuota (i.e. con Up∩ Uq = ∅).

Notazione. Dati degli insiemi X, Y, Z, W e funzioni f : X −→ Y , g : Z −→ W poniamo

• ∆X :=

(x, x) ∈ X × X

x∈ X

• ∆f :=

(x₁, x₂) ∈ X × X

f(x₁) = f (x₂)

• f × g : X × Z −→ Y × W , (x, z) 7→ (f (x), g(z))

Esercizio 58. Siano X, Y ed f come nella notazione. Si verifichino le relazioni che seguono a. ∆_X = ∆_IdX ; ∆_f = (f × f )⁻¹∆_Y ; ∆_X ⊆

vale “=” ⇐⇒

f `e iniettiva

!

∆_f ; (f × f ) ∆_f ⊆

vale “=” ⇐⇒

f `e suriettiva

!

∆_Y ;

b. Dati A , B ⊆ X , A ∩ B = ∅ ⇐⇒ A×B ∩ ∆X = ∅ (i.e. A×B non incontra la diagonale).

Esercizio 59. Sia X uno spazio topologico. Provare le propriet`a che seguono:

a. X `e T1 ⇐⇒ ogni punto `e chiuso;

⇐⇒ ogni sottoinsieme di X `e intersezione di aperti;

b. X `e di Hausdorff ⇐⇒ la diagonale ∆X `e chiusa.

Nei punti che seguono, assumiamo che f : X −→ Y sia una funzione continua.

c. se Y `e di Hausdorff =⇒ ∆_f `e chiuso;

d. se f è suriettiva ed aperta, ∆_f è chiuso =⇒ Y è di Hausdorff;

e. se X è compatto e di Hausdorff, f è suriettiva, Y ha la topologia quoziente, allora Y è di Hausdorff ⇐⇒ ∆f è chiuso ⇐⇒ f è chiusa

(dicendo che Y ha la topologia quoziente intendiamo che l’identificazione insiemistica naturale Y = X/∼ `e un omeomorfismo, dove ∼ denota la relazione d’equivalenza associata alla funzione suriettiva f ).

L’implicazione “f chiusa =⇒ Y di Hausdorff ” (nelle ipotesi del punto 59.e), `e una proposizione che desideriamo enunciare separatamente.

Proposizione 60. Sia X uno spazio topologico compatto di Hausdorff, ∼ una relazione d’equivalenza.

Se π : X −→ X/ ∼ `e chiusa, allora X/ ∼ `e di Hausdorff.

Pi`u avanti vedremo che gli spazi compatti di Hausdorff sono T 4 (cfr. esercizio 68.3), i.e. soddisfano la propriet`a che segue:

(♣) ∀ C₁ e C₂ chiusi disgiunti, ∃ U₁ e U₂ aperti disgiunti U_i ⊇ Ci, i = 1, 2 . Esercizio 60.1. Si dimostri la proposizione (60) utilizzando il risultato (♣) appena enunciato.

(14)

Def. 61. Uno spazio topologico X si dice connesso se non `e unione disgiunta non banale⁴ di aperti (equivalentemente, non ha sottoinsiemi sia aperti che chiusi eccetto l’insieme vuoto ed X stesso).

Valgono le propriet`a seguenti:

(61.1) X `e connesso ⇐⇒ E discreto, f : X −→ E continua =⇒ f `e costante

; (61.2) l’immagine continua di un connesso `e connessa;

(61.3) il prodotto X × Y di spazi connessi `e connesso

Nota. Analogamente al caso della (51.4), la (61.2) ci dice che la (61.3) si inverte (a meno che uno dei due sia vuoto):

X, Y non vuoti, X× Y connesso =⇒ X, Y connessi (in quanto immagini continue delle proiezioni).

Naturalmente, se S è un sottoinsieme di uno spazio ambiente X , allora S stesso è uno spazio topologico (con la topologia indotta) ed ha senso parlare di connessione secondo la definizione data. In questo caso è utile avere una caratterizzazione della connessione in termini degli aperti dell’ambiente. Una tale caratterizzazione ce la fornisce l’esercizio che segue.

Esercizio 62. Sia S un sottospazio di uno spazio ambiente X . Provare che S `e connesso ⇐⇒ ∃

U, V aperti di X tali che

(i) sono disgiunti in S , i.e. U ∩ V ∩ S = ∅ ii) ricoprono S in modo non banale

(i.e. U∪V ⊇ S e nessuno dei due contiene S ). Esercizio 63.1. Sia X uno spazio topologico, A e B suoi sottospazi. Provare quanto segue

a. se A `e connesso, A ⊆ B ⊆ A =⇒ B `e connesso;

b. se A è connesso, {B_i} è un ricoprimento aperto disgiunto⁵ di A =⇒ ∃ i | A ⊆ Bi; c. se A e B sono connessi, A ∩ B 6= ∅ =⇒ A ∪ B è connesso;

d. assumendo che A e B siano connessi non vuoti, si ha che

A ∪ B non `e connesso ⇐⇒ A ∩ B = ∅ e A ∩ B = ∅

(si osservi che l’implicazione “=⇒” è più forte della proprietà c).

Suggerimento (per d, “=⇒”): dire che A e B sono connessi ma A ∪ B non `e connesso, equivale a dire che esistono C_A ed C_B chiusi in X tali che C_A ⊇ A, C_B ⊇ B, C_A∩ C_B∩ (A ∪ B) = ∅ (ci si convinca di ci`o); a questo punto si provi che si deve avere A∩ B ⊆ C_A∩ B = ∅ e, analogamente, anche A ∩ B = ∅ .

Esercizio 63.2. Sia S un sottospazio di uno spazio ambiente X . Provare che S non `e connesso ⇐⇒ ∃ A e B non vuoti

S = A ∪ B , A ∩ B = ∅ , A ∩ B = ∅ .

Def. 64. Una componente connessa di uno spazio topologico `e un sottospazio connesso massimale⁶. Esercizio 65. Sia X uno spazio topologico. Provare che

a. le componenti connesse di X costituiscono una partizione di X (in particolare, esistono);

b. fissato x ∈ X la componente connessa che lo contiene `e l’unione di tutti i connessi contenenti x:

Γx = S

C connesso ∋ x

C c. le componenti connesse di X sono chiuse;

d. Γx ⊆ Θx := T

W sia aperto che chiuso, contenente il punto x

W Γx denota la componente connessa contenente x

;

(n.b.: la famiglia dei W che andiamo a intersecare contiene X).

4Cio`e, dove nessuno degli aperti `e X .

5Cio`e, per definizione, dove gli insiemi del ricoprimento sono disgiunti (hanno a due a due intersezione vuota).

6Cio`e non strettamente contenuto in alcun sottospazio connesso dello spazio dato.

(15)

Notazione (che utilizziamo negli esercizi 66 e 67):

• clopen(X) = “famiglia dei sottospazi di X (spazio topologico) sia aperti che chiusi”

(osserviamo che clopen(X) contiene sempre almeno due elementi, l’insieme vuoto e lo stesso X).

• Q^•• = retta razionale con due origini (che denoteremo con o ed o^′)

= Q₁∪^·Q₂

∼ “ ∼” generata da q ∼ q^′ se q ∈ Q₁, q^′∈ Q₂, q = q^′6= 0

i.e. si considerano due copie disgiunte di Q dotate della topologia indotta da R, quindi si quozienta con la relazione d’equivalenza che identifica ogni numero q 6= 0 della prima copia col numero q (lo stesso numero) della seconda.

(∗⁾Esercizio 66. Sia Q^•• la retta razionale con due origini o ed o^′.

• Calcolare Γo (la componente connessa contenente o);

• Calcolare Θo := T

o∈ W ∈ clopen(Q^••)

W

(∗⁾

Esercizio 67. Trovare l’errore nel ragionamento che segue:

“sia X uno spazio topologico e p ∈ X un punto. Denotiamo con Γ_p la componente connessa contenente p e con Θp l’intersezione di tutti i clopen (sottoinsiemi sia aperti che chiusi) contenenti p. Se A `e un clopen contenente p e C `e un sottospazio connesso contenente p, allora si deve avere C ⊆ A.

D’altro canto (se A è un clopen contenente p), B è un clopen in A contenente p, se e solo se B è un clopen in X contenente p. Di conseguenza, per un clopen W contenente p vale la seguente dicotomia:

o W è connesso, ed in questo caso W = Γ_p, oppure W non è un clopen minimale (se non è connesso

`e unione disgiunta non banale di clopen, cfr. def. 14). Questo dimostra che un clopen minimale deve coincidere con Γ_p. D’altro canto Θ_p `e contenuto in ogni clopen, quindi si deve avere Γ_p = Θ_p.”

...ma chi ha svolto correttamente l’esercizio (66) sa che si pu`o avere Γ_p 6= Θp!

Def. 68. Uno spazio topologico X si dice

• T3 se `e T1 (i punti sono chiusi) e separa i punti dai chiusi, i.e. per ogni punto p e chiuso C non contenente p, `e possibile trovare due aperti disgiunti U e V tali che p ∈ U , C ⊆ V .

• T4 se `e T1 (i punti sono chiusi) e separa i chiusi, i.e. per ogni coppia chiusi disgiunti C₁ e C₂ `e possibile trovare due aperti disgiunti U₁ e U₂ tali che C₁ ⊆ U₁, C₂ ⊆ U₂.

Nota 68.1. Si osservi che T 4 =⇒ T 3 , T 3 =⇒ T 2 , T 2 =⇒ T 1 . Proposizione 68.2. Gli spazi metrici sono T 4 .

Dimostrazione. I punti sono chiusi (esercizio 24.a) ed X separa i chiusi (esercizio 24.g).

Esercizio 68.3. Si provi che gli spazi compatti di Hausdorff sono T 4.

Suggerimento: Si cominci col provare che sono T 3.

Esercizio 68.4. Sia X uno spazio topologico T 4 ed A ⊆ X un sottospazio. Provare che a. se A `e chiuso, lo spazio quoziente X/A `e T 4;

b. dati a < b ∈ R (la retta reale R dotata della topologia naturale), R

(a, b) non `e T 1 , non separa i chiusi;

R

(a, b] non `e T 1 , separa i chiusi;

R

(a, +∞) non `e T 1 , separa i chiusi.

(In particolare, nessuno di essi `e T 4 ).

(16)

Esercizio 69. Sia RSorg la retta reale con la topologia di Sorgenfrey:

una base di R_Sorg `e data dagli intervalli del tipo [a, b) .

• verificare che la topologia di Sorgenfrey `e pi`u fine della topologia naturale;

• provare che RSorg `e T4 (quindi, per la nota 68.1, anche T3, T2 e T1).

(∗⁾Esercizio 70. Si consideri R²_Sorg := RSorg× RSorg. Si provi che

a. R²_Sorg `e T3.

Con i punti successivi si vuole stabilire, tra altre cose, che R²_Sorg non `e T4. Fissiamo le notazioni:

• r := “retta di equazione x + y = 0”,

• R_p_{= (x, y)} := “rettangolo aperto del tipo [x, x + δ) × [y, y + δ) , δ > 0”,

• r_raz := { (x, −x) ∈ r | x ∈ Q } , r_irr := r r rraz (n.b. r_raz e r_irr sono disgiunti),

• r_alg := { (x, −x) ∈ r | x `e algebrico⁷ } , rirr&alg := r_irr∩ r_alg (= r_algrr_raz).

b. R²_Sorg induce su r la topologia discreta (in particolare, ogni sottoinsieme di r `e chiuso in R²_Sorg);

c. un aperto U contenente un sottoinsieme C ⊆ R²_Sorg pu`o essere “ricondotto” ad un aperto del tipo

(♠) U^′ = S

p∈ C

R_p ,

dove “ricondotto” significa “esiste un aperto U^′ del tipo indicato soddisfacente C ⊆ U^′ ⊆ U ”;

d. dati C ⊆ r, po ∈ C ed U^′ come in (♠), il rettangolo Rp_o `e l’unico contenente po;

e. esistono due aperti disgiunti U, V ⊆ R²_Sorg tali che U ⊇ r_raz, V ⊇ rirr&alg;

f. dato un qualsiasi insieme numerabile C ⊆ r ,

si ha che esiste U^′ come in (♠) con gli R_p a due a due disgiunti;

g. non esistono due aperti disgiunti U, V ⊆ R²_Sorg tali che U ⊇ r_raz, V ⊇ r_irr

(quindi, essendo r_raz e r_irr chiusi per(b.), R²_Sorg non `e T4).

Indicazioni: per provare (g.), come suggeriscono (e.) ed (f.), il fatto che r_irr non sia numerabile è cruciale e deve essere usato (suggerisco di ragionare per assurdo e pensare all’insieme dei δ_R_p dell’aperto contenente r_irr). Comunque, onestamente provare (g.) mi sembra abbastanza difficile ...anche chi non dovesse riuscire a rispondere resta in corsa per la lode all’esame! Come passo preliminare conviene fare pratica con le difficoltà che si incontrano, per questa ragione ho inserito la richiesta di provare le già citate affermazioni (e.) ed (f.). Dunque, passando a queste due affermazioni, si osservi che la (f.) è molto più forte, ciononostante paradossalmente più facile da provare, della(e.):

• assumendo di aver gi`a acquisito la (f.), posto C = r_raz∪ rirr&alg = r_alg, fissata una collezione di aperti disgiunti {R_p}_p_{∈ C}, `e sufficiente definire

U = S

p∈ r_raz

R_p e V = S

p∈ rirr&alg

R_p .

La soluzione di tutto l’esercizio si trova nel file dei suggerimenti e soluzioni.

7Cio`e, esiste un polinomio P a coefficienti interi tale che P (x) = 0 . Ad esempio, (√ 2− 3√⁷

5)^3/19 `e algebrico.

(17)

§

6. Varie.

Notazione. Salvo diversamente specificato, i vari R, Rⁿ, C sono dotati della topologia naturale.

Esercizio 81. Sia X un sottospazio di Rⁿ (dotato della topologia naturale). Provare che a. se X è discreto⁸, allora è al più numerabile;

b. se X `e infinito, allora ammette sottospazi discreti infiniti (per a, al pi`u numerabili);

c. se X `e discreto infinito e limitato, allora non `e chiuso;

d. X non `e compatto se e solo se ammette sottospazi chiusi discreti infiniti.

Def. 82. Sia X uno spazio topologico, poniamo I = [0, 1] ⊆ R . Il cono astratto su X `e lo spazio quoziente

C_a(X) = X ×I

X ×{0} ,

il punto v ∈ C_a(X) corrispondente allo spazio che contraiamo lo chiameremo vertice.

Se X ⊆ Rⁿ, il cono geometrico su X `e lo spazio

C_geom(X) := “luogo in Rⁿ⁺¹ dei segmenti x o , x = ξ(x), x ∈ X ” ,

dove ξ : Rⁿ ֒→ Rⁿ⁺¹ `e un’immersione iperpiana ed o ∈ Rⁿ⁺¹rξ(Rⁿ) `e un punto fissato.

Esercizio 83. Sia X ⊆ Rⁿ, consideriamo notazioni come nella definizione (82). Provare che a. la funzione

ω : C_a(X) −−−−→ C_geom(X) (x, t) 7→ t x + (1−t) o

`e biunivoca (come nella definizione 82, x denota l’immagine di x in Rⁿ⁺¹);

b. ω `e una funzione continua;

c. ω(v) = o , la restrizione ω^′: C_a(X)r{v} −−→ C_geom(X)r{o} `e un omeomorfismo;

d. se X `e compatto, allora ω `e un omeomorfismo;

e. se X non `e compatto, allora ω non `e un omeomorfismo;

(∗⁾f. se X non è compatto, allora C_a(X) non è metrizzabile quindi non è omeomorfo a C_geom(X) .

Suggerimento (per la domanda f, sicuramente la pi`u difficile): denotiamo con π : X×I −−−→ Ca(X) := X×I

X×{0}

la proiezione naturale. Per definizione di topologia quoziente, gli intorni aperti di v , vertice del cono astratto, corrispon- dono via π⁻¹ agli aperti, nel prodotto X× I , contenenti X × {0}. Di conseguenza, dire che Ca(X) non `e primo numerabile (def. 18.3) nel vertice v , equivale a dire (convincersene) quanto segue:

non `e possibile trovare una collezione numerabile di aperti in X×I (che `e un sottospazio di Rⁿ⁺¹) tale che:

i) ogni aperto della collezione contiene X×{0} ;

ii) per ogni aperto U contenente X×{0} c’`e un aperto della collezione contenuto in U . (♣)





Si provi (♣) procedendo per assurdo: fissata una collezione come sopra, in particolare numerabile, si scelga un sottoinsieme discreto numerabile Z = {p_i}_i∈N ⊆ X , con Z chiuso in X (l’esistenza di un tale sottoinsieme segue dalla non compattezza di X , cfr. esercizio 81.d), quindi, guardando come gli aperti della collezione intersecano Z×I , si costruisca un aperto U contenente X×{0} ma non contenuto in alcun aperto della collezione (cosa che d`a un assurdo).

8Diciamo che uno spazio `e discreto se la sua topologia coincide con la topologia discreta.