Un’applicazione f : X → Y fra spazi topologici `e un omeomorfismo locale se per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto U di x in X tale che f (U ) `e aperto in Y e f |U : U → f (U ) `e un omeomorfismo

Esame di Geometria 1

Anno Accademico 2012/2013

18 Gennaio 2013

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Si dotino [−1, 1] e R delle rispettive topologie euclidee e sia C([−1, 1], R) lo spazio delle funzioni continue da [−1, 1] in R con la metrica

d(f, g) := max

x∈[−1,1]|f (x) − g(x)| . Si consideri il sottoinsieme

S :=f ∈ C([−1, 1], R) | f(x) = kx per qualche k ∈ R e ogni x ∈ [−1, 1] . Dire se

(a) S `e limitato;

(b) S `e aperto in C([−1, 1], R), d
;

(c) S `e connesso;

(d) S `e compatto.

2. Un’applicazione f : X → Y fra spazi topologici `e un omeomorfismo locale se per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto U di x in X tale che f (U ) `e aperto in Y e f |_U : U → f (U ) `e un omeomorfismo.

(a) Provare che un omeomorfismo locale f : X → Y `e un’applicazione continua e aperta.

(b) Provare che un omeomorfismo locale f : X → Y `e un omeomorfismo se e solo se f `e bigettiva.

(c) Provare che se X `e T<sub>2</sub> localmente compatto ed esiste un omeomorfismo locale surgettivo f : X → Y allora Y `e T1 localmente compatto.

(Gira il foglio)

3. Sia

X := n

(x, y, z) ∈ R³  

 x³+ yz,p

z²+ y⁴
∈ (−∞, 2] ∪ [3, 11]
× [0, 7]o dotato della topologia indotta dalla topologia euclidea su R³.

(a) X `e chiuso in R<sup>3</sup>? `E aperto?

(b) X `e compatto?

(c) X `e connesso?

(d) X `e regolare? `E normale?

Si consideri poi l’insieme

Y :=(x, y) ∈ R² | x²+ y⁴ ≤ 5, y ≥ 1 con topologia di sottospazio di R² euclideo.

(e) Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi.

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.