1. Provare che uno spazio compatto e 1-numerabile ` e sequenzialmente compatto.

(1)

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 12

9 Gennaio 2014

1. Provare che uno spazio compatto e 1-numerabile ` e sequenzialmente compatto.

2. Mostrare che uno spazio metrico completo senza punti isolati ha cardinalit` a superiore al numerabile.

3. Sia f : (X, d _X ) → (Y, d _Y ) un’applicazione fra spazi metrici.

(a) Provare che f ` e uniformemente continua se e solo se per ogni coppia (x _n ) _n∈N , (x ⁰ _n ) _n∈N di successioni di X tali che d _X (x _n , x ⁰ _n ) → 0 si ha d _Y (f (x _n ), f (x ⁰ _n )) → 0.

(b) Dedurre che un’applicazione uniformemente continua f : X → Y si estende a un’applicazione uniformemente continua ˆ f : ˆ X → ˆ Y fra i completamenti.

4. Dimostrare che uno spazio metrico X ` e completo se e soltanto se ogni sottoinsieme infinito e totalmente limitato di X ha derivato non vuoto.

5. Provare che l’insieme R r Q dotato della topologia euclidea `e uno spazio di Baire.

6. Si doti R della topologia euclidea.

(a) Sia f : R → R una funzione. Mostrare che l’insieme dei punti di R in cui f `e continua ` e intersezione numerabile di aperti di R.

(b) Sia D un sottoinsieme denso e numerabile di R. Provare che non esiste alcuna funzione R → R che sia continua in tutti e soli i punti di D.

7. Sia X uno spazio topologico T ₁ . Dimostrare che se per ogni chiuso C di X e ogni applicazione continua f : C → R esiste un’applicazione continua F : X → R tale che F | _C = f allora X ` e normale.

8. Dimostrare che uno spazio topologico compatto e di Hausdorff ` e metrizzabile se e soltanto se ` e a base numerabile.

9. Sia X uno spazio metrico e sia f : X → X una isometria.

(a) Provare che se X ` e compatto allora f ` e suriettiva.

(b) Mostrare con un esempio che l’enunciato in (a) diventa falso se “compatto” ` e sostituito con “localmente compatto”.

10. Sia X uno spazio T ₂ localmente compatto a base numerabile. Supponiamo che esista

una famiglia {K _n } _n∈N di compatti di X con la propriet` a che per ogni compatto H di

X esiste n _H ∈ N tale che H ⊂ K n

H

. Provare che la compattificazione di Alexandroff

di X ` e metrizzabile.

1. Provare che uno spazio compatto e 1-numerabile ` e sequenzialmente compatto.

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 12

9 Gennaio 2014

1. Provare che uno spazio compatto e 1-numerabile ` e sequenzialmente compatto.

2. Mostrare che uno spazio metrico completo senza punti isolati ha cardinalit` a superiore al numerabile.

3. Sia f : (X, d X ) → (Y, d Y ) un’applicazione fra spazi metrici.

(a) Provare che f ` e uniformemente continua se e solo se per ogni coppia (x n ) n∈N , (x 0 n ) n∈N di successioni di X tali che d X (x n , x 0 n ) → 0 si ha d Y (f (x n ), f (x 0 n )) → 0.

(b) Dedurre che un’applicazione uniformemente continua f : X → Y si estende a un’applicazione uniformemente continua ˆ f : ˆ X → ˆ Y fra i completamenti.

4. Dimostrare che uno spazio metrico X ` e completo se e soltanto se ogni sottoinsieme infinito e totalmente limitato di X ha derivato non vuoto.

5. Provare che l’insieme R r Q dotato della topologia euclidea `e uno spazio di Baire.

6. Si doti R della topologia euclidea.

(a) Sia f : R → R una funzione. Mostrare che l’insieme dei punti di R in cui f `e continua ` e intersezione numerabile di aperti di R.

(b) Sia D un sottoinsieme denso e numerabile di R. Provare che non esiste alcuna funzione R → R che sia continua in tutti e soli i punti di D.

7. Sia X uno spazio topologico T 1 . Dimostrare che se per ogni chiuso C di X e ogni applicazione continua f : C → R esiste un’applicazione continua F : X → R tale che F | C = f allora X ` e normale.

8. Dimostrare che uno spazio topologico compatto e di Hausdorff ` e metrizzabile se e soltanto se ` e a base numerabile.

9. Sia X uno spazio metrico e sia f : X → X una isometria.

(a) Provare che se X ` e compatto allora f ` e suriettiva.

(b) Mostrare con un esempio che l’enunciato in (a) diventa falso se “compatto” ` e sostituito con “localmente compatto”.

10. Sia X uno spazio T 2 localmente compatto a base numerabile. Supponiamo che esista

una famiglia {K n } n∈N di compatti di X con la propriet` a che per ogni compatto H di

X esiste n H ∈ N tale che H ⊂ K n

. Provare che la compattificazione di Alexandroff

di X ` e metrizzabile.

3. Sia f : (X, d _X ) → (Y, d _Y ) un’applicazione fra spazi metrici.

(a) Provare che f ` e uniformemente continua se e solo se per ogni coppia (x _n ) _n∈N , (x ⁰ _n ) _n∈N di successioni di X tali che d _X (x _n , x ⁰ _n ) → 0 si ha d _Y (f (x _n ), f (x ⁰ _n )) → 0.

7. Sia X uno spazio topologico T ₁ . Dimostrare che se per ogni chiuso C di X e ogni applicazione continua f : C → R esiste un’applicazione continua F : X → R tale che F | _C = f allora X ` e normale.

10. Sia X uno spazio T ₂ localmente compatto a base numerabile. Supponiamo che esista

una famiglia {K _n } _n∈N di compatti di X con la propriet` a che per ogni compatto H di

X esiste n _H ∈ N tale che H ⊂ K n