1. Sia f : X → Y un’applicazione continua e suriettiva fra spazi topologici. Provare che se X ` e 2-numerabile allora ogni sottospazio di Y ` e separabile.

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 4

24 Ottobre 2013

1. Sia f : X → Y un’applicazione continua e suriettiva fra spazi topologici. Provare che se X ` e 2-numerabile allora ogni sottospazio di Y ` e separabile.

2. Sia τ

la topologia cofinita su N. Mostrare che la topologia prodotto τ

× τ

su N × N ` e strettamente pi` u fine della topologia cofinita su N × N.

3. Dimostrare che se uno spazio topologico X possiede un sottoinsieme D tale che D e il suo complementare X \ D sono densi in X allora X non ha punti isolati.

4. Siano X e Y spazi topologici. Provare che l’applicazione

f : X × Y −→ Y × X, (x, y) 7−→ (y, x)

` e un omeomorfismo rispetto alle topologie prodotto.

5. Sia (X, d) uno spazio metrico. Mostrare che la distanza d : X × X −→ R

` e un’applicazione continua rispetto alla topologia prodotto su X × X e alla topologia euclidea su R.

6. Sia f : X → Y un’applicazione fra spazi topologici. Si consideri il grafico di f , ossia l’insieme

Γ

:= (x, f (x)) | x ∈ X ⊂ X × Y

con la topologia ereditata dalla topologia prodotto su X × Y . Dimostrare che f ` e continua se e soltanto se l’applicazione

φ : X −→ Γ

, x 7−→ x, f (x)

` e un omeomorfismo.

7. Dimostrare che se X

, . . . , X

sono spazi topologici discreti (rispettivamente, banali) allora il prodotto topologico X

× · · · × X

` e discreto (rispettivamente, banale).

8. Provare che se uno spazio topologico X ammette una partizione {A

}

tale che (a) A

` e aperto in X per ogni i ∈ I,

(b) il sottospazio A

` e di Hausdorff per ogni i ∈ I allora X ` e di Hausdorff.

9. Siano X uno spazio di Hausdorff e A un sottospazio di X. Mostrare che se esiste

un’applicazione continua f : X → A tale che f |

= id

allora A ` e chiuso in X.