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(R) e g : R → R consideriamo il problema di Cauchy

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Academic year: 2021

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(1)

Il metodo delle caratteristiche per la legge di conservazione scalare

Dati F ∈ C

2

(R) e g : R → R consideriamo il problema di Cauchy

 u

t

+ F (u)

x

= 0 in R×]0, T [,

u = g per t = 0. (CP)

Si noti che l’equazione si pu` o riscrivere

u

t

+ F

0

(u)u

x

= 0

che ` e un’equazione del trasporto nonlineare con velocit` a di trasporto dipendente dalla soluzione. In analogia al trasporto lineare cerco traiettorie t 7→ (s(t), t) lungo le quali u sia costante. Suppongo quindi che esista una soluzione u ∈ C

1

e calcolo

d

dt u(s(t), t) = u

x

(s(t), t)s

0

(t) + u

t

(s(t), t) = 0 se s(·) risolve l’equazione differenziale ordinaria

s

0

(t) = F

0

(u(s(t), t)). (ODE)

Quindi

u(s(t), t) = cost. = u(s(0), 0) = g(s(0)) su una soluzione di (ODE), e pertanto

s

0

(t) = F

0

(g(s(0))) cio` e

s(t) = x

o

+ tF

0

(g(x

o

)), t ≥ 0.

Chiamiamo linea caratteristica che parte da x

o

tale semiretta. Abbiamo provato la seguente

Proposizione 0.1 Se u ∈ C

1

(R×]0, T [) ∩ C(R × [0, T [) risolve (CP) allora u(x, t) = g(x

o

), se x = x

o

+ tF

0

(g(x

o

)).

1

(2)

Si noti che possiamo anche scrivere

u(x, t) = g(x − tF

0

(g(x

o

))),

dalla quale si ritrova la formula nota nel caso del trasporto lineare F

0

(u) ≡ b.

Un’ulteriore formulazione ` e come problema di funzione implicita:

u = u(x, t), u − g(x − tF

0

(u)) = 0.

La formula di rappresentazione trovata fornisce una candidata soluzione di (CP) se per ogni (x, t) esiste un unico x

o

tale che

x = x

o

+ tF

0

(g(x

o

)) =: Q(x

o

; t)

e (x, t) 7→ g(x

o

) ` e C

1

. Con calcoli elementari si vede che la formula della Proposizione 0.1 definisce una soluzione di (CP) nei due seguenti casi.

Esempio 1. F

00

≥ 0, g ∈ C

1

(R) ∩ L

(R) con g

0

≥ 0, T = +∞.

Infatti la limitatezza di g e la continuit` a di F

00

e g

0

danno Q(R; t) = R per ogni t, mentre

∂Q

∂x

o

= 1 + tF

00

(g(x

o

))g

0

(x

o

) ≥ 1

assicura l’invertibilit` a di Q(·; t) con inversa C

1

. In questo caso c’` e l’esistenza globale di una soluzione classica (unica) di (CP). Infatti, usando le formule di derivazione della funzione inversa o della funzione implicita, si ottiene

u

x

(x, t) = g

0

(x

o

)

1 + tg

0

(x

o

)F

00

(g(x

o

)) , (∗) u

t

(x, t) = −g

0

(x

o

)F

0

(g(x

o

))

1 + tg

0

(x

o

)F

00

(g(x

o

)) .

Esempio 2. 0 ≤ F

00

(p) ≤ F

max00

per ogni p ∈ R, g ∈ C

1

(R) ∩ L

(R) con

−g

min0

≤ g

0

(y) < 0 per ogni y ∈ R, T = (F

max00

g

0min

)

−1

.

Ora ∂Q

∂x

o

> 0 ⇐⇒ t < −1 F

00

(g(x

o

))g

0

(x

o

)

e la disuguaglianza a destra ` e verificata per t < T . In questo caso la soluzione classica esiste solo per tempi piccoli e in seguito sviluppa singolarit` a (shock). Si noti infatti che la derivata u

x

data da (∗) diverge per t → −(F

00

(g(x

o

))g

0

(x

o

))

−1

.

Un esempio in cui lo shock si verifica esattamente al tempo T = (F

max00

g

0min

)

−1

` e l’equazione di Burger, cio` e F (u) = u

2

/2, con dato iniziale g(x) = 1 per x ≤ 0, g(x) = 1 − x per 0 ≤ x ≤ 1, g(x) = 0 per x > 1, i cui dettagli si trovano a pag. 140 del libro [E] o alle pagine 134-5 di [Sa].

2

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