Esercizio 1. Determinare c ∈ R tale che la soluzione y del problema di Cauchy

EDO 12 FEBBRAIO 2013

Esercizio 1. Determinare c ∈ R tale che la soluzione y del problema di Cauchy

 



 

y ⁰ = y ³ + t ³ e ⁴⁻

y ² t , y(1) = c

sia definita per t = e e soddisfi y(e) = 2e.

Soluzione. Possiamo precedere in due modi (simmetrici): risolvere il problema di Cauchy con dato y(1) = c e c ∈ R generico, imporre y(e) = 2e per determinare c, e verificare che con quel c l’intervallo di definizione contenga e. Oppure, possiamo risolvere il problema di Cauchy con dato y(e) = 2e, verificare che t = 1 stia nell’intervallo di definizione e calcolare c = y(1). Adottimao il secondo metodo.

L’equazione `e un’equazione omogenea ed ha senso solo se t, y 6= 0. Si trova il seguente integrale generale dell’equazione (per t > 0)

y(t) = t (log(3 log t + K) + 4) ^1/3 , t > e ^(e

^−K)/3 , K ∈ R.

I domini di definizione sono ottenuti imponendo 3 log t + K > 0 (argomento del logaritmo esterno) e log (3 log t + K) + 4) > 0 (vincolo y 6= 0 e quindi y > 0 essendo il dato y(e) = 2e positivo, e anche perch´e la radice cubica deve essere derivabile.)

Imponiamo il dato

y(e) = 2e ⇒ K = e ⁴ − 3.

La soluzione del problema di Cauchy con dato y(e) = 2e `e quindi y(t) = t ¡

log(3 log t + e ⁴ − 3) + 4 ¢ _1/3

, t > e ^(e

^−e

^+3)/3 .

Si vede che t = 1 appartiene al dominio (e ⁻⁴ − e ⁴ + 3 < 0) e quindi abbiamo c = y(1) = ¡

log(e ⁴ − 3) + 4 ¢ _1/3 .

Esercizio 2. i) Si consideri il seguente sistema autonomo bidimensionale

1

 



x ⁰ = y ³ 1 + y ⁴ , y ⁰ = −x.

Determinare eventuali punti di equilibrio, determinare un integrale primo del moto E, tracciare un grafico qualitativo delle orbite con il loro verso di percorrenza, dire se ci sono orbite periodiche, analizzare la stabilit`a degli eventuali punti di equilibrio (bastano solo considerazioni “grafiche”).

ii) Provare che l’origine `e asintoticamente stabile per il sistema

 



x ⁰ = y ³

1 + y ⁴ − x, y ⁰ = −x − y.

(Sugg. Usando l’integrale primo E trovato al punto i), determinare una funzione di Lyapunov.)

Soluzione.. i) L’unico punto di equilibrio `e (0, 0). Un integrale primo del moto `e

E(x, y) = − x ² 2 − 1

4 log(1 + y ⁴ ).

Si vede subito che l’unico punto stazionario di E `e l’origine e che `e un punto di massimo (E(0, 0) = 0 e E(x, y) < 0 se (x, y) 6= (0, 0)). Inoltre si vede che E `e coercitivo. Quindi le orbite sono orbite chiuse attorno all’origine e girano in senso orario. Sono tutte orbite periodiche e l’origine `e stabile ma non asintoticamente.

ii) Si vede che (0, 0) `e un punto di equilibrio. Se prendiamo V (x, y) = −E(x, y),

dove E `e l’integrale primo trovato per sistema al punto i), si vede facilmente (da verificare!) che V soddisfa tutte le ipotesi per essere una funzione di Lyapunov e si conclude.

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