Cir onferenza bitangente a una ubi a
Il problema
Trovare una ir onferenza tangente all'asse x e bitangentealla urva
y=x 3
3x 2
: (1)
Abbiamo due urve: la ubi a C di equazione (1) e la ir onferenza K di
equazione generi a
(x x
)
2
+y 2
2y
y=0: (2)
O orre determinare i parametri x
, y
in modo he le due urve siano tra loro
bitangenti.
Primi passi
Ilsommario del pro edimento he seguiro e il seguente. Studio il luogo dei
entri delle ir onf. tangenti alla ubi a. Il entro di una ir onf. bitangente
dev'essere un punto doppio di tale luogo.
Leintersezionisiottengonofa endosistematraledueequazioni. Eliminan-
do y si ottiene un'equazione di 6 Æ
grado per x:
x 6
6x 5
+9x 4
2y
x
3
+(6y
+1)x 2
2x
x+x
2
=0: (3)
Le6radi idi(3)(eventualmente omplesse)determinano6puntid'intersezione.
Se le due urve sono tangenti, 2 di queste intersezioni oin idono. Allora
non solo sono omuni le oordinate (x;y), maan he dy=dx. Per la (1) si ha
y 0
=3x 2
6x (4)
mentre derivando la (2) rispettoa x si trova
2(x x
)+2(y y
)y
0
=0
da ui
y 0
=
x x
y y
:
Eliminando y 0
tra questa e la (4) si ottiene
y=y
x x
3x(x 2)
: (5)
x 3
3x 2
=y
x x
3x(x 2)
3x(x 2)(x 3) 3y
x
2
+(6y
+1)x x
=0: (6)
Il luogo dei entri
Cer hiamo il luogo dei entri (x
;y
). Dalle (3), (6) si possono ottenere le
equazioni parametri he del luogo, on x ome parametro. Le ris rivo:
(x
x)
2
2x 2
(x 3)y
+x
4
(x 3) 2
=0
(x
x)+3x(x 2)y
3x
3
(x 2)(x 3)=0 (7)
ed eliminoy
:
3(x 2) x 2
x
2
+2x(x 3)(x
x) 3x 4
(x 2)(x 3) 2
=0
x
=x
x(x 3)
3(x 2)
1 p
1+9x 2
(x 2) 2
: (8)
Ri avo y
sostituendo nella (7):
3x(x 2)y
=3x 3
(x 2)(x 3) (x
x)
y
=(x 3)
x 2
+ 1
9(x 2) 2
1 p
1+9x 2
(x 2) 2
: (9)
Le (8), (9)sono le equazioni parametri hedel luogo dei entri. Cos s ritte
hanno per il difetto di una forma inde nita per x = 2 nel aso del segno .
Conviene per io distinguere: indi hero on x
p , y
p
le soluzioni ol +, on x
m ,
y
m
lealtre. Per le primerestano validele (8), (9); inve e perx
m , y
m
usero le
espressioni modi ate:
x
m
=x+ 3x
3
(x 2)(x 3)
1+ p
1+9x 2
(x 2) 2
: (10)
y
m
= x
2
(x 3) p
1+9x 2
(x 2) 2
1+ p
1+9x 2
(x 2) 2
: (11)
Il entro er atoe unpunto doppio della urva, ossia un punto per il quale
la urva ripassa due volte, on duediversi valori di x.
Eliminandox tra (3)e (6) siottiene l'equazione artesianadel luogo: un'e-
quazionealgebri af(x
;y
)digrado8, henoneil asodis rivere. Ipuntidoppi
di questa si trovano fa endo sistema tra f, f
x
;f
y
. Ho aÆdato la ri er a delle
soluzioniamaxima, he mihadato7soluzionireali ( enesonoaltre omplesse):
x
= 0:070815074496056 y
= 2:611110735006398
x
= 0 y
= 0:165993537964459
x
= 1:054794989390102 y
= 1:703218346502216
x
= 1:347125867195243 y
= 2:058191018342821
x
= 1:801552644347404 y
= 1:060217176702863
x
= 3 y
= 0
x
= 3:777507302823758 y
= 2:453472537448933
Commenti
Lasoluzione hehodatoealgebri a(nonnumeri a) noalladeterminazione
dif(x
;y
)edellederivate. In realtal'hoottenuta onmaxima, an hesesarebbe
statopossibiletrovarla on al oliamano. Solo henonsoquanto iavreimesso
e quanti erroriavreifatti:::
Come ho gia s ritto, la soluzione del sistema e numeri a e non sarebbe
stato possibile fare altrimenti. Non sono si uro, ma sembra he il grado del
sistemasia877=196. DiÆ ilevederesequal una delleequazioni sispezza,
sempli andoil al olo.
Nella gura la ubi a e nera, le ir onferenze sono aran io, tranne quella
viola he orrispondealla guradelproblema. Illuogodei entriemoltointri ato
e non l'ho studiato a fondo. Direi he onsiste didue rami, tra iati in blu e in
verde.
Ilramobluhaunnormalepuntodoppio( orrispondenteallasoluzioneviola)
edue uspidi; sembra an he avere un asintoto parallelo allabisettri e delprimo
quadrante. Le ir onf. on entronelle uspidisembrerebberoavere onla ubi a
un ontatto di ordine superiore a 2, ma non ho hiarito il punto.
Ilramoverdeha una uspide on x
=0 edepiuttoto hiaro hela ir onf.
orrispondente ha un ontatto di ordine 4 on la ubi a. Il omportamento
all'in nito di questo ramo non mi e a atto hiaro: un asintoto? due? Oppure i
rami nel se ondoquadrante si unis ono molto lontano?
x y
