∫∫∫∫∫∫∫∫ Considerando il dominio normale a x si ha : 1,20:, ≤≤−−≤≤ℜ∈= xyxxyxD con ∫∫ Calcolare l’integrale doppio

∫∫

D ₋⁻ dxdy y

x y x

2 1

2 2 2

con ^D=

{ (

^x,y

)

^{∈ℜ2: 0≤ x≤2 , − 1− x ≤ y≤x}

}

Considerando il dominio normale a x si ha :

− = + −

− + −

−

= −

−

−

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

2 _{1 1} ²₁ ^{2 2 2} ₂ ²₁ ^{2 2 2} ₃ ^{2 22} ₁ ²

2 2 2

D D

D

D dxdy

y x y dxdy x

y x y dxdy x

y x y dxdy x

y x y x

Calcolare l’integrale doppio

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ^{[ ]}

( )

2 30 4 47 3 1 4 1 3 4 8 1 2 5 1

2 4 1

3 4 2

4 5 1 1

1 1

5

2

1 3 2 4

1 2 5 1

0 2 3

5 2 4

1

2 3 2

1 2 1 3

0

2 2 3 3

2

1 2 2

1 2 1

0 2

2

1 1 2 2

1

1 1 2 1

0

1 2 1

2

1 2 1

1 2

1 2 1

1

0 2

−

= +

−

− + +

−

− +

−

=



 



 −

 +







− +

















− +

−

=

− +

−

 +







− + −

=

− +

+

−

− + +

−

−

= +

− +

−

= +

− +

−

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

^{− −}

−

−

x x x

x x dx x

x x dx x dx

x x x

dx x x dx x x

dx x x x

dx y x dx y x dx

y x dy

dx x dy dx x dy

dx

x ^x_{x x} ^x

x

x x

x

∫

^_^{ }_^{ + }_^{ }_^

γ

x dy x ey ex dx

yln y ln

dove γ è la curva chiusa che racchiude la regione

( )







 ≤ ≤ −

= y x

y x x

R 9 10

: ,

Parametrizzando le curve :

9 9 1

1 ≤ ≤







=

=

= t

y t t x

γ , 1 9

2 10 ≤ ≤





−

=

= = t

t y

t γ x

Calcolare l’integrale curvilineo

e considerando il verso di percorrenza antiorario si ha :

( ) ( )

( ) ( [ ) ( ) ] [ ( ( ) ) ]

[ ]

( ) ( )

[ ]

[ ] [ ( ) ( ) ]

[ ] [ ( ) ( ) ]

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

1

9 1

9

1

9 1

9 9

9 1 9 9

1

1 9 9

1

1 9 9

1

2 1

ln 10 10 10 10

2 10 2 10 1

ln 2 4 10 9 1

ln 18

ln 10 10 10 10

2 10 2 10 1

ln 2 4 10 9 1

ln 18

ln 10 10 10

ln 2 10 ln

18

ln 10 10 10

ln 2 10 ln

18

ln 10 10 10

ln 10 10

ln 18 2

ln 10

ln ln

10 ln 1 10

9ln

ln 10 ln 10

9 10 9ln ln 9

9

ln ln

ln ln

ln ln

2 2

2 2

1 1 2

2 2

1 9 1 9













− +

∫ −













−

− −

−

−

− +

 =













− +

∫ −













−

− −

−

−

− +

∫ − − − − =

+

−

∫ − − − − =

+

−

∫ − − + − − − =

∫ − +

∫ − − − − − − =

∫  +



 





∫  =

 



 



 



 −

−



 



 −

−

∫  +

 



 



 



− 



 





∫  =



 

 + 



 

 + 

∫ 



 

 + 



 



= 

∫ 



 

 + 



 





t t t t t dt

t t t

t t t t t dt

t t t

dt t t

t t

dt t t

t t

dt t t

t t

t dt

dt t t e t et t

t e dt

t

t dt t t e

et t t

t dt e t et t

x dy x ey ex dx

y y x dy

x ey ex dx

y y x dy

x ey ex dx

y y

γ γ

γ

( ) ( ) ( )

( )

80 9 ln 10 126

100 2 4 1

2 9 1 ln 90 9 ln 16 9 ln 18

ln 10 10 10 10

2 10 2 10 1

ln 2 4 10 9 1

ln 18

1

9 1

9 1

9

1

9 1

9

2 2

−

 =











 ∫

− −

∫ −

− + +

−

 =













− +

∫ −













−

− −

−

−

− +

t dt dt

t

t t t t t dt

t t t

(

^{sen2 cos2}

)

⁶

(

^{3 1}

)

4 ' 2

''− y = x− x − x² − x+ y

Dall’equazione caratteristica associata :

2 0 0

2

2 2 1

=

⇒ =

=

− λ

λ λ λ

per cui un integrale generale dell’equazione risulta :

( )

^x

e c c

y = ₁ + ₂ ^2x +ϕ

con

( )

^{x =a x+b x+x}

(

^{a x +b}1^x+c

)

2

2 1

cos 2

ϕ sen

Per le relative derivate :

( ) ( )

( )

_{1 1 1 1}

1 2 1 1

2 1

4 2

2 cos 4 2 sen 4 ''

2 2

sen 2 2 cos 2 '

b x a b x a x b x a x

x b x a c x b x a x b x a x

+ + + +

−

−

=

+ +

+ + +

−

=

ϕ ϕ

e sostituendo nell’equazione di partenza :

( ) ^{( )}

( )

(

^{4 4}

)

^sen2

(

^{4 4}

)

^{cos2 6}

(

^{6 4}

)

^{2 2 4}

(

^{sen2 cos2}

)

⁶

(

^{3 1}

)

1 3 6

2 cos 2 sen 4 2

3 2 sen 2 2 cos 2 2 2 6 2 cos 4 2 sen 4

2 1

1 1 2 1

2 1

2 1 1

1

+

−

−

−

=

− +

− +

− +

−

−

+

−

−

−

−

= + + +

−

− + +

−

−

x x x x

c b x b a x a x b

a x a

b

x x

x x

c x b x a x b x a b

x a x b x a

Risolvere l’equazione differenziale

dal sistema relativo si ha :















=

−

=

=

=

=

⇒















−

=

−

=

−

=

= +

=

−

0 3 1 1

0

6 2 2

18 4 6

6 6

4 4 4

4 4 4

1 1

1 1 1 1

c b a b a

c b

b a a

a b

a b

con la soluzione particolare dell’equazione :

Volendo verificare il risultato ottenuto :

6 6 2 cos 4 4

''

6 3 2 sen 2 2

'

2 2

2 2

2

− +

−

=

− +

−

=

x x e

c y

x x x e

c y

x x

da cui sostituendo nell’equazione iniziale :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

1 3 6 2 cos 2 sen 4 6 18 6

2 cos 2 sen 4 4

4

1 3 6 2 cos 2 sen 4 6 3 2 sen 2 2

2 6 6 2 cos 4 4

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

=

+

−

−

−

=

− +

−

− +

−

+

−

−

−

=

− +

−

−

− +

−

x x x x

x x

x x

e c e c

x x x x

x x x e

c x

x e

c

x x

x x

e ciò verifica la bontà del risultato.

2 3 2

2

1 c e cos2x x 3x

c

y= + ^x + + −

(

x y

)

x y

(

x y

)

f , = ln + + +

nell’insieme ^D=

{ (

^x,y

)

^{∈ℜ2 :−1≤x≤2 ,−2−x≤ y≤−x2}

}

^.

Calcolando il C.E. : x+y ≠0 ⇒ y≠−x e rappresentando graficamente l’insieme D : Determinare i massimi e i minimi della funzione

Per la definizione di valore assoluto :





−

<

−

−

−

>

⇒ +

+ x y se y x

x y se y

y x x

E quindi :

( )

( ) ( )

( ) ( )







−

<

+ +

−

−

−

>

+ + +

=

x y se y

x y x

x y se y

x y x y

x f

ln ln ,

Se ⇒ f

(

x,y

)

=ln

(

x+ y

) (

+ x+ y

)

Dalla condizione necessaria per i massimi e i minimi :

( )

( )







=

=

0 ,

0 ,

y x

y x f

y x f

{

^{1 0}

(

^{, 1}

)

0 1 1

0 1 1

−

⇒ −

= +

⇒ +















= + +

= + +

x x P y

x

y x

y x

non accettabili.

Se ⇒ f

(

x,y

)

=ln

(

−x−y

) (

+ x+ y

)

{

^{1 0}

(

^{, 1}

)

0 1 1

0 1 1

−

⇒ −

= +

⇒ +















= + +

= + +

x x P y

x

y x

y x

punti critici . x

y>−

x y<−

Esaminiamo ora i punti della frontiera ∂D.

Per con ^{⇒ f}

(

^x,y

)

^=ln

(

^x−x2

) (

^{+ x−x2}

)

( ) ( ) ^{( ) ( ) ( )}

^

 





− + +

− −

⇒ =

−

− +

= − ₂

2 2

2 1 1 '

2 2 1

' 1

x x

x x x

x f x x

x x x f

Segno :

( ) ( ) ( )

2 5 , 1

2 1 2

5 0 1

1 2

1 0

' ² +

>

<

− <

> ⇒ + +

−

⇒ −

> x x x x x

x f

Sostituendo nella funzione si ha : ln4 4 1 4 , 1 2

1 = −



 



 −

f punto di massimo.

Per con ^{⇒ f}

(

^x,y

)

^=ln

(

^−x+x2

) (

^{+ x−x2}

)

x2

y=− x

y >−

x2

y=− x

y<−

( ) ( ) ^{( ) ( ) ( )}

^

 



 +

−

−

− −

⇒ =

− + +

− +

= − ₂

2 2

2 1 1 '

2 2 1

' 1

x x

x x x

x f x x

x x x

f

Segno :

( ) ( ) ( )

2 5 1 2

, 1 2

5 0 1

1 2

1 0

' ² +

<

− <

⇒ <

>

−

−

⇒ −

> x x x x x

x f

Sostituendo nella funzione si ha :

( )

¹

2 5 , 1

2 5

1 ²

2 =−

















− −

= f − P

f punto di massimo.

( )

¹

2 5 , 1

2 5

1 ²

3 =−

















− +

= f + P

f punto di massimo.

Per con ⇒ f

(

x^,y

)

=^ln2−²

Riassumendo la funzione f

(

x,y

)

= lnx+y +x+ y assume massimi relativi nei punti 



−1 1, P

−2

−

= x x y

y<−