Verificare che la corrispondenza data in R x~y <=> x-y ∈ Z è una relazione d’equivalenza.

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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo-

sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

[…] non riesco a capire molto bene come si svolgano gli esercizi sulle classi/relazioni di equivalenza. Ad esempio un esercizio del tipo:

Verificare che la corrispondenza data in R x~y <=> x-y ∈ Z è una relazione d’equivalenza.

Lo risolverei così:

riflessiva: x~x : 1-1=0 simmetrica: x~y : […]

Allora l’esercizio chiede di verificare che la corrispondenza data nei numeri reali x~y ⇔ x-y ∈ Z (*) è una relazione d’equivalenza.

La prima proprietà da mostrare è che la corrispondenza è riflessiva, che vuol dire : se x è un numero reale ( qualsiasi ! ), allora x è in relazione con se stesso.

Sappiamo come è definita la relazione: se x-x∈Z allora x~x . Ora x-x vale zero, che appartiene a Z, quindi è vero che x~x.

La seconda proprietà da mostrare è la simmetrica, usiamo ora un po’ di più i simboli : se x, y sono due qualsiasi numeri reali e x~y allora dobbiamo provare che y~x.

Per ipotesi x~y , e per come è definita la corrispondenza ciò vuol dire che x-y ∈ Z.

La tesi è : y~x , che sarà provata se mostriamo che y-x ∈ Z .

Dall’ipotesi abbiamo x-y ∈ Z , se ora cambiamo di segno al numero x-y, abbiamo il numero

–(x-y) = -x+y = y-x che appartiene a Z, perché è l’opposto di x-y, che sappiamo essere un numero intero.

La terza proprietà è la transitiva, ora usiamo il più possibile i simboli : ipotesi : x~y, y~t , con x, y, t∈ Z

tesi: x~t

x~y ⇔ x-y ∈ Z (1) y~t ⇔ y-t ∈ Z (2)

Sommiamo le informazioni scritte a destra : (x-y)+(y-t) = x-t

Ma la somma di due numeri interi è ancora un numero intero e quindi x-t∈ Z che equivale a x~t , la tesi è così provata.

1. D OMANDA S ULLE R ELAZIONI D’E QUIVALENZA : L’

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)

P

S

D

11.01.2007

x-y ∈ Z per (1)

y-t ∈ Z per (2)

R R I IS SP PO OS ST TA A Deve usare correttamente i simboli e non fare esempi perché si

deve provare che la proprietà è vera per tutti i numeri interi e

non per qualche numero intero a caso.

2 [… ] per quanto riguarda la determinazione delle classi di equivalenza …

Data la relazione d’equivalenza in R: x~y <=> x-y ∈ Z determinare la classe di equivalenza di π (pigreco).

¾ Scriverei:

La classe di equivalenza di π è { x ∈ A | x ~ π }

pero' ho visto che molti la svolgono ancora, ma non so come.

¾ […] Io ho risposto dicendo che in Z non vi sono due numeri che sottratti diano come risultato pigreco.

Ho sbagliato??

2. D OMANDA S ULLE R ELAZIONI D’E QUIVALENZA : L

R R I IS SP PO OS ST TA A La domanda si riferisce al quesito della Prova Scritta Del 11.01.2007 : 3b) Determinare la classe di π ( vedi domanda precedente ! ).

La classe di π è per definizione l’insieme {x∈R | x~ π }

= {x∈R | x-π ∈ Z } ( abbiamo usato la definizione(*): In R x~y ⇔ x-y∈ Z )

= {x∈R | x-π =n , con n ∈ Z }

= {x∈R | x= π + n , con n ∈ Z } Finito !

Per capire meglio : la classe di π è quindi l’insieme di tutti i numeri reali del tipo π + n , con n ∈ Z

( ad esempio π, π+1, π-3, π+10.002, etc. sono tutti numeri che appartengono alla classe di π).

Sì ha sbagliato purtroppo, perchè la relazione è data in R e NON in Z !

Quindi … veda sopra per la soluzione corretta.

R R I IS SP PO OS ST TA A

3 […] ex.3 b) del compito scritto: non riesco a capire cosa devo fare, non credo di aver capito neanche bene la classe. me la potrebbe spiegare?

ex.3 b): data la relazione d'equivalenza in R^2 (x,y)~(z,w) <=> 2(x-z)=4(y-w)

trovare la classe di (1,0).

[…]ho un piccolo dubbio sulla prima relazione da verificare come d'equivalenza del settimo foglio di Esercizi ( http://www.dima.unige.it/~baratter/fogliex05.pdf : pagine 11-12 )

1.a) in Z x~y <=> x=y oppure x=-y

La mia risposta è che siccome la relazione è riscrivibile come in Z x~y <=> x=|y|

ho risposto che non è d'equivalenza, non verificandosi la proprietà simmetrica, ma quando ho letto sulle risposte che la relazione è riscrivibile come

in Z x~y <=> |x|=|y|

non ho capito bene in base a che cosa sia possibile mettere la x in modulo, visto che x=|y| vuol dire che x=y oppure x=-y, da cui si deduce che x=|y| è equivalente alla definizione della relazione.

4. D OMANDA S ULLE R ELAZIONI D’E QUIVALENZA : R ELAZIONI D ’E QUIVALENZA E V ALORE A SSOLUTO

R R I IS SP PO OS ST TA A Se lei scrive: in Z x~y <=> x=|y|

avrebbe che |y| è sempre positivo o nullo per definizione di valore assoluto e quindi anche x risulta essere positivo o nullo ! Ma allora x sarebbe un numero naturale e non assumerebbe mai valore negativo, mentre la relazione è data su Z !

E su Z si ha |x|=|y| <=> x=y oppure x=-y ( basta fare i 4 casi del segno di x ed y per convincersene ).

3. D OMANDA S ULLE R ELAZIONI D’E QUIVALENZA : ANCORA SULLA DETERMINAZIONE DELLA CLASSE

R R I IS SP PO OS ST TA A La classe di (1,0) è l'insieme di tutti gli elementi di R^2 che sono equivalenti all'elemento (1,0) . Quindi in simboli: classe di (1,0)

= {(x,y) di R^2 | (x,y)~(1,0)}

= {(x,y) di R^2 | 2(x-1)=4(y-0)}

={(x,y) di R^2 | 2x-4y-2=0}

={(x,(1-x)/2) | x appartiene ad R}

In pratica, in questo caso, si può interpretare geometricamente la situazione.

Secondo la relazione d'equivalenza data , la classe dell'elemento (1,0) è la retta di equazione 2x-4y-2=0 , ossia l'insieme dei punti le cui coordinate sono appunto (x,(1-x)/2).

Spero le sia chiaro 'il meccanismo' per trovare la classe di un elemento. Si

inizia scrivendo la definizione, si sostituiscono i dati della rel. eq. data e si

esplicita la proprietà degli elementi dell'insieme con 'qualche' passaggio,

se occorre.

4 Ho un dubbio sull’esercizio:

Stabilire se la seguente relazione in N* è riflessiva, simmetrica.

a~b ⇔ a divide a+b Che procedimento devo seguire?

5. D OMANDA S U UNA CORRISPONDENZA : in N* a~b ⇔ a divide a+b

R R I IS SP PO OS ST TA A Deve partire dalle definizioni.

La relazione ~ è riflessiva se a~a per ogni a∈ N*.

Secondo la definizione data a~a se e solo se a divide a+a ; ciò è vero perché a divide 2a (=a+a ).

La relazione è simmetrica se a~b ⇒ b~a per ogni a, b ∈ N*.

Consideri l’esempio in cui a=1, b=1:

a divide a+b perché 1 divide 2 , quindi a~b Ora vuol vedere se è vero che b~a.

Deve controllare se b divide b+a . Ma ciò è falso perché 1 non

divide 2 in N* !!