Breve dispensa su massa e spin di un sistema legato C.d.L. in Fisica – Corso di Fisica nucleare e subnucleare
Prof. Andrea Bizzeti – 9 marzo 2009
Molti sistemi fisici possono essere studiati considerandoli composti da un certo numero di “costituenti”, completamente definiti (per quanto riguarda il loro comportamento nel sistema) da un piccolo numero di grandezze fisiche (p.es. massa, posizione, velocit`a, momento angolare intrinseco). I costituenti vengono trattati come oggetti elementari, disinteressandoci della loro eventuale struttura interna.
Il sistema fisico studiato, a sua volta, pu`o essere un costituente di un sistema pi`u grande, ed in tale contesto esso sar`a descritto da un piccolo numero di grandezze fisiche. Alcuni esempi:
• il sistema solare, composto da sole e pianeti (ciascun pianeta pu`o essere considerato assieme ai suoi satelliti come un costituente) `e uno dei costituenti della nostra galassia;
• una molecola, composta da atomi, `e un costituente della materia;
• il nucleo atomico, composto da protoni e neutroni, `e un costituente dell’atomo.
Si pone quindi il problema di determinare le grandezze fisiche che caratterizzano il nostro sistema quando lo vogliamo considerare complessivamente come un unico oggetto.
Tratteremo qui, in particolare, della massa e del momento angolare intrinseco (o “spin”) del sistema.
La massa M di un sistema `e un invariante relativistico cos`ı definito:
M c2 = q
ET ot2 − | ~PT ot|2c2 (1)
dove ET ot `e l’energia totale (relativistica) del sistema e PT ot la sua quantit`a di moto totale.
In particolare, nel sistema di riferimento “del centro di massa” (che utilizzeremo d’ora in avanti), definito come il s.d.r. in cui ~PT ot = 0, si ha M c2 = ET ot.
L’energia totale di un sistema composto da n costituenti si ottiene sommando all’energia potenziale del sistema le energie di riposo e cinetiche dei costituenti:
ET ot =
n
X
i=1
mic2+
n
X
i=1
Ec i+ U (~x1, . . . ~xn) (2)
con U (~x1, . . . ~xn) → 0 se i costituenti vengono allontanati a distanza molto grande ( |~xi − ~xj| → ∞ per ogni i 6= j ).
In un sistema legato la somma di energia potenziale ed energia cinetica risulta negativa. Il suo opposto B ≡ −Pni=1Ec i− U (~x1, . . . ~xn) viene chiamato energia di legame (B > 0 per un sistema legato).
L’energia di legame corrisponde al lavoro che `e necessario compiere sul sistema per separare i costituenti portandoli a distanza infinita tra loro, con velocit`a finale nulla1. La massa del sistema risulta:
M ≡ 1
c2ET ot( ~PT ot = 0) =
n
X
i=1
mi− 1
c2B . (3)
In moltissimi casi il contributo dell’energia di legame alla massa del sistema risulta molto piccolo: ad esempio, nell’atomo di idrogeno B/M c2 ≈ 1, 4 · 10−8. Nei nuclei atomici, invece, l’energia di legame contribuisce in misura non trascurabile alla massa nucleare: B/M c2≈ 8 · 10−3.
Il momento angolare intrinseco (spin) del sistema (considerato come un unico oggetto) `e pari al suo momento angolare totale nel s.d.r. “del centro di massa”:
S~Sistema≡ ~J( ~PT ot= 0) =
n
X
i=1
~i =
n
X
i=1
~li+ ~si . (4)
1In alcuni sistemi, tra cui la maggior parte dei nuclei, la separazione dei costituenti `e ostacolata da una barriera di potenziale: in questo caso, per separare i costituenti occorre fornire una energia decisamente superiore all’energia di legame. La differenza tra energia fornita al sistema ed energia di legame sar`a presente nello stato finale (costituenti isolati a grande distanza tra loro) sotto forma di energia cinetica.
