Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari
Nucleo e immagine – iniettivit` a e surgettivit` a
Anna M. Bigatti 25 febbraio 2013
Esercizio 1. Sia ϕ : R3−→R4, ϕ(v) = (3v1+ v2+ 5v3, 2v1− v2, 4v1, 2v2+ 4v3) (a) Trovare un elemento del nucleo di ϕ ;
(b) Descrivere il nucleo;
(c) Trovare una base del nucleo;
(d) Determinare la dimensione del nucleo;
(e) Trovare un elemento dell’immagine di ϕ ; (f) Descrivere l’immagine;
(g) Trovare una base dell’immagine;
(h) Determinare la dimensione dell’immagine;
(i) Determinare il rango di Mϕ(E)E .
Definizione 2. Ricordiamo queste definizioni basilari. Data una funzione (qualunque) f : A−→B diciamo che:
• f `e iniettiva se f (a1) = f (a2) implica a1= a2
(equivalentemente: se ∀b ∈ B f−1(b) contiene al pi`u un elemento)
• f `e surgettiva se ∀b ∈ B ∃ a ∈ A tale che f (a) = b
(equivalentemente: se ∀b ∈ B f−1(b) contiene almeno un elemento, cio`e f−1(b) 6= ∅ )
• f `e bigettiva se `e iniettiva e surgettiva
(equivalentemente: se ∀b ∈ B f−1(b) contiene esattamente un elemento)
Esercizio 3. Sia ϕ : U −→V una funzione lineare; ϕ `e iniettiva se e solo se Ker(ϕ) = {0U} Esercizio 4. Esiste ϕ : R2−→R2 una funzione lineare che soddisfi f (1, 2) = (1, 2) , f (1, 3) = (1, 0) , f (0, 1) = (1, 1) ?
Esercizio 5. Sia ϕ : R3−→R2 una funzione lineare tale che f (1, 1, 1) = (0, 1) , f (1, 0, 1) = (0, 1) , f (1, 0, 0) = (1, −1) . E’ iniettiva? E’ surgettiva?
Soluzione
Siano u1= (1, 1, 1), u2= (1, 0, 1), u3= (1, 0, 0) .
Prima di tutto osserviamo che (u1, u2, u3) formano una base e quindi f `e ben definita.
Ora vediamo come si applicano le definizioni:
f non `e iniettiva perch`e u16= u2 e f (u1) = f (u2) .
f `e surgettiva perch`e ∀(x, y) ∈ R2 abbiamo che (x, y) = x(1, −1) + (x + y)(0, 1) e quindi (x, y) = xf (u3) + (x + y)f (u2) = f (xu3+ (x + y)u2) .
Per esempio (7, 18) `e l’immagine di 7u3+ 25u2= (32, 0, 25) ut
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Esercizio 6. Sia ϕ : R3−→R una funzione lineare definita da f(x, y, z) = 3x − 2y +z2. E’
iniettiva? E’ surgettiva?
Esercizio 7. Sia ϕ : R3−→R4 una funzione lineare tale che f (1, 1, 1) = (0, 1, 0, 1) , f (1, 0, 1) = (0, 0, 2, 1) , f (1, 0, 0) = (1, −1, 0, 0) . E’ iniettiva? E’ surgettiva?
Esercizio 8. Sia ϕ : R3−→R3 l’applicazione lineare definita da ϕ(x, y, z) = (x − y, x + y + 2z, −x − z) (a) Determinare una base e la dimensione di Ker(ϕ) e Im(ϕ) . (b) Dire se ϕ `e iniettiva, surgettiva, bigettiva.
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