Esercizi di Algebra Lineare Autospazi ortogonali
22 aprile 2013
1 Similitudini e propriet` a
Ricordiamo queste propriet`a:
Propriet`a per matrici simmetriche
(a) Il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale ha tutte radici reali.
(b) L’autospazio di un autovalore λ ha dimensione uguale alla molteplicit`a di λ . (c) Gli autospazi di una matrice simmetrica sono a due a due ortogonali.
(d) Ogni matrice simmetrica reale `e diagonalizzabile mediante un cambio di base ortonormale (D = P−1· A · P = Ptr· A · P ).
2 Matrici simmetriche
E’ possibile trovare una base ortonormale di autovettori per una data matrice A ? In generale no, ma se A `e simmetrica e reale, allora gli autospazi risultano di dimensione uguale alla molteplicit`a degli autovalori e ortogonali tra di loro.
Quindi dovremo:
(a) Calcolare gli autovalori
(b) Per ogni autovalore calcolare una base del suo autospazio (la cui dimensione `e uguale alla molteplicit`a dell’autovalore)
(c) Per ogni autovalore ortogonalizzare la base (se necessario) e poi normalizzarne i vettori.
L’insieme degli autovettori cos`ı ottenuti `e quindi una base ortonormale.
Esercizio 1 Diagonalizzare A =
1 1 0
1 −2 3
0 3 1
tramite un cambio di base ortonormale.
Soluzione A `e una matrice simmetrica, quindi `e possibile trovare una base ortonormale di autovettori.
R ::= QQ[x];
Use R;
A := Mat(R, [[1, 1, 0], [1, -2, 3], [0, 3, 1]]);
D := Det(A - x*IdentityMat(R,3)); D; --> -x^3 + 13*x - 12 Factor(D); --> [x +4, x -1, x -3]
1
Quindi gli autovalori sono 3 , 1 e −4 .
• Calcoliamo una base ortogonale dell’autospazio per 3 :
Risolviamo il sistema (A − 3 · I) · MvE = 0 e otteniamo la soluzione generale: (t, 2t, 3t) , quindi una base ortogonale di V3 `e {(1, 2, 3)} . [Verificare]
• Calcolare una base ortogonale dell’autospazio V1 (di dimensione 1) [ (−3, 0, 1) ]
• Calcolare una base ortogonale dell’autospazio V−4 (di dimensione 1) [ (−1, 5, −3) ]
• Costruire la matrice MFE che, per costruzione, `e ortonormale [Verificare], e quindi l’inversa
`
e uguale alla trasposta.
• Costruire la matrice D = Mϕ(F )F (con gli autovalori sulla diagonale)
• Mostrare la similitudine ricordando che
E Mϕ(E)E E
R3 −→ R3
Mid(F )E ↑ ↓ Mid(E)F
R3 −→ R3
F Mϕ(F )F F cio`e Mϕ(F )F = MEF Mϕ(E)E MFE e quindi D = (MFE)trA MFE
Per esercizio: completare! ut
Esercizio 2 Sia E la base canonica di R3 e sia f : R3−→R3 l’applicazione lineare tale che
Mf (E)E =
1 −1 1
−1 1 −1
1 −1 1
(a) Calcolare f (1, 0, −1) e f (1, −1, 1) .
(b) Determinare una base di Ker(f ) e una base di Im(f ) .
(c) Trovare gli autovalori e gli autospazi di f e stabilire se f `e diagonalizzabile.
(d) Se possibile, diagonalizzare ϕ tramite un cambio di base ortonormale G . Soluzione
(a) Calcolare f (1, 0, −1) e f (1, −1, 1) . f (1, 0, −1) = f (e1) − f (e3) = (0, 0, 0)
f (1, −1, 1) = f (e1) − f (e2) + f (e3) = (3, −3, 3)
(b) Determinare una base di Ker(f ) e una base di Im(f ) . f (1, 0, −1) = f (e1) − f (e3) = (0, 0, 0)
f (0, 1, 1) = f (e2) + f (e3) = (0, 0, 0)
f (1, −1, 1) = f (e1) − f (e2) + f (e3) = (3, −3, 3)
Allora ker(f ) =< (1, 0, −1), (0, 1, 1) > e Im(f ) =< (1, −1, 1) >
(c) Trovare gli autovalori e gli autospazi di f e stabilire se f `e diagonalizzabile.
Dal punto precedente abbiamo che 0 e 3 sono autovalori e gli autospazi sono V0 =<
(1, 0, −1), (0, 1, 1) > e V3=< (1, −1, 1) > da cui ((1, 0, −1), (0, 1, 1), (1, −1, 1)) `e base di R3 autovettori, quindi f `e diagonalizzabile.
(d) Se possibile, diagonalizzare f tramite un cambio di base ortonormale G . E possibile perch´` e Mf (E)E `e simmetrica.
Cerco una base ortogonale di V0 con l’algoritmo di Gram-Schmidt:
g1=
√2
2 (1, 0, −1) ,
g20 = (0, 1, 1) − pg1(0, 1, 1) = (0, 1, 1) +12(1, 0, −1) = (12, 1,12) , allora g2=
√6
6 (1, 2, 1) .
2
Verifico che V3⊥ V0 e scrivo g3=
√ 3
3 (1, −1, 1) Scrivo MGE =
√2 2
√6 6
√3 3
0
√6
3 −
√3 3
−
√2 2
√6 6
√3 3
Concludo Mf (G)G = MEGMf (E)E MGE e quindi D = (MGE)trA MGE
0 0 0 0 0 0 0 0 3
=
√2
2 0 −
√2
√ 2 6 6
√6
3 −
√6
√ 6 3
3 −
√3 3
√3 3
1 −1 1
−1 1 −1
1 −1 1
√2 2
√6 6
√3 3
0
√6
3 −
√3 3
−
√2 2
√6 6
√3 3
u t
3
