Dynamic, è una tecnica che permette la soluzione di problemi fluidodinamici

Introduzione

La fluidodinamica computazionale, in inglese C.F.D.

Dynamic, è una tecnica che permette la soluzione di problemi fluidodinamici

computer. La disciplina si è sviluppata nei primi anni 70 in seguito allo sviluppo dei primi calcolatori elettronici. I problemi che possono essere analizzati sono di varia natura e coinvolgono sistemi fluidi inerenti problematiche ri

reazioni chimiche. Infatti le equazioni differenziali problemi solo in alcune casi presentano

parte delle situazioni, devono essere risolte numericamente.

Modello fisico

Il primo passo da affrontare per una simulazione numerica consiste nel semplificare un modello reale traducendolo in un modello

approssimano la situazione reale che si vuole analizzare.

necessario adottare il modello più semplice che si riesce ad ottenere caratterizzato però da risultati validi. Una volta terminata tale fase

si può passare al passo successivo rappresentato dal modello matematico.

Modello matematico

I problemi inerenti i sistemi continui

bilancio delle varie quantità fisiche coinvolte nei processi.

quantità fisica φ risulta pari a:

in cui u =(u,v,w) rappresenta la velocità del fluido

capacità di tale formulazione consiste nel poter esprimere il bilancio per qualunque grandezza fisica di interesse: φ deve essere una variabile dipendente trasferita al fluido e

una componente di velocità ,una frazione massica, una te termine che compare nella relazione S

viene creata o distrutta nell'unità di volume.

di quattro termini che sono rispettivamente il termine non stazionario, il termine convettivo, il termine diffusivo ed il termine di sorgente: in particolare quest'ultimo può comprendere anche termini che non rientrino nei termini convettivi o diffusivi

componente della velocità, ad esempio la componente lungo l'asse x indicata con u, si ottiene la seguente equazione:

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La fluidodinamica computazionale, in inglese C.F.D. acronimo di Computational Fluid , è una tecnica che permette la soluzione di problemi fluidodinamici

computer. La disciplina si è sviluppata nei primi anni 70 in seguito allo sviluppo dei primi I problemi che possono essere analizzati sono di varia natura e coinvolgono problematiche riguardanti flussi di massa, scambi di calore, moti turbolenti

e equazioni differenziali a derivate parziali che caratterizzano tali presentano soluzioni gestibili analiticamente, e perciò

devono essere risolte numericamente.

Il primo passo da affrontare per una simulazione numerica consiste nel semplificare un modello in un modello fisico caratterizzato da precise condizioni al

approssimano la situazione reale che si vuole analizzare. In questa fase preliminare sarebbe necessario adottare il modello più semplice che si riesce ad ottenere caratterizzato però da

Una volta terminata tale fase, che si conclude con l'introduzione del modello fisico, si può passare al passo successivo rappresentato dal modello matematico.

I problemi inerenti i sistemi continui, e dunque anche i fluidi, sono caratterizzati da equazioni di varie quantità fisiche coinvolte nei processi. L'equazione di bilancio per la generica

=(u,v,w) rappresenta la velocità del fluido, ρ la densità e il coefficiente di diffusione. Г capacità di tale formulazione consiste nel poter esprimere il bilancio per qualunque grandezza

deve essere una variabile dipendente trasferita al fluido e una componente di velocità ,una frazione massica, una temperatura oppure

termine che compare nella relazione S

rappresenta il tasso con cui la particolare grandezza viene creata o distrutta nell'unità di volume. La particolare forma dell'equazione

che sono rispettivamente il termine non stazionario, il termine convettivo, il termine diffusivo ed il termine di sorgente: in particolare quest'ultimo può comprendere anche termini che non rientrino nei termini convettivi o diffusivi. Applicando tale rela

componente della velocità, ad esempio la componente lungo l'asse x indicata con u, si ottiene la acronimo di Computational Fluid , è una tecnica che permette la soluzione di problemi fluidodinamici attraverso l'uso del computer. La disciplina si è sviluppata nei primi anni 70 in seguito allo sviluppo dei primi I problemi che possono essere analizzati sono di varia natura e coinvolgono

flussi di massa, scambi di calore, moti turbolenti e he caratterizzano tali e perciò, nella maggior

Il primo passo da affrontare per una simulazione numerica consiste nel semplificare un modello fisico caratterizzato da precise condizioni al contorno che In questa fase preliminare sarebbe necessario adottare il modello più semplice che si riesce ad ottenere caratterizzato però da

conclude con l'introduzione del modello fisico,

sono caratterizzati da equazioni di L'equazione di bilancio per la generica

il coefficiente di diffusione. La

capacità di tale formulazione consiste nel poter esprimere il bilancio per qualunque grandezza

deve essere una variabile dipendente trasferita al fluido e può rappresentare

mperatura oppure l'entalpia: l'ultimo

la particolare grandezza φ

La particolare forma dell'equazione rivela la presenza

che sono rispettivamente il termine non stazionario, il termine convettivo, il

termine diffusivo ed il termine di sorgente: in particolare quest'ultimo può comprendere anche

. Applicando tale relazione ad una

componente della velocità, ad esempio la componente lungo l'asse x indicata con u, si ottiene la

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è bene notare che in questo caso il termine di pressione non viene inserito nel termine di sorgente perché la pressione, così come la velocità, è una variabile dipendente. Per ogni grandezza fisica φ i termini Г  e S

assumono determinati significati riepilogati nelle tabella seguente:

Digitare l'equazione qui.

la tabella riassume le principali quantità da inserire nell'equazione generalizzata: q'' indica il flusso termico,  è il tensore degli sforzi,f rappresenta le forze di massa, T la temperatura, q''' la potenza termica volumetrica e ϕ il termine di dissipazione.

Trattandosi di equazioni alle derivate parziali è necessario introdurre anche delle condizioni iniziali e delle condizioni al contorno che dovranno essere assegnate in modo opportuno per rispettare il problema reale e per rendere il modello matematico ben posto. In generale si possono avere tre tipi di contorno:

• contorni senza passaggio di flusso;

• contorni con flusso di fluido in ingresso;

• contorni con flusso di fluido in uscita.

Per ogni tipologia di contorno è necessario specificare opportune condizioni. I contorni senza passaggio di flusso, ad esempio le superfici impermeabili alla massa, richiedono relazioni del tipo seguente:

in cui n è la normale al contorno. Imponendo A=1 e B=0 si ottengono le condizioni di prima specie,

mentre scegliendo A=0 e B=1 si ricavano le condizioni di seconda specie. Nel primo caso si

specifica quindi il valore della grandezza φ sulla parete, mentre nel secondo caso si definisce il

valore del flusso diffusivo sulla frontiera. Riguardo invece alle condizioni da impiegare nel caso di

contorni interessati da flusso entrante, è necessario definire tutti i valori di φ eccetto la pressione

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nel caso di moti subsonici. Infine in quei contorni in cui il fluido abbandona il dominio in analisi, i valori di φ risultano sconosciuti: in tal caso vengono si assegnano le seguenti condizioni al contorno imponendo che la derivata nella direzione della corrente dia nulla. Per problemi stazionari si assegna:

mentre per problemi a carattere transitorio si preferisce usare anzi la seguente condizione che risulta più soddisfacente:

in cui u

è una velocità che ha il compito di soddisfare il bilancio di massa. La condizione che invece deve essere specificate per la pressione è la seguente:

e deve essere applicata a tutto il contorno del modello; inoltre, per ottenere una soluzione unica è necessario definire anche il valore della pressione in un punto. Infine le condizioni iniziali vengono stabilite nel seguente modo:

Il modello matematico per essere completo necessita poi di ulteriori relazioni che mettano in relazione diverse grandezze: infatti, proprietà quali la conducibilità, la viscosità ed il calore specifico risultano essere funzione di pressione temperatura e, in alcuni casi, anche della composizione. Le relazioni costitutive, che possono essere dedotte anche dall'esperienza, forniscono tali legami completando così il modello matematico.

Modello numerico

Per poter risolvere numericamente le equazioni di bilancio, è necessario dividere il dominio di calcolo in sottodomini che potranno essere successivamente trattati come volumi, se si impiega un metodo a volumi di controllo, oppure come elementi se si adotta un metodo ad elementi finiti. Il dominio viene quindi discretizzato in unità più piccole attraverso una griglia. In generale vengono adottate due tipi di griglie in relazione al dominio di calcolo introdotto:

• griglie strutturate;

• griglie non strutturate.

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Le griglie strutturate facilitano la programmazione dell'algoritmo di calcolo, perché ogni sottodominio è identificato da tre indici i,j,k, ma hanno il difetto di adattarsi solamente a geometrie molto semplici; al contrario le griglie non strutturate sono più complicate, ma permettono di adattarsi a geometrie complesse. Nella tecnica agli elementi finiti la soluzione viene ricercata come combinazione lineare di funzioni di tentativo, solitamente polinomi di basso grado, che compongono una base conveniente di funzioni; ogni funzione di tentativo è definita su singoli elementi contigui appartenenti alla griglia. Nell'approccio a volumi finiti, invece, ogni singola equazione di bilancio, dopo essere stata posta in forma integrale, viene applicata ad ogni sottodominio ottenuto dalla discretizzazione. In tale formulazione le quantità scalari vengono definite al centro del centro del volume di controllo, detto anche punto nodale, mentre le quantità vettoriali, quali le tre componenti della velocità che compaiono nel bilancio di quantità di moto, vengono definite sui contorni di ogni singolo volumetto. Una griglia così organizzata viene chiamata staggered mesh e permette di evitare alcuni problemi di convergenza legati al forte accoppiamento tra pressione e velocità e di definire le varie grandezze in quelle parti del singolo volume elementare in cui effettivamente sono localizzate. L'uso di griglie staggered impone di usare, per la soluzione delle equazioni di bilancio ed energia, volumi differenti dai quelli impiegati per la soluzione delle equazioni di quantità di moto.

Discretizzazione delle equazioni del modello matematico

Nel metodo ai volumi finiti le equazioni di bilancio vengono applicate in forma integrale ad ogni singolo volume secondo la seguente forma:

che, mediante il teorema della divergenza, viene trasformata successivamente in:

Adesso ogni termine presente nel bilancio può essere opportunamente discretizzato secondo diverse tecniche matematiche con l'intento di ottenere diverse approssimazioni, ed originare così diversi schemi numerici. Le derivate vengono sostituite con opportuni rapporti tra differenze della funzione e delle coordinate. L'approssimazione a differenze finite può condurre poi a due tipi di schemi numerici:

• schemi espliciti;

• schemi impliciti.

Gli schemi espliciti consentono di determinare il valore delle variabili al passo temporale attuale

calcolandoli esplicitamente sulla base di quelli noti al passo precedente, mentre gli schemi impliciti

permettono il calcolo delle variabili al passo attuale, basandosi sull'impiego di equazioni

contenenti variabili valutate al passo attuale.

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Il termine transitorio, ad esempio, può essere approssimato attraverso tre metodi differenti:

• metodo di Eulero esplicito;

• metodo di Eulero implicito;

• metodo di Crank-Nicholson.

I tre metodi possono poi essere riassunti attraverso la relazione seguente:

in cui ponendo θ=0 si ricava il metodo di Eulero esplicito, mentre per θ=1 si ottiene il metodo di Eulero implicito; infine per θ=1/2 si ottiene il metodo di Crank-Nicholson che risulta essere l'approssimazione migliore rispetto alle precedenti. L'approssimazione dei termini convettivi viene effettuata in questo modo:

in cui i termini a secondo membro rappresentano delle relazioni che dipendono dal valore della grandezza Φ valutata sulle differenti superfici del singolo volumetto, mentre F rappresenta la funzione che approssima i flussi convettivi:

Successivamente, si possono ottenere diversi schemi numerici valutando Φ attraverso diverse approssimazioni. Solitamente i metodi adottati sono:

• schema upwind;

• differenze centrali;

• schema ibrido;

• QUICK.

Tali metodi stimano dunque il valore della variabile d'interesse nella faccia del volume di controllo

in esame, mediante differenti approssimazioni che possono anche coinvolgere i valori di Φ

valutati nelle superfici dei volumi adiacenti al volume in esame. I termini diffusivi vengono trattati

secondo queste approssimazioni:

41 in cui:

Anche in questo termini compare il fattore d'interpolazione tra diversi volumi adiacenti rappresentato da:

Il termine di sorgente, infine, nei casi in cui viene a dipendere dalla variabile Φ, può essere discretizzato in modo da accelerare la convergenza del metodo iterativo: una tale idea può essere realizzata soltanto se si ipotizza un legame lineare tra Φ ed il termine di sorgente cosicché si possano applicare le tecniche per la soluzione delle equazioni algebriche lineari. Una forma linearizzata che viene applicata è la seguente:

in cui i termini a secondo membro in parentesi tonda possono dipendere da Φ. Per arrivare alla risoluzione diviene necessario sostituire all'interno dell'equazione di bilancio i vari termini discretizzati e, avvalendosi dell'equazione di continuità di massa, si ottengono, in funzione dei diversi metodi di approssimazione impiegati, delle relazioni matematiche che legano il valore di Φ in un determinato punto, con i valori di Φ valutati nei punti vicini al punto considerato. Nelle equazioni della quantità di moto il gradiente di pressione discretizzato viene riportato esplicitamente a causa del forte accoppiamento tra pressione e velocità che a volte implica problemi di convergenza. Il processo di discretizzazione non interessa solo le equazioni ma anche le condizioni al contorno. Scrivendo le diverse equazioni di bilancio nella forma discretizzata per ogni volume che compone il dominio fisico, si ottiene un sistema numerico che può essere risolto attraverso metodi iterativi.

Proprietà degli schemi numerici

Gli schemi numerici per essere validi devono possedere determinate proprietà che sono:

• convergenza;

• consistenza;

• stabilità.

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La convergenza assicura che la soluzione fornita dal metodo numerico tenda alla soluzione esatta del problema differenziale nel limite dei piccoli incrementi spaziali e temporali; la consistenza garantisce che le equazioni discretizzate tendano, nel limite di piccoli incrementi spaziali e temporali, a quelle differenziali di partenza. Attraverso la consistenza, quindi, il metodo numerico è realmente un'approssimazione del problema differenziale. L'ultima proprietà è la stabilità che impone al metodo numerico di non amplificare gli errori generati durante le varie iterazioni a causa di errori d'arrotondamento e di troncamento, in modo tale da non allontanare la soluzione approssimata da quella esatta. Le tre proprietà sono legate tra loro dal teorema di Lax che stabilisce:

Dato un problema lineare alle derivate parziali ben posto ed una sua approssimazione alle differenze finite che soddisfi alla condizione di consistenza, la stabilità è la condizione necessaria e sufficiente alla convergenza.

Il problema è ben posto se:

• la soluzione esiste ed è unica;

• la soluzione dipende in modo continuo dalle condizioni iniziali;

• la soluzione esiste sempre per condizioni iniziali che sono arbitrariamente vicine a dati per i quali la situazione non esiste.

Infine uno schema numerico deve possedere un'altra proprietà: la conservatività. Tale proprietà

impone allo schema numerico di conservare esattamente alcune quantità fisiche

indipendentemente dagli incrementi temporali e spazialo adottati: insomma il metodo anche se

convergente deve condurre effettivamente a bilanci delle varie grandezze.

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Lo schema a blocchi che rappresenta il metodo risolutivo delle equazioni di bilancio è rappresentato di seguito: