LICEO SCIENTIFICO STATALE P. GOBETTI a. s classe: 2^A. Materia: MATEMATICA PROGRAMMA SVOLTO

LICEO SCIENTIFICO STATALE “P. GOBETTI”

a. s. 2015-16 classe: 2^A

Docente: prof.ssa LABASIN Sara Materia: MATEMATICA

PROGRAMMA SVOLTO

In riferimento ai Curricula generali di Matematica redatti dal Dipartimento di Istituto per le classi seconde, gli argomenti trattati sono stati i seguenti:

ARITMETICA E ALGEBRA Calcolo con le lettere

 Ripasso della divisione dei polinomi

 Teorema del resto e suo utilizzo per la fattorizzazione dei polinomi

Numeri reali e radicali

• L'insieme R e le sue caratteristiche.

• I numeri irrazionali

• Dimostrazione irrazionalità di √(2)

• Irrazionalità e incommensurabilità

• Costruzione di segmenti di lunghezza irrazionale.

• La radice n-esima di un numero reale.

• Proprietà dei radicali.

• Operazioni con i radicali.

• Semplificazione di espressioni contenenti radicali.

• Razionalizzazione del denominatore di una frazione.

• Potenze ad esponente razionale.

GEOMETRIA

Circonferenza e cerchio

• Circonferenza come luogo geometrico.

• Elementi della circonferenza

• Angoli al centro e alla circonferenza

• Poligoni inscritti e circoscritti.

• Rette secanti e tangenti.

• I punti notevoli di un triangolo.

Estensione ed estensione di figure piane.

• Estensione ed equiscomponibilità

• Figure equivalenti

• I triangoli e l'equivalenza.

• I teoremi di Euclide e Pitagora

• Risoluzione algebrica di problemi geometrici.

• Commensurabilità e incommensurabilità.

• I rapporti tra grandezze.

• Il teorema di Talete.

Omotetia e similitudine

• Omotetia

• Omotetia nel piano cartesiano

• La similitudine di figure piane.

• I criteri di similitudine

• La similitudine nella circonferenza Cenni di trigonometria

• Definizione di senα, cosα, tanα.

• Risoluzione del triangolo rettangolo

RELAZIONI E FUNZIONI Funzioni quadratiche

• La funzione quadratica e sua rappresentazione.

• Intersezione con gli assi.

• Risoluzione dell'equazione di II grado. Relazioni tra radici e coefficienti. Equazioni parametriche.

• Positività della funzione quadratica.

• Disequazioni di II grado intere e frazionarie.

• Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni binomie e trinomie.

• Disequazioni di grado superiore al secondo.

• Sistemi di equazioni di grado superiore al primo.

• Sistemi di disequazioni in due variabili (risoluzione grafica).

• Cenni sul significato del valore assoluto (analisi grafica).

• Problemi di II grado.

Funzioni periodiche

 Definizione di senα, cosα, tanα nella circonferenza goniometrica

 Grafico delle funzioni periodiche (laboratorio di informatica)

DATI E PREVISIONI

• Probabilità di un evento.

• Frequenza e probabilità. Legge empirica del caso

• Eventi non elementari. Evento contrario

• Probabilità dell'unione di eventi.

• Probabilità di eventi composti

• Probabilità condizionata

Torino, 7 giugno 2016

L'insegnante incaricata

I rappresentanti di classe

INDICAZIONI per le VACANZE

Per tutti

Esercizi sulle fotocopie di seguito.

In più, per chi ha il debito:

Esercizi di consolidamento da pag. 439 a pag. 442 Per chi non ha il debito

Lettura del libro:

P. Canova, D. Rizzuto, “Fate il nostro gioco”, add Editore, 2016

COMPITI VACANZE ESTIVE CLASSE SECONDA SISTEMI LINEARI

Risolvere sia graficamente che algebricamente i seguenti sistemi :

 













 



 













6 2

7 4 c) 8

15

= 3 4

3 b) =

1 3 4

7 2 ) 5

a x y

x y y

x y y

x y x

Risolvere i seguenti sistemi, discutendo quelli frazionari:

a) 























5 4

7 6 2 3

10 3

2

z y x

z y x

z y x

b)

 



 



 





 

 



y y

x x xy

y x y x y x

3 1 2

5 2

10

2 2

RADICALI

Eseguire le seguenti operazioni semplificando i risultati:

1)

³ 5b² ³ 25b

2) x

y x y

x y

6

5

4

 :

5

3) 1 8

1

4 2 3

5

4



4



4



4

4) 5 8

5 2

16 125

3

 

4

5)

^a

b

2

4 4

 2

 



6)

⁷ 3

7 6

2 4

2

xy 4

z

y :  z







7)

^{4 9}

6 9

3

2 3

4 4

2 2

2

2 2

a b

a ab b

a ab

a b



   



8) 

^{3 2}



²

Semplificare i seguenti radicali

9)

81 25

4 4 1

8 16 12

2 4

2

x y 6 a b

a a

;  

Scrivere sotto forma di un unico radicale le seguenti espressioni:

10)

³ 2; ³ a^{2 4} a Razionalizzare le seguenti frazioni:

1)

^{2 3}

3 2





=

2)

^{2 5} 5 1





=

3)

^{2 3}

3 3 2





=

4)

^{2 3 5} 5 1





=

Eseguire le seguenti operazioni semplificando i risultati:

a) ³ 5b² ³ 25b b)

x

y x y

x y

6

5

4

 :

5

c)

1 8

1

4 2 3

5

4



4



4



4

d)

5 8

5 2

16 125

3

 

4

e) a

b

2

4 4

 2

 



f) 7 3

7 6

2 4

2

xy 4

z

y :  z







g) 4 9

6 9

3

2 3

4 4

2 2

2

2 2

a b

a ab b

a ab

a b



   

 h)



^{3 2}



²

Semplificare i seguenti radicali:

81 25

4 4 1

8 16 12

2 4

2

x y 6 a b

a a

;  

Scrivere sotto forma di un unico radicale le seguenti espressioni:

3 2; 3 a2 4 a

Eseguire le seguenti operazioni semplificando i risultati:

 ^{3 x 2 xy 3 y}   ^{x y}  

³

^{y x} 

²

xy      

Razionalizzare le seguenti frazioni :

1) 24

3

2

2)

32 5

2

3)

₃

3

4 16

3

4)

325 5

5)

5 3

5 2 3 2





6)

1 5

1 5





7)

5 3

5 3 2





8)

3 7

2



Risolvere le seguenti equazioni di primo grado a coefficienti irrazionali

1)



^31



^{x2 3}



^31



^x0

2)



^3x



^5x

 

^{ 3x}



^5x



^2

3) 1

1 3

2 1 3

 

 

x

4)

6 2 3 3 2

 

x

x

FUNZIONI DI SECONDO GRADO

Determinare zeri e segno delle seguenti funzioni e tracciarne il grafico (individuare il vertice delle parabole) 1. 𝑦 = 2

𝑥

²− 3𝑥 + 1

2. 𝑦 = −2

𝑥

²+ 5𝑥 + 15 3. 𝑦 =

𝑥

²− 3𝑥

4. 𝑦 = −¹

2

𝑥

²+ 2 EQUAZIONI DI II GRADO

A.

3



x 1



5(x2)²  x²

B.

8(x2)7(x² 3)5 4( x)

C.

(x1)(x2)(x3)² 16(x3)(x5)

D. 

2x5



² 



x3



² 



43x



²

E.

1 3

  

5 1 2 2

3

1 5

1 15

 2

   

   

x x x

x x

F.  ^{2 x  1}  ^{x   2}  ^{2 3}  ^x

²

^{ x x}  ^{ 3}   ^{  7 0}

G.

⁸ 1

2

1 1

x2 x

x

  x

 



H.

^x

x x

x

x x x



   

  

 1

5 6

5

6 8

13

2 2 2

I.    

2 2

2

1 2 1 2 2

x x x x

x x x



 

 





EQUAZIONI DI SECONDO GRADO PARAMETRICHE

a) Nell’ equazione x²(k1)xk20 determinare k in modo che:

1) le soluzioni risultino coincidenti;

2) la somma dei reciproci delle soluzioni valga -2;

3) la differenza delle radici valga 4.

b) Nell’ equazione (k3)x²(k2)x20 determinare k in modo che:

1) la somma dei quadrati delle radici valga 4;

2) il prodotto delle soluzioni valga 4

5;

3) la somma delle soluzioni valga 7

5.

c) Nell’ equazione (k3)x²kx2k10 determinare k in modo che:

1) le soluzioni siano una l’opposto dell’altra;

2) le soluzioni siano una il reciproco dell’altra;

3) una soluzione valga -2;

4) una soluzione valga -3.

d) Per ogni equazione di 2° grado nell'incognita x, determina per quali valori del parametro k sono

soddisfatte le condizioni indicate. Quando è necessario, verifica se i valori del parametro sono compatibili con radici reali dell'equazione.

1)

a) una radice è uguale a 3 (cioè )

b) le radici sono opposte (diverse da 0) c) le radici sono reciproche

2)

a) le radici sono reciproche

b) le radici sono opposte (diverse da 0) c) una radice è uguale a 0, cioè

d) le radici sono coincidenti

DISEQUAZIONI

1. Disequazioni fratte di secondo grado:

a) x x x

2

2

3 2

25 0

 

  b) 3 5

7 12 0

2

x

x x



   c) x x x

2

2

30

16 0

 

 

d) 5

9 2 2 1

1 



 



 x x x

x e)

1 1 15 1 7

2  

 





x x x x

x f) 0

2 5

3 



 x x

g ) 1 1 4 1

7 1

8 2

2 



 



 





x x x x x

x i) 0

3 7

2 



 x

x l)

3 2

1 9 4

7 1 2

2  



  x x

x

2. Risolvere le seguenti disequazioni fratte

0 3 2

14 9

2 2

 







 x x

x

x ; 0

5 16 3

3 2

2 2

 







 x x

x

x ;

6 5

12 1 3

7

 

 x

x ;

2 3

7 5 2

8

 

 x

x ;

6 5

11 1 3

7

 

 x

x ;

3. Sistema di disequazioni di secondo grado:

a)

x x

2

1 0

2 3 0

 

 

 



b)

5 2 0

3

²

0

 

 

 

 x

x

c) x x x x

2

2

0

4 0

 

 







  





















 

0 1

0 5 4 1 3 4

2 2

x

x x

x

  

 

 



























 

1 1

3

0 2 5 3 8

1 3 4

x x

x

x x

x

ARGOMENTO: SISTEMI DI II GRADO

a) { 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

𝑥

²− 𝑦(𝑥 + 𝑦) + 11 = 0 b) { 3𝑥 + 5𝑦 + 8 = 6 + 𝑥 + 4𝑦

(𝑥 − 𝑦)²+ 3𝑥𝑦 = 𝑥 − 𝑦 + 2(𝑦 − 𝑥)

c) {

𝑥

²+ 𝑦²= 10

𝑥𝑦 = 3 d) {

𝑥−𝑦

𝑥+1+ 2 = 0

𝑥(2𝑥−3𝑦)

𝑥−𝑦 = 𝑦 − 4

Risolvere i seguenti sistemi algebricamente e farne una rappresentazione grafica a)

x y

y x x

 

  

 



3

5 4

2 b)

x y

y x x

 

  

 



1

7 12

2 c)

x y

y x x

 

 

 



3

2

3

d) {𝑦 = −2

𝑥

²− 5𝑥 + 3

𝑦 = 5𝑥 + 3 e) {𝑦 = 9

𝑥

²− 36

𝑥 − 2 = 0 f) {𝑦 = 2

𝑥

²− 5𝑥 + 3 𝑦 = −2𝑥 + 3

Risolvi il sistema tra la retta di equazione y = 4x – 12 e le parabole di equazione y = - x² - 2x + p. Determina per quale valore di p le soluzioni sono coincidenti.

Risolvi graficamente i seguenti sistemi a){ 𝑦 >

𝑥

²− 2𝑥 + 1

𝑦 > 3

𝑥

²− 24𝑥 + 49 b) {

𝑥

²+ 𝑦 + 3𝑥 − 1 < 0

𝑦 > 𝑥 + 1 c) {𝑦 < 4 −

𝑥

² 𝑦 > 2𝑥 − 3

GEOMETRIA RAZIONALE

1 Dimostrare che se in due triangoli aventi le altezze congruenti, si conducono due corde parallele alle basi ed equidistanti da queste, le due corde stanno tra loro come le basi..

2 Rispondete ai seguenti quesiti utilizzando, per ciascuno, al massimo10 righe: a) Enunciate e dimostrate alcuni criteri per riconoscere se un quadrilatero convesso è un parallelogrammo. b) Enunciate il teorema di Talete e descrivi alcune proprietà che da esso discendono.

3

Dimostrare che la congiungente i punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallela al terzo lato ed è congruente alla loro semisomma.

4

In un trapezio ABCD inscritto in una circonferenza, l’angolo in B ha ampiezza 50°.

Determina, giustificando la tua risposta, le ampiezze degli altri angoli.

5

Enunciare e dimostrare il teorema della tangente e della secante nelle similitudini

6 Dimostrate che, se a partire dai due vertici opposti B e D di un rombo si riportano su ciascun lato

segmenti tra loro congruenti, il quadrilatero che si ottiene congiungendo gli estremi di tali segmenti è un rettangolo.

7 Traccia una circonferenza e disegna due corde AB e CD che si intersecano in un punto T. Dimostra che i triangoli ATC e BTD sono simili.

8 Dimostrare che se in un trapezio rettangolo una diagonale è perpendicolare al lato obliquo, l’altezza è media proporzionale fra la base minore e la differenza delle basi.

9 Considerare due circonferenze congruenti e secanti nei punti A e B; da A viene condotta una corda che a sua volta interseca le due circonferenze in due punti C e D. Dimostra che il triangolo CBD è isoscele.

10 In un parallelogrammo ABCD una secante per A incontra i lati BC e DC rispettivamente nei punti M ed N. Dimostrare che risulta BC : BM= DN:DC.

11 Traccia una circonferenza e disegna due corde AB e CD che non si intersecano. Congiungi gli estremi delle corde, i segmenti si intersecano nel punto P. Dimostra che i triangoli APD e BPC sono simili.

12 Per ogni triangolo rettangolo in figura scrivi una proporzione che esprima il primo teorema di Euclide e una proporzione che esprima il secondo teorema di Euclide, utilizzando come medio proporzionale rispettivamente il segmento a e b (le linee tratteggiate sono le altezze dei triangoli).

13 Completa le proporzioni riferite alla figura (le linee tratteggiate sono le altezze dei triangoli).

: ... : ...

: ... ... : AC ED

AH DF





14 Disegna una circonferenza e una corda AB. Dal punto medio M di AB traccia il diametro CD.

Fissa su AB un generico punto P e per esso traccia la corda CE. Dimostra che il rettangolo avente per lati CP e CE è equivalente al rettangolo avente per lati CD e CM.

15 Scrivi una proporzione che coinvolga la misura dei perimetri dei due triangoli simili in figura e una proporzione tra la misura delle aree.

16 In un parallelogramma abcd le altezze relative alla base ab ed al lato bc sono congruenti. dimostrate che il parallelogrammo è un rombo.

17 Disegna un trapezio ABCD in modo che le diagonali ac e bd, in contrandosi nel punto O, formino i due triangoli isosceli ABO e CDO. Dimostrare che il trapezio ABCD è isoscele.

18 Considerata una corda AB su di una circonferenza, si conduca per A la tangente al cerchio e su di essa si consideri un segmento AC congruente ad AB. Dimostrare che il segmento CB incontra la circonferenza in un punto P tale che CP≅AP.

GEOMETRIA APPLICATA

1

In un triangolo rettangolo ABC i cateti AB e BC sono rispettivamente di 10 cm e di 24 cm. Prendi un punto P sull’ipotenusa in modo che

PA  3 PC .

Traccia da P la retta parallela ad AB e indica con Q l’intersezione di tale retta con il cateto BC. Determina il perimetro del trapezio PQBA.

[50 cm]

2 Dato un triangolo equilatero di lato 6a considerare il punto medio Q del lato AB e la perpendicolare da Q al lato BC. Indicare con P il piede della perpendicolare. Calcolare la misura del segmento QP.

In un rombo una diagonale è uguale, a un decimo dell'altra più un segmento lungo 10 cm., mentre la somma di due undicesimi della prima diagonale con la metà dell'altra misura 64 cm. Calcolare la misura del perimetro e l'area del rombo. [R. 2 p = 244 cm.; area = 1320 cm².]

3 In un triangolo isoscele la differenza fra il doppio della base e l’altezza è di 8 cm. Sapendo che l’area è di 12 cm ,² determina il perimetro del triangolo e il raggio della circonferenza inscritta.

[16 cm; 1,5 cm]

4

In una circonferenza di centro O traccia due corde AB e CD che si intersecano nel punto E. Si sa che 12 , 9 , 24 .

CE k DE k AB k Calcola la misura dei segmenti AE e BE. AE6 ; k BE18k

5 Da un punto P, esterno ad un cerchio e distante dal cerchio stesso 6 a, disegnate una tangente PT.

Sapendo che la misura del segmento PT è 12 a, determinate la misura del raggio del cerchio e la misura della corda QR intercettata su una secante PR che misura 20 a.

6 Un triangolo ha i lati AB, AC e BC rispettivamente di 20 cm. 28 cm. e 24 cm. Per un punto P di AB conducete una corda PQ parallela a BC di lunghezza 15 cm. Determinatela misura del perimetro del triangolo APQ.

7 In una circonferenza di raggio 9 cm è inscritto un triangolo isoscele la cui altezza relativa alla base è 2

3 del diametro. Determina la lunghezza dei lati del triangolo dato e di quello ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza nei vertici del triangolo.

12 2 cm; 6 6 cm; 18 2 cm; 27 2 cm

 

 

8

Disegna un trapezio rettangolo ABCD in cui l’altezza AB è 4

5 della base maggiore BC, AD è5 6 ^{di AB} e il perimetro è 100a. Prolunga l’altezza AB dalla parte di A e il lato obliquo CD dalla parte di D fino a farli incontrare nel punto P. Da A conduci la perpendicolare a DP e indica con Q il piede di tale perpendicolare.Calcola il perimetro del triangolo APQ. 1440

13 a

 

 

 

9 Un trapezio ABCD è inscritto in una semicirconferenza il cui diametro AB misura 25a. Sapendo che la base minore CD misura 7a, determinare il perimetro e l’area del trapezio.

10 Nel trapezio rettangolo ABCD l'altezza AD è tre quinti della diagonale maggiore AC e dodici quinti della base minore AB. Sapendo che l'area del trapezio è di 126 cm².a) Calcolare la misura delle due diagonali. b) Di che natura è il quadrilatero che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati ? c) Calcolare la misura del perimetro e l'area di tale quadrilatero.

[R. a) AC = 20 cm. ; BD = 13 cm. b) È un parallelogrammo, perché ... c) 2p=33cm.; area=63cm².]

11 Nel trapezio isoscele ABCD l'altezza misura 360 cm. e la base AB è venticinque settimi della base CD. Sapendo che la differenza fra due terzi della base maggiore e la metà della minore misura 395 cm., calcolare la misura del perimetro, la lunghezza di una diagonale e l'area del trapezio. Verificare quindi che la diagonale AC è perpendicolare al lato BC.

[R. 2 p = 1860 cm.; d = 600 cm. ; area = 172800 cm². ]