CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA
FOGLIO DI ESERCIZI # 7– GEOMETRIA 2005/06
Ricordiamo le seguenti formule:
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L’Area di un parallelogramma in R2, di lati u = (u1, u2), v = (v1, v2) `e:
A(parallelogramma) =
detu1 u2
v1 v2
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L’Area di un parallelogramma in R3, di lati u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) `e data dalla lunghezza (norma) |u × v| del vettore u × v prodotto vettoriale di u e v:
A(parallelogramma) = |u × v|, con u× v = det
−
→i −→ j −→
k u1 u2 u3
v1 v2 v3
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Il Volume del parallelepipedo di lati u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3)
`e uguale al valore assoluto del prodotto misto u · (v × w):
V(parallelepipedo) =
det
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
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Esercizio 7.1. Calcolare l’area del triangolo di vertici A1(3, 1), A2(2, 6) e A3(4, 4).
Esercizio 7.2. Determinare per quali valori di k il triangolo di vertici A1(0, 0), A2(4, 2) e A3(1, k) ha area 5.
Esercizio 7.3. Calcolare l’area del poligono di vertici A1(0, 0), A2(1, 0), A3(2, 1), A4(1, 3) e A5(0, 2).
Esercizio 7.4. Calcolare l’area del triangolo di vertici A1(1, 1, 1), A2(1, 3, 1), A3(−1, 0, 0).
Esercizio 7.5. Calcolare il volume del parallelepipedo di lati u(1, 0, 0), v(−3, 1, 1) e w(−2, 2, 5).
Esercizio 7.6 (Esercizio 6.26). Sia W il sottospazio di R4 generato dai vettori v1= (k, 1, 1, 2), v2= (0, 1, 0, 1), v3= (k, 0, 1, 1).
a) Al variare del parametro k, trovare una base di W . b) Si completi la base trovata in a) ad una base di R4. Esercizio 7.7 (Esercizio 6.41). Siano
v1= (1, −1, −1, 1), v2= (k, 1, 1, −1) ∈ R4
a) Si trovino i valori del parametro k per i quali v1 e v2 sono indipendenti.
b) Per k = 2, si estenda l’insieme {v1, v2} a una base di R4.
Esercizio 7.8 (Esercizio 6.42). Si consideri l’insieme S costituito dai seguenti vettori di R4 v1= (1, 2, 2, 1), v2= (2, 1, 2, 1), v3= (0, 1, 2, 1)
a) E’ possibile estendere S a una base di R4?
2 FOGLIO DI ESERCIZI # 7 – GEOMETRIA 2005-2006
b) In caso affermativo, trovare una base di R4 contenente S.
Esercizio 7.9 (Esercizio 6.35).
a) Trovare una base del sottospazio V di R5 cos`ı definito:
V = {x ∈ R5 | 2x1− x2+ x3− x4= 0, x1− x3− 2x4+ 2x5= 0}.
b) Determinare una base di R5 contenente la base di V trovata in a).
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I Prova di accertamento - A.A. 2004/05 Esercizio 7.10. Si consideri il sistema lineare
(1 + k)x = 0 ky+ z + w = 2 x+ kz + 2w = k x+ kw = 0
(k parametro reale)
a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette una unica soluzione.
b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema per k = 0.
Esercizio 7.11. Sia r la retta nello spazio di equazioni cartesiane x + z + 1 = 2x + 2y − z − 3 = 0 e sia l la retta di equazioni parametriche x = 2t, y = −t, z = 0.
a) Determinare una equazione cartesiana del piano π contenente il punto P (1, 2, 3) e or- togonale alla retta l.
b) Stabilire se esiste una retta passante per P , contenuta in π ed incidente la retta r. In caso affermativo determinare equazioni di tale retta.
Esercizio 7.12. Sia
S=x ∈ R4|x1− 4x2− x3+ 2kx4= k + 1, 2x1− kx3+ kx4= 2k + 2,
3x1− 4kx2+ 9x3+ 3x4= 0 } a) Stabilire per quali valori di k ∈ R l’insieme S `e un sottospazio di R4.
b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare la dimensione e una base di S.
Esercizio 7.13. Sia
V = h (1, 1, 2, −1), (2, k + 3, 4, −2), (0, 1, 1, k2− 1) i con k parametro reale.
a) Si determini la dimensione di V al variare di k ∈ R.
b) Si stabilisca per quali valori di k ∈ R il vettore v4= (3, 3, k + 6, −3) appartiene a V . Esercizio 7.14. Si considerino i polinomi p1 = x2+ ax + b + c, p2 = x2+ bx + a + c, p3 = x2+ cx + a + b.
a) Mostrare che per ogni valore dei parametri a, b, c i tre polinomi sono dipendenti nello spazio dei polinomi R[x].
b) Calcolare la dimensione dello spazio hp1, p2, p3i ⊆ R[x] al variare di a, b, c.
Esercizio 7.15. Siano P1= (1, −1, 0), P2 = (1, 0, −1), P3 =
1 +√32 ,−√31 ,−1 −√31
, e P4 = (1, 2, 1) quattro punti nello spazio.
a) Calcolare l’angolo tra i vettori−−−→
P1P2 e −−−→
P2P3.
b) Mediante il determinante, calcolare il volume del prisma con base il triangolo P1P2P3 e lato il segmento P1P4.
