Esercizio 4 Determinare la tensione

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Esercizio 4

Determinare la tensione v_AB(t) del circuito di figura nota la f.e.m. del generatore:

𝑒(𝑡) = 100√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠(100𝑡)

Figura 1

Per lo svolgimento dell’esercizio usiamo il metodo simbolico¹. Possiamo scrivere:

𝐸̅ = 100√2(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑗𝑠𝑖𝑛0) = 100√2 Troviamo le reattanze:

𝑋_𝐶1 = 𝑋_𝐶2 = − 1

𝜔𝐶 = − 1

100 ∙ 500 ∙ 10⁻⁶ = −20Ω 𝑋_𝐿 = 𝜔𝐿 = 100 ∙ 240 ∙ 10⁻³= 24Ω

Troviamo la corrente i(t) che scorre nella serie R1-L-C1.

𝐼̅ = 𝐸̅

𝑅₁+ 𝑗𝑋_𝐿 + 𝑗𝑋_𝐶1 Sostituendo i valori numerici:

𝐼̅ = 100√2

3 + 𝑗24 − 𝑗20= 100√2 3 + 𝑗4 Razionalizziamo:

𝐼̅ = 100√2(3 − 𝑗4)

(3 + 𝑗4)(3 − 𝑗4)=300√2 − 𝑗400√2

25 = 12√2 − 𝑗16√2 Determiniamo il modulo:

|𝐼̅| = √12²∙ 2+16²∙ 2 = √800 = 20√2𝐴 E la fase:

𝜑_𝐼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔−16√2

12√2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−4

3) ≅ 307° = 5.355𝑟𝑎𝑑

1 Vedi http://cmathilde.altervista.org/Elettrotecnica/MetodoSimbolico.pdf

2 Scriviamo l’espressione nel dominio del tempo:

𝑖(𝑡) = 20√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠(100𝑡 + 5.355) La tensione richiesta è data da:

𝑉_𝐴𝐵

̅̅̅̅̅ = 𝑗𝑋_𝐿𝐼̅

Sostituendo i valori numerici:

𝑉_𝐴𝐵

̅̅̅̅̅ = 𝑗24(12√2 − 𝑗16√2) = 𝑗288√2 + 384√2 = 384√2 + 𝑗288√2 Determiniamo il modulo:

|𝑉̅̅̅̅̅| = √384_𝐴𝐵 ²∙ 2 + 288²∙ 2 = 480√2𝑉 E la fase:

𝜑_𝑉𝐴𝐵 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝐼𝑚(𝑉̅̅̅̅̅)_𝐴𝐵

𝑅𝑒(𝑉̅̅̅̅̅)_𝐴𝐵 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔288√2

384√2= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3

4≅ 37° = 0.644𝑟𝑎𝑑 Scriviamo l’espressione nel dominio del tempo:

𝑣(𝑡) = 480√2 ∙ 𝑐𝑜𝑠(100𝑡 + 0.644) Disegniamo il diagramma vettoriale:

Figura 2

Dal grafico si vede che la corrente e la tensione ai capi dell’induttore sono sfasati di 90°.

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Matilde Consales